分式的基本性质应用：约分、通分课堂实录及点评

15.1.2

分式的基本性质

理解分式的基本性质,会进行分式的约分和通分.

通过类比分数的约分与通分,探索分式的约分与通分法则,学会运用类比转化的思想方法研究数学问题.

通过运用分式的基本性质对分式进行变形,获得分式变形的基本方法,体验学习的乐趣.

【重点】

运用分式的基本性质正确进行分式的约分与通分.

【难点】

通分时最简公分母的确定;运用通分法则将分式进行变形.

第课时

1.会根据分数的基本性质类比推导分式的基本性质.

2.理解分式的基本性质,并会运用分式的基本性质,探求分式变形及其中的符号法则,为以后的约分、通分及运算奠定基础.

通过与分数的基本性质相比较,归纳得出分式的基本性质,体验类比转化的思想方法.

通过运用基本性质对分式的变形,获得分式变形的基本方法,体验学习的乐趣.

【重点】

理解分式的基本性质.

【难点】

灵活应用分式的基本性质将分式变形.

【教师准备】

多媒体课件(1~5).

【学生准备】

复习分数的基本性质.

导入一:

有位老爷爷把一块地分给三个儿子.老大分到了这块地的,老二分到了这块地的,老三分到了这块地的

.老大、老二觉得自己很吃亏,于是他们就打起来.刚好阿凡提路过,问清争吵的原因后,哈哈大笑了起来,给他

们讲了几句话,三兄弟就停止了争吵.你知道阿凡提给他们讲的是什么吗? 【学生思考】

,和这三个数相等吗?

引导学生根据分数的基本性质分析,适时板书分数变形过程.

[设计意图]

创设故事情境导入新课,激发了学生学习本课的好奇心,同时运用分数的基本性质进行分数变形,复习分数的基本性质,为学习分式的基本性质做好铺垫.

导入二:

上节课我们类比分数的概念学习了分式的概念,今天我们来继续学习分式的相关知识,请看下面的问题: 【课件1】

【问题1】

如图(1)所示,面积为1的长方形平均分成了4份,阴影部分的面积是多少? 【问题2】

如图(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,阴影部分的面积是多少? 【问题3】

这两块阴影部分的面积相等吗? 【问题4】

通过怎样的变形可以由得到?通过怎样的变形可以由得到? 【问题5】

上述变形的依据是什么呢? 教师提出问题,学生思考回答,板书分数的变形过程.

[设计意图]

运用分数的基本性质进行分数变形,既复习了分数的基本性质,又为学习分式的基本性质做了铺垫.

分式的基本性质

[过渡语]

下面我们来看看分式具有类似的性质吗? 思路一

【课件2】

请看下面的问题: (1)填空.

(

)

;

(

)

.

与呢?

(2)你认为分式与相等吗?为什么?

学生独立思考第(1)问,根据分数的基本性质,的分子、分母同时乘4,可得,的分子、分母同时除以2,得,再小组讨论,类比分数的基本性质解决第(2)问.

【课件3】

类比分数的基本性质,你能猜想出分式的基本性质吗? 学生尝试归纳,相互补充总结得出分式的基本性质.

思路二

[过渡语]

类比分数的基本性质,你能猜想分式有什么性质吗? 请看下面的问题: 【课件4】

【问题1】

如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形的宽怎么表示呢? 【问题2】

如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起,它的宽怎么表示呢? 【问题3】

两图中长方形的宽相等吗? 【问题4】

通过怎样的变形可以由得到?通过怎样的变形可以由得到? 学生在老师引导下思考回答,老师追问:变形的依据是什么呢? 【问题5】

若n个这样的长方形拼接在一起,它的宽又如何表示呢? 学生分析得出答案为.

教师进一步追问:和,相等吗?通过怎样的变形可以得到它们相等呢? 【问题6】

若(m+1)个这样的长方形拼接在一起,宽又如何表示呢? 追问:

和,相等吗?通过怎样的变形可以得到它们相等呢?

( )

教师提问,学生分析回答,板书变形的过程.

【问题7】

能类比分数的基本性质,归纳出分式的基本性质吗? 学生尝试归纳分式的基本性质,教师在学生回答的基础上启发完善.

【板书】

分式的基本性质: 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.

教师提问:你能尝试用符号语言表示分式的基本性质吗? 学生回答,用式子表示为:

,

(C 是不等于零的整式).

教师强调:A,B,C均为整式,C≠0.

引导学生分析分数的基本性质与分式的基本性质的区别:在分数的基本性质中,“数”是一个具体的、唯一确定的值.在分式的基本性质中,“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化.

[设计意图]

一方面提高学生对分式基本性质的认识,另一方面通过师生归纳,进一步加深对分式基本性质的理解.

[过渡语]

分式的基本性质只是改变分式的形式,不改变分式的值.

【课件5】

填空.

(1)(2)

(

)

,

(

) -

,

; (

)

(

)(b≠0).

引导学生观察等式的左边和右边各发生了什么变化,讨论解题思路.

〔解析〕

(1)的分母xy除以x才能化为y,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子x3也要除以x.

的分子3x2+3xy可以分解为3x(x+y),除以3x才能化为x+y,所以分母6x2也需要除以3x.(2)的

-

分母ab乘a才能化为a2b,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子1也要乘a.能化为a2b,所以分子2a-b也需要乘b.

答案:(1)

(2)

的分母a2乘b才

(

)

,

; ( )

(

) -

,

( -

)

(b≠0).

[方法归纳]

从已知的两个分子或分母的比较中,找到分式变形的依据,再运用分式的基本性质求未知项.

[设计意图]

通过例题的教学,使学生理解变形的依据——分式的基本性质的作用.加深对分式的基本性质的理解,巩固分式的基本性质的应用条件、基本方法、需要注意的问题.

[拓展延伸]

应用分式的基本性质对分式进行变形需要注意的问题: (1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种变换; (2)所乘或除以的必须是同一个整式; (3)所乘或除以的整式应该不等于零.

本节课我们有什么收获? 我们主要学习了分式的基本性质:

,

(C≠0),其中 A,B,C是整式.

(1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.

(2)在运用分式的基本性质时,必须注意乘或除以的是同一个整式,且不为0.

(3)分式基本性质的研究方法:从分数→分式;从特殊→一般.

1.若将分式 (a,b 均为正数)中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍,则分式的值

(

) A.扩大为原来的2倍

B.缩小为原来的

C.不变

D.缩小为原来的

解析:分式中的字母分别扩大为原来的2倍,分式的分子扩大为原来的2倍,而分式的分母扩大为原来的4倍,所以分式的值缩小为原来的.故选B.

2.填写下列等式中未知的分子或分母.

(1)(2)(3)

-

-

(

);

(

)

-

(

-

)(

-

)(

-

)(

-

)(

-

)

-

;

(

)(b≠0).

解析:(1)先观察分子,等式左边分式的分子是x+y,而等式右边的分式的分子为x2-y2,由于(x+y)(x-y)=x2-y2,即将等式左边分式的分子乘x-y,因此等式左边分式的分母也要乘x-y,即(x-y)2=x2-2xy+y2,所以在(

)里应填上x2-2xy+y2.(2)先观察分母,等式左边分式的分母为(a-c)(a-b)(b-c),等式右边分式的分母为(a-c),根据分式的基本性质,应将等式左边分式的分子除以(a-b)(b-c),因为(b-a)(c-b)÷[(a-b)(b-c)]=1,所以在(

)里填上1.(3)先观察分母,等式左边分式的分母为a,等式右边分式的分母为ab,根据分式的基本性质,应将等式左边分式的分子乘b,即(b-a)b=b2-ab,因此在(

)里填上b2-ab.

答案:(1)x2-2xy+y2

(2)1

(3)b2-ab

3.判断下列从左到右的变形是否正确.

(1)

(2)

(3)

(4)

;

; ;

.

,因此(1)正确.

解:(1)正确,对于,条件中隐含a≠0,分子、分母同时乘a,可得

(2)错误.分子、分母加上c,只有当c=0时成立,其余条件下不一定成立,因此(2)错误.

(3)错误.当c=0时,

(4)正确.在

不成立,因此(3)错误.

中,隐含c≠0,分子、分母同时除以c,式子成立,因此(4)正确.

4.不改变分式的值,使式子

的分子与分母的系数均为整数.

解析:利用分式的基本性质,分子与分母同时乘6即可.

解:

.

第1课时

分式的基本性质

分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.

,

(C≠0),其中 A,B,C是整式.

一、教材作业

【必做题】

教材第133页习题15.1第4题.

【选做题】

教材第133页习题15.1第12题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列等式中正确的是

(

) A.

B.

=a+b

C.

D.

-

-

2.下列各式中,与分式

-

相等的是

(

) A.(

-

) (

-

)

B. -

C.(

-

)

y) D.

-

-

(x≠

3.已知

,那么下列等式中一定成立的是

(

) A.x=

y

B.9x=7y

C.7x=9y

D.xy=63 4.把分式 - 中的x和y都扩大为原来的5倍,那么分式的值

(

A.扩大为原来的5倍

B.不变

C.缩小到原来的

D.扩大为原来的

倍

5.如果把分式 -

中的x和y的值都缩小为原来的

,那么分式的值

A.扩大3倍

B.缩小为原来的

C.缩小为原来的

D.不变

6.填空.

(1)

-

(

); ) (

)

(2)

-

(

)(

-

)( ).

【能力提升】

7.若

-

- ,则M=

.

-

8.将分式

的分子与分母中各项系数化为整数,结果是

.

9.下列等式的右边是怎样从左边得到的? (1)(2)

-

-

(x-1≠0); (x2-y2≠0).

( )

-

-

【拓展探究】

10.若a= ,b=,试不用将分数化小数的方法比较 a,b的大小.观察a,b的特征,以及你比较大小的过程,直接写出你发现的一个结论.

【答案与解析】

1.D(解析:根据分式的基本性质作答.) 2.C(解析:A.是分子、分母同时加5,故A错误;B.是分子、分母中的一部分乘2,而不是分子、分母同时乘2,故B错误;C.化简后得

-

,与原分式相等,故C正确;D.分母不能分解因式,故D错误.故选C.)

3.B(解析:根据分式的基本性质,原式可表示为x=y,9x=7y.故选B.) 4.B(解析:将分式中的x,y分别都乘5,再根据分式的基本性质化简,最后与原来的分式进行比较.) 5.D(解析:先把分式中的x,yD.) 6.(1)y-2

(2)2x2+2xy(解析:(1)分子除以y+2,分母也得除以y+2.(2)分母乘x+y,分子也得乘

用x,y

-

替换.由于

-

,因此新分式与原分式相等,即分式的值不变.故选x+y,2x(x+y)=2x2+2xy.) 7.a2-2ab+b2(解析: -

-

-

- -

- ,则M=a2-2ab+b2.)

-

8.(解析:

.) 9.解:(1)左边的分式的分子、分母都乘(x-1),得出右边的分式. (2)左边的分式的分子、分母都除以(x+y),得出右边的分式.

10.解:∵a=

=1-,b==1-,∴a

以分数的变形依据,即分数的基本性质作为复习引入,类比得到分式的变形依据,归纳、概括出分式的基本性质.对分数的基本性质和分式的基本性质做了对比研究,实现了从“数”到“式”的提升.

没有兼顾到为不同认知基础的学生提供相应的学习机会和适当帮助,让部分因式分解不熟悉的学生没有积极地投入到分式基本性质的学习中来.

在例题选配上,还需要进一步突破应用分式的基本性质对分式进行变形这一难点,增设判断从左到右的变形是否正确这一类题.

1.教学解读

根据本节课的教学内容,结合本班学生的实际情况,我选择的教学方法是,采用“类比旧知——引导发现”的教法引入分式的基本性质;采用学生类比归纳与教师启发点拨相结合的教法突出性质的形成过程;采用“讲练结合”的教法落实性质的应用.并在教学中始终关注两点:(1)从分数的基本性质到分式的基本性质,是从具体到抽象、从特殊到一般的性质形成过程;(2)类比分数的有关知识得到分式的相关知识是研究分式的基本方法.

2.重难点突破

教学难点是灵活应用分式的基本性质将分式变形.突破的方法是通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质,再用类比的方法得出分式的基本性质.通过练习,反复强调“都”“同一个”“不等于零”这些关键词,让学生时刻谨记,使学生在理解的基础上灵活地将分式变形.

不改变分式的值,把下列各式分子与分母中各项的系数都化为整数.

(1)

;

-

(2)

.

-

.

.

〔解析〕

第(1)题的分式中分子、分母的各项系数都是分数,字母系数

,

,

,-

中分母的最小公倍数为12,然后把原式的分子、分母都乘这个最小公倍数,即可把系数化为整数;第(2)题中的系数有分数,也有小数,应先把它们统一成分数或小数,再确定分子、分母应同时乘的数.

解:(1)

-

-

- .

解法1:(2)解法

-

.

(

.

-

.

)

-

2:(2)原式=

.

-

-

-

.

(

.

.

) .

第课时

1.理解通分与最简公分母的意义.

2.掌握分式的约分、通分的方法与步骤.

通过类比分数的约分与通分,探索分式的约分与通分法则,学会运用类比转化的思想方法研究数学问题.

培养学生观察、类比、交流的意识,体会分式在现实生活中的实际应用价值.

【重点】

运用分式的基本性质正确进行分式的约分与通分.

【难点】

通分时最简公分母的确定;运用通分法则将分式进行变形.

【教师准备】

多媒体课件(1~7).

【学生准备】

复习上一节内容,预习本节内容.

导入一:

【课件1】

怎样把分数,学生将,2mn,得到

-

约分,你做这些题目的依据是什么?与相等吗?为什么?

-

-

约分后,仿照分数约分的方法,根据分式的基本性质,约去分式的分子与分母的公因式

-

.

化为,这样的分式变形过程就是分式的约分.

教师点拨:分式【课件2】

怎样把,通分?类似地,你能把分式,变成同分母的分式吗? 学生尝试把分式,变成同分母分式,教师适时引入:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,我们把这样的分式变形叫做分式的通分.这就是我们今天要探讨的两个问题.(板书课题) [设计意图]

按由特殊到一般的思路让学生回忆有关知识,体现了学生的学习是在原有知识上自我生成的过程.

导入二:

同学们,想一想对分数怎样化简?

【课件3】

思考:下列分式是怎样从左边变形到右边的? (1)(3)

(y≠0);

(2)

;

-

-

.

反过来,把一个分式的分子、分母都除以公因式之后,就完成了约分.下面我们先来看看分式的约分.(板书课题)

一、分式的约分

[过渡语]

怎样进行分式的约分?分式约分的依据是什么? 请同学们带着问题自学教材第130~131页的内容.

学生交流,教师讲解:(1)分式约分的依据是分式的基本性质.(2)最简分式:分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.(3)约分:依据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.

【课件4】

(教材例3)约分.

(1)(3)-

;

(2)

-

;

-

- .

教师引导学生总结:①定符号:只把负号留给分式;②定分子与分母的最大公因式:各项系数的最大公约数和相同因式的最低次幂的积;③分式约分的最后结果应为最简分式或整式,即:分子、分母没有公因式.

学生先练习,教师再根据情况指导.

解:(1)(2)(3)-

=-

=-.

-

( )(

-

)( )

-

.

-

-

(

-

)

(

-

)=2(x-y).

[方法归纳]

如果分子与分母是多项式,要先分解因式,再找出分子、分母的公因式,最后根据分式的基本性质进行约分.

二、分式的通分

思路一

[过渡语]

我们用类比的方法学习了分式的约分,那么我们是否可以用类比的方法来学习分式的通分呢?请看下面的问题: 问题1:分数通分的目的是什么? 问题2:将分数与进行通分.

问题3:将分式与变为同分母的分式,依据是什么? 【教师讲解】

问题3就是我们今天要学习的分式的通分.

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分.

【学生讨论】

通分的关键是什么?

【教师引导】

通分的关键是确定分式各分母的最简公分母.

找最简公分母的方法如下: (1)取各分母系数的最小公倍数;(2)单独出现的字母同它的指数作为最简公分母的一个因式;(3)相同字母的指数取次数最高的.

[设计意图]

通过类比方法的学习使学生容易接受新知识,感到学数学并不可怕,增强了学习的信心.

[过渡语]

下面我们来检验一下是否会对分式进行通分.

【课件5】

(教材例4)通分.

(1)

-

与;

(2)

-

与 .

引导学生讨论,并进一步思考:(1)的最简公分母为2a2b2c,分式的分母是单项式,如何确定最简公分母?(2)的最简公分母为(x-5)(x+5),分式的分母是多项式,如何确定最简公分母? 教师根据情况指导确定最简公分母的方法:①如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积,注意所有的不同字母都要写在积里;②如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式,然后把每个因式当作一个因式(或一个字母),再按照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式和不同因式三个方面去找.

解:(1)最简公分母是2a2b2c.

,

-

(

-

)

-

.

(2)最简公分母是(x-5)(x+5).

-

( )(

-

)( )

,

-

(

-

)( )(

-

)

-

- .

引导学生小结通分的方法:先确定分式的最简公分母,再确定各分母所要乘的因式,然后根据分式的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式.

思路二

[过渡语]

学会了分式的约分,我们再来看看分式的通分.

【课件6】

填空.

(1)

(

);

(2) -

(

).

引导学生观察、思考:分式变形的依据是什么?分式变形后,各分母有什么变化? 【课件7】

试找出分式

-

,的公分母.

引导学生从分母的系数、字母进行观察,找出公分母之后,组内交流比较,谁找的公分母最简单.

教师补充学生的归纳:异分母的分式通分时,取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母.

【课件5】

(教材例4)通分.

(1)

-

与

;

(2)

-

与 .

学生自己阅读教材第132页的内容,再由学生自己写出解题过程,组内互相评价.

引导学生解答后总结:确定几个分式的最简公分母,首先应把各分母因式分解,然后取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,即取各分母系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母是最简公分母,最后根据分式的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式.

[设计意图]

为了达到重点解决和难点突破的目的,采用问题串的形式,通过学生自主学习、小组合作交流,来拓展旧知识,学习新知识,体现师生平等交流的原则.

[拓展延伸]

(1)约分前,先将分式的分子、分母都化成乘积的形式.

(2)约分的结果是整式或最简分式.

(3)约分的依据是分式的基本性质:

(C≠0),其中 A,B,C是整式.

(4)分式的通分与分数的通分有相似的地方:①把异分母分式化成同分母分式;②必须使化得的分式和原来的分式相等,即通分是利用分式的基本性质对分式进行恒等变形.

(5)通分的关键是最简公分母的确定.

(6)确定最简公分母的方法:①取各分母系数的最小公倍数;②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式;③相同字母的指数取次数最高的,这样得到的因式的积就是最简公分母.

(7)通分的依据是分式的基本性质:

(且

C≠0),其中A,B,C是整式.

(8)分式与分子、分母符号的变化法则:改变其中的任何两个,分式的值不变.

巩固练习

1.已知-=3,则代数式

- -

- -

的值为

.

-

-

- -

(

- -

)

解析:把-看作整体,将代数式变形为

- -

- -

,整体代入,得到代数式的值是4.故填4.

2.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母前不含“-”号.

(1)(3)-

- - ;

(2); -

;

(4)- - -

.

解析:(1)中同时改变分子和分式本身的符号;(2)中同时改变分子和分母的符号;(3)中同时改变分母和分式本身的符号;(4)中同时改变分母和分式本身的符号,注意-3c-a的相反数为3c+a,不是3c-a.

解:(1)(2)(3)- - -

-

=-.

.

=- .

(4)- - -

.

1.根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分.

注意:(1)要找出分子、分母的公因式;(2)分子、分母是多项式的要先分解因式,再约分.

2.根据分式的基本性质,把几个异分母分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式叫做分式的通分.

注意:一般取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的乘积作为公分母.

[设计意图]

及时反馈学习的情况,让学生对自己的学习反思,在交流中与同学分享,体验学习数学的快乐.

1.化简,正确的结果为

(

)

A.a

B.a2

C.

D.

解析:先确定公因式,然后把公因式约去.2.

=a2.故选

B.

-

(

-

)( )( ),

,

的通分过程中,不正确的是

(

) A.最简公分母是(x-2)(x+3)2

B.

-

( )

(

-

)( )

C.(

-

)( )

(

-

)( ) -

D.( )

(

-

)( )

解析:按照通分的方法依次验证各个选项,找出不正确的答案.A.最简公分母是(x-2)(x+3)2,正确;B.( )

-

(

-

)( ),正确;C.

(

-

)( )

(

-

)( ),正确;D.

( )

(

-

)(

-

)( )

-

(

-

)( )

,不正确.故选D.

3.化简.

(1)

-

;

(2) -

-

.

解析:(1)题中分子是多项式,首先将它进行因式分解,然后进行约分.(2)题将分子、分母进行因式分解,然后约分.

解:(1)原式=(2)原式= ( )-

.

=-

(

-

)( )(

-

)

.

第2课时

一、分式的约分

分式的约分→最简分式.

二、分式的通分

分式的通分→最简公分母.

一、教材作业

【必做题】

1.教材第132页练习第1,2题.

2.教材第133页习题15.1第5,6,7题.

【选做题】

教材第133页习题15.1第9,10,11题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列分式是最简分式的是

A.C.

-

-

(

)

B.

-

D.-2.下列各式从左到右的变形不正确的是

A.=-

B. -

-

- (

)

- C. - =-

D.-

-

3.将分式和-通分时,最简公分母为

(

) A.ac B.6a C.6ac

4.分式

(

-

)

(

-

)D.12ac

的分子和分母的公因式为

.

-

5.当x=3时,分式【能力提升】

6.约分.

(1)-

- 的值为

.

;

(2),

-

- .

7.通分:

-

- .

-

- 8.先化简,再求值:,其中a=5.

-

- -

9.已知y=3xy+x,求代数式【拓展探究】

10.阅读下面的解题过程: 的值.

已知a2-3a+1=0,求a2+

的值.

解:由a2-3a+1=0知a≠0, ∴a-3+=0,即a+=3.

∴a2+

-2=7.

仿照上面的方法,解决下面的问题: 已知y2+3y-1=0,求【答案与解析】

1.C(解析:要判断分式是不是最简分式,只需判断它能否化简,不能化简的即为最简分式.) 2.D(解析:根据符号法则判断.)

-

的值.

3.C(解析:两个分式的分母分别为3a,2c,系数的最小公倍数为3×2=6,a,c的最高次数均为1,∴最简公分母为6ac.) 4.8ab2(c-2)(解析:公因式即分子、分母中系数的最大公约数与字母的最低次幂的积.) 5.5(解析:6.解:(1)7.解:8.解:

-

- ( )(

-

)(

-

)

-

,将x=3代入得5.故填5.)

(

-

)( )(

-

)-

=-6xyz. (2)

-

- =-

.

-

- ,

的最简公分母是2(x+2)(x-2),所以

(

-

)

-

(

-

)

-

- ,

( )(

- )( )

-

( )

( )(

-

)

-

-

-

.

-

- (

-

)( )

-

,当a=5时,原式=

-

.

-

- -

9.解:因为y=3xy+x,所以x-y=-3xy,当x-y=-3xy时,10.解:由y2+3y-1=0知y≠0,∴y+3-=0,即

-y=3,∴y2+

-

(

-

) (

-

)-

(- ) - -

.

- +2=11,∴y4+

-2=119,∴

-

(

-

)

-

.

本节课体现了学生是学习的主人,学会了类比的思想方法,培养了语言表达和概括知识的能力.在分数约分、通分的基础上,学习分式约分、通分的方法.这一过程由学生自己学习、归纳,这样学生可以把新旧知识联系起来,学起来也不觉得困难,从而激起学生学习的积极性,同时也可以让学生体会类比的思想.由学生自己归纳,可以培养学生的语言表达能力和总结知识的能力.

高估了学生的基础,部分学生求最大公约数和找最小公倍数都不会,造成学生约分时找公因式和通分时找最简公分母较困难.

针对一些对分数的约分和通分感到困难的学生,结对帮扶,为进一步学习分式的约分和通分奠定基础,同时,还应先讲分数的约分、通分,中间花一段时间复习因式分解,使得基础比较差的学生也能接受.

练习(教材第132页) 1.解:(1) .

( )

(2)

.

(3)( )

( )( )

. (4)

-

(

-

)

( )(

-

)(

-

)

-

.

2.解:(1)与的最简公分母为abc,所以通分得

,. (2)与

的最简公分母为4b2d,所以通分得

与

的最简公( )

-

,

. (3)

( )与

( )的最简公分母为ab(x+2),所以通分得 ( ), ( ). (4)

-

分母为(x+y)2(x-y),所以通分得习题15.1(教材第133页) 1.(1)(3)

万字,是分式

( )(

-

)( )(

-

),

.

(2)

-

.

km/h,是分式

-

,是分式

;分式有,,,,.

-

-

2.解:整式有:x-1,,(x+y),3.解:(1)当3x≠0,即x≠0时,分式有意义. (2)当3-x≠0,即x≠3时,分式有意义. (3)当3x+5≠0,即x≠-时,分式有意义. (4)当x2-16≠0,即x≠±4时,分式有意义.

4.解:(1)与

相等.因为

,所以两个分式相等.

(2) 与相等.因为

,所 以两个分式相等.

5.解:(1)6.解:(1)- -

.

. (2)=-. (3) -

- =- . (4)--

.

( )

(2)

.

(3)

,.

=3a+b. (4)

-

( )(

-

)

( )

-

.

7.解:(1)与

, 的最简公分母为

-

6y2,所以通分得(2)

与

的最简公分母为

-

,3a2b2,所以通分得

. (3) 与( )

的最简公分母为2(x+y)2,所以通分得

( )

( )

. (4)

-

与 -

的最简公分母为

( -

)24m-9,所以通分得,.

-

-

8.解:(1)当x(x-1)≠0,即x≠0且x≠1时,分式有意义. (2)当x2+1≠0时,分式有意义.因为x2≥0,所以x2+1>0,所以x取任何实数时,分式都有意义.

9.解:根据题意可知(12000-120w)字为小李第二天打字的数量,所以她第二天打字用的时间为答:第二天她打字用了 -

- min.min.

kg/hm2.

10.解:玉米的单位面积产量为kg/hm2,水稻的单位面积产量为11.解:根据题意,得两块正方形场地的面积之和为(a2+b2)m2,两块长方形场地的面积之和为2ab m2,所以另一块大长方形场地的面积为(a2+b2+2ab)m2.又因为它的长为2(a+b)m,所以大长方形的宽可表示为

( )

(m).

-

12.解:(1)对. (2)不对,(

-

)

(

-

)(

-

)

(

-

)(

-

)

-

.

13.解:(1)因为x≠0,所以当分式的值为0时,x-1=0,解得x=1,所以当x=1时,此分式的值为0. (2)因为a+b≠0,所以a≠-b,所以当分式的值为0时,5a-b=0,所以a=,所以当a=时,此分式的值为0.

1.教学解读

本节课的内容为分式的约分、通分.分式的约分和通分与分数的约分和通分类似,依据都是分式的基本性质.但是在实际计算中,分式的约分和通分比分数要复杂,这是因为在这之前需要先对分子、分母进行因式分解,再找出公因式及最简公分母,这中间还有分式是否有意义的问题,因此学习本节内容时,因式分解这个知识点必须要进行复习.

2.重难点突破

突破的方法是通过复习分数的通分、约分,再用类比的方法得出分式的约分、通分的概念,最后通过例题分析,使学生在理解的基础上灵活准确地进行分式的约分、通分.

已知x+

=4,求

的值.

〔解析〕

将所求分式转化为仅含有x+的代数式求值,或先求分式的倒数的值,然后转化为所求分式的值.

解:∵∴∴

=x2+1+

+1=

-1,而x+=4,

=15,

.

〔解题策略〕

本题运用转化思想将所求分式通过分式的基本性质转化为已知分式的代数式来求值,熟练掌握x+,x2+

,

之间的关系是解题的关键.