习题训练公开课教案

利用几何画板讨论最短路径问题

坎门一中

教学目标：

1、

会用对称轴变换，平移变换确定最短路径；会根据“两点之间，线段最短”进行简单的逻辑推

2、

体会图形类比，转换思想

3、

掌握几何变换在实际问题中应用的方法，并累积经验。

4、

体验数学活动的探索和创造性

教学重点：用轴对称变换，平移变换解决实际问题中的最短路径问题

教学难点：运用轴对称将不共线的多条路劲转化到一条直线上。

教学过程：

一、情景铺垫：

展现电脑模拟事故分析。总结数学模型方法的基本过程：1、分析问题。分析问题所涉及量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量。2、假设化简。根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述。3、建模。在假设的基础上，利用适当的数学工具，数学知识来刻画变量之间的数量关系，建立其相应的数学结构。4、求解。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出所需的解答。5、解释。联系实际问题，对得到的解答进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，形成最后的判断

二、知识准备：

1、两个距离特性：（1）两点距离：两点之间，线段最短.（2）点到直线距离：垂线段最短

2、两种线段关系：（1）三角形三边关系：第三边大于两边之差，小于两边之和

（2）轴对称关系：1、对应点到对称轴距离相等2、对应点连线长度相等

3、命题：四边形中，三边之和大于第四边

（理论证明）

三、知识探索：

1、思考一：镜子前有一个蛋糕，你能找到镜子里面的像吗？

（转换成数学题目：已知A点做直线MN的对称点。） 平面成像画图的数学知识依据：轴对称变换

问题一：线段AB和直线MN位置关系?垂直 问题二：线段AD和线段BD长度关系?相等

问题三：物品和像的距离？线段AB 问题四：眼睛看到像的最短路线？线段BC 思考二：镜子上哪点到蛋糕与眼睛距离和最短路线？ （数学题目：在直线MN上取一点P，使得AP+BP最短？

）

证明辅助线：在MN上任取一点P’连接BP’ AP’ AP’

证明目标：AP+BP

证明辅助知识点：轴对称变换和三角形三边关系

知识应用：

有A田和B田之间距离一定，在河同侧。现在要河边开口井P引流分别到两亩田中，问井在哪个位置才能△ABP周长最短？

2、思考三：

1、两平行镜子中间有一个蛋糕，观察两个像连线经过蛋糕吗？

2、如果镜子不平行两个像连线还经过蛋糕吗？

3、两像连线与镜子交点与蛋糕形成三条线段，这三段和最短吗？

数学题目：

已知：点A关于EF,MN的对称点分别为A’和A’’，A’A’’连线交与EF，MN两点B,C.B’和C‘分别为EF，MN上任意一点. 求证：AB+AC+BC < AB’+AC’+B’C’

知识应用：

已知：道路和铁路间有个超市A，现在准备在道路和铁路上分别按上两盏路灯B,C要求△ABC的三条电路线之和最短，请找出B,C两点位置。

知识提升1：

如果A田和B田在河异侧。在河上搭建一桥EF，桥垂直河边，请问桥位置在哪里，使得AE+EF+BF距离最短？如果A田和B田在河异侧。在河上搭建一桥EF，桥垂直河边，请问桥位置唯一吗？

知识提升2：

在路面上选择一个变压器位置，使得变压器到两个灯的电线距离差最大。

知识小结：

一、题型分类

1、同侧两定点到直线一动点的两线段距离和最短

（题目模型：一平面反射成像路线） 2、一定点到直线上两动点的三条线段距离和最短（题目模型：两平面反射像和像之间路线）

3、异侧两定点到直线一动点的两线段距离差最短（题目模型：河面搭桥路线） 4、异侧两定点到直线一动点的两线段距离差最短（题目模型：铺灯路线） 类型一： 类型二：

M

B CBA''A'O

AA

N

B类型三： 类型四：

ANM

PA' A

B二、作图思路：做点的轴对称

三、数学思想：整合思想，建模思想

四、证明参考知识点：

1、两点间线段最短，点到直线垂线段最短。

2、三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边

3、四边形三边之和大于第四边

课后生活讨论题：

有A田和B田之间距离一定，在河同侧。A田到河面a千米，B田到河面b千米，现在从河边开口P引流两条水渠到两亩田中。

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