习题训练ppt配套教案和课堂实录

13.4 课题学习 最短路径问题

【学习目标】

1.

能利用轴对称解决简单的最短路径问题,

2.

体会图形的变化在解决最值问题中的作用. 【重点难点】

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题

【学习过程】

一、自主学习：

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？

二、合作探究一：两点在一条直线两侧

例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到边饮水一次。问将军怎样走路程最短？

. 小溪

A

B

根据：

.

两点在一条直线同侧

例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，

途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？

归纳总结：1 、此类最短路径问题属于已知两点在一条直线两侧或两点在一条直线同侧时，如何在直线上找到满足最短距离的点. 2 、

具体解决方法

：①

当两点在一条直线两侧时，直接连接这两点与直线的交点即为所求. ②

当两点在一条直线同侧时，作其中一点关于这条直线的对称点，再连结对称点与剩余的一个点，与这条直线的交点即为所求. 尝试应用

1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）

2.

图1

2、如图1所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。

探究二、一点在两相交直线内部

例3.如图2：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，

最后回到驻地A，

问：这位将军怎样走路程最短？

草地

.驻地A

河边

图3 图2 归纳总结：1 、此类最短路径问题属于已知一点在两相交直线内部时，如何在直线上找到满足最短距离的点.

2 、

具体方法

：分别作这一点关于这两条直线的对称点，再连结这两个对称点，与这两条直线的交点即为所求. 练习：如图3 已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？

变式思考：已知P是△ABC的内部的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？

探究三 、两点在两相交直线内部

例4：如图4，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天最短路线。

CM

A

B

N图5 O

图4 归纳总结：1 、此类最短路径问题属于已知两点在两相交直线内部时，如何在直线上找到满足最短距离的点. 2 、

具体作法

：分别作这两点关于这两条直线的对称点，再连结这两个对称点，与这两条直线的交点即为所求. 练习：如图5，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？

三、课堂小结：求最短路径解题方法：1 、先审题，确定谁是已知的点和线

2 、再判断点和线属于那种情况

（1）两点在一条直线同侧

如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．

（2）一点在两相交直线内部 如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．

（3）两点在两相交直线内部

如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由

D

C AAM

PA B O

BN

O

B

图1 图2 图3 3 、最后再解决问题

四、自我检测

1、

如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？

(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

2、如图6，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是 。

五、学后反思

六、课后作业

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必做题 教材第91页复习题13第15题.

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