测试板书设计及设计说明

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……………………………………装………………………………订……………………线……………………………………………………………………

鮀济中学2018-2019八年级第一学期

数学竞赛

（满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、下列计算错误的是（ ）

A．(2x)32x3

B．a2aa C．(x)(x)x3936326 D．(2a)4a

2. 如图1所示，α，β的度数分别为(

) A.30°，50° B.40°，80° C.40°，40° D.60°，40°

3. 使分式aa2211有意义的a的取值是（ ）

图1 A、a≠1 B、a≠±1 C、a≠－1 D、a为任意实数

4.△ABC中，AB=AC，BC=8，则△ABC的周长x的取值范围是(

) A.x＞4 B.8＜x＜16 C.16＜x＜24 D.x＞16 5.在ΔABC中，∠A=80°，∠B的平分线与∠C的平分线交点O，则∠BOC的度数是( ) A、100° B、50° C、80° D、130°

6.下列各式中，不能用平方差公式的是（ ）

A．(4x3y)(4x3y)

Ｂ．(4x3y)(3y4x) Ｃ．(4x3y)(4x3y) Ｄ．(4x3y)(4x3y) 7．如图2,已知矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F处, 如果∠BAF=60,则∠DAE=( ) A.15 B.30 C.45 D.60 8. 已知a=2，b=3，c=4，则a、b、c的大小关系为(

) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c ‘

554433ooooo图2 1

9. 如图4，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上的一点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=(

) A.210° B.150° C.105° D.75°

10. 现有7张如图1的长为a，宽为b(a＞b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足(

) A.a=2b B.a=3b C.a=3.5b D.a=4b

第10题

图3 图4 二、填空题。（每小题4分，共24分）

11. 从一个多边形的一个顶点出发，作了15条对角线，则这个多边形的内角和为 。

23212.

已知a+a-1=0,则a+2a+2018= ． 13.

分解因式：4+12(x-y)+9(x-y)2=_____

14. 若a，b，c是△ABC的三边的长，则|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|= ．

15. 当x 时，分式x3x3的值为0. 16.

在如图4所示的4×4正方形网格中．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=_____度．

‘

2

三、解答题（一）（每题6分，共18分）

17. 如图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角修建半径为R•的扇形草坪（图中阴影部分）．

（1）图①中草坪的面积为_____; （2）图②中草坪的面积为_____; （3）图③中草坪的面积为_____;

18.先化简，再求值：(3x2)(3x2)5x(x1)(2x1)2，其中x

19．如图，若∠A＝70°，∠ACD＝40°，∠ABE＝30°，

求∠BDC、∠BFC的度数．

‘

13

3

四、解答题（二）（每题7分，共21分）

20. 如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；

(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系并证明．

21. .

设a＝

12m＋1,b＝12m＋2,c＝12m＋3,求代数式a＋2ab＋b－2ac－2bc＋c的值．

222‘

4

22.如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的………延长线上截取CG=AB，连结AD．AG．

…

…(1)求证：AD=AG；

…

…(2)AD与AG的位置关系如何．

…

…

：…

号…座…

…

…

…

…

…

…

…

线

…

…

：…

名…姓…

…

…

…

订

…

…

五、解答题（三）（每题9分，共27分）

…

…

23. (1)填空：(a-b)(a+b)=_____；

…

…

…(a-b)(a2+ab+b2)=_____；

…

…(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=_____．

级…班……(2)计算：210+29+28+…+23+22+2

装

……

……

……

……

……

‘

5

24. 如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=12cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

‘

6

25.如图1，点P(2，2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA=PB．

(1)求证：PA⊥PB；

(2)若点A(8，0)，求点B的坐标；

(3)求OA-OB的值；(4)如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．

‘

7

22. 证明：(1)∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，

∴∠AFC=∠BFC=∠BEC=∠BEA=90°

∴∠BAC+∠ACF=90°，∠BAC+∠ABE=90°，∠G+∠GAF=90°，

∴∠ABE=∠ACF．

在△ABD和△GCA中，

BD=AC

∠ABE=∠ACF

AB=CG，

∴△ABD≌△GCA(SAS)，

∴AD=GA，

(2)结论：AG⊥AD．

理由：∵△ABD≌△GCA(SAS)，

∴∠BAD=∠G，

∴∠BAD+∠GAF=90°，∴AG⊥AD 【答案】

a2-b2

a3-b3

a4-b4

an-bn

342342

【解答】

解：(1)(a-b)(a+b)=a2-b2；

(a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3；

(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4+a3b+a2b2+ab3-a3b-a2b2-ab3-b4=a4-b4；

故答案为：a2-b2，a3-b3，a4-b4；

(2)由(1)的规律可得：

原式=an-bn，

故答案为：an-bn；

(3)29-28+27-…+23-22+2=(2-1)×(28+26+24+22+2)=342．

①29+28+27+…+23+22+2+1=（2-1）•（29+28•1+27•12+…+23•16+22•17+2•18）‘

8

24.【解答】

‘

=210-110+1 =210-1+1 =1024；

解：(1)△BPD≌△CQP，

理由如下∵t=1s，

∴BP=CQ=2×1=2(cm)，

∵AB=12cm，点D为AB的中点，

∴BD=6cm．

又∵PC=BC-BP，BC=8cm，

∴PC=8-2=6(cm)，

∴PC=BD．

在△BPD和△CQP中，

BP=CQ，∠B=∠CBD，BD=PC

∴△BPD≌△CQP(SAS)．

(2)∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，

∴BP≠CQ，

又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，

∴BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm，

∴点P，点Q运动的时间为4÷2=2(s)，

∴Q点的运动速度为6÷2=3(cm/s) 9

25 (1)证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F，

∵点P(2，2)，

∴PE=PF=2，

在Rt△APE和Rt△BPF中，

PA=PB

PE=PF，

∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，

∴∠APE=∠BPF，

∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°，

∴PA⊥PB；

(2)解：易得四边形OEPF是正方形，

∴OE=OF=2，

∵点A(8，0)，

∴OA=8，

∴AE=OA-OE=8-2=6，

∵Rt△APE≌Rt△BPF，

∴AE=BF=6，

∴OB=BF-OF=6-2=4，

∴点B的坐标为(0，-4)；

(3)解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，

∴AE=BF，

∵AE=OA-OE=OA-2，

BF=OB+OF=OB+2，

∴OA-2=OB+2，

∴OA-OB=4；

(4)解：如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F，

同(1)可得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE=BF，

∵AE=OA-OE=OA-2，BF=OF-OB=2-OB，

∴OA-2=2-OB，∴OA+OB=4．

‘

10

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．

(1)如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE=_____°．

(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．

①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．

②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．

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【解答】

解：(1)∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC；

‘

11

∴∠CAE=∠BAD；

在△ABD和△ACE中，\begin{cases}AB=AC\\ \angle BAD= \angle CAE\\AD=AE\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE

∴△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠B=∠ACE；

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°-∠BAC=90°；

故答案为90°；

(2)①由(1)中可知β=180°-α，

∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；

②当点D在射线BC上时，如图1，

同(1)的方法即可得出，△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠ABD=∠ACE，

∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°-∠BAC=180°-α，

∴α+β=180°；

当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，

同(1)的方法即可得出，△ABD≌△ACE(SAS)；

‘

12

∴∠ABD=∠ACE，

∴β=∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠ABD-∠ACB=∠BAC=α，

∴α=β．

如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；

(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明)．

【分析】

(1)根据角平分线基本作图的作法作图即可；

(2)根据角平分线的性质可得∠BDE=\frac{1}{2}21∠BDC，根据三角形内角与外角的可得∠A=\frac{1}{2}21∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．

‘

13

【解答】

解：(1)如图所示：

(2)DE∥AC ∵DE平分∠BDC，

∴∠BDE=\frac{1}{2}21∠BDC，

∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，

∴∠A=\frac{1}{2}21∠BDC，

∴∠A=∠BDE，

∴DE∥AC．

5. 中

△ABC中，AB=AC，BC=8，则△ABC的周长x的取值范围是( A.x＞4 B.8＜x＜16 C.16＜x＜24 D.x＞16 【答案】

D 【解答】

解：∵△ABC的周长为x，BC=8，

∴AB=AC=\frac{x-8}{2}2x−8，

∵AB+AC＞BC，

即x-8＞8，

‘

14

)

∴x＞16．

故选：D．

若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|．

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【分析】

根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．

【解答】

解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

得a-b-c＜0，b-c-a＜0，c+a-b＞0．

∴|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b| =b+c-a+c+a-b+c+a-b =3c+a-b．

如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高，且∠B=25°，∠C=55°，则∠DAE的度数是(

) A.15 °B.35° C.65° D.75°

【答案】

A 如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上的一点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=(

) ‘

15

A.150° B.210° C.105° D.75°

【答案】

A 【分析】

先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．

【解答】

解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，

∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，

∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．

故选A．

如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____

【答案】

180°

【分析】

根据对顶角相等和三角形内角和为180°即可求得∠C+∠D=∠OEB+∠OBE，即可求得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，即可解题．

【解答】

解：连接BE，

‘

16

已知△ABC中，∠A=50°．

(1)如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC=_____°．

(2)如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=_____°．

(3)如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On−1(内部有n-1个点)，求∠BOn−1C(用n的代数式表示)．

(4)如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On−1，若∠BOn−1C=60°，求n的值．

【解答】

解：(1)∵△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°，BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线．

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB=21(∠ABC+∠ACB)=65°，

∴△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=115°，

故答案为：115；

‘

17

(2)∵点O_{2}2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，

∴∠O2BC+∠O2CB=(∠ABC+∠ACB)= 32×130°=(\frac{260}{3}3260)°，

∴∠BO_{2}2C=180°-(\frac{260}{3}3260)°=(\frac{280}{3}3280)°，

故答案为：\frac{280}{3}3280；

(3)∵点O_{n-1}n−1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，

∴∠O_{n-1}n−1BC+∠O_{n-1}n−1CB=\frac{n-1}{n}nn−1(∠ABC+∠ACB)=\frac{n-1}{n}nn−1×130°，

∴∠BO_{n-1}n−1C=180°-\frac{n-1}{n}nn−1×130°；

(4)∵∠BO_{n-1}n−1C=60°，

∴180°-\frac{n-1}{n}nn−1×130°=60°，解得n=13．

）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了(a+b)(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：(a+b)=1，它只有一项，系数为1；(a+b)=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；(a+b)=a+2ab+b，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；(a+b)=a+3ab+3ab+b，2223322301n它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

‘

18

…

根据以上规律，解答下列问题：

(1)(a+b)展开式共有_____项，系数分别为_____；

(2)(a+b)展开式共有_____项，系数和为_____．

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n4

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【答案】

55

1,4,6,4,11,4,6,4,1

n+1n+1

2

nn【分析】

本题通过阅读理解寻找规律，观察可得(a+b)(n为非负整数)展开式的各项系数的规律：n-14两项系数都是1，中间各项系数等于(a+b)相邻两项的系数和．因此可得(a+b)的各项分别为1、(1+3)、(3+3)、(3+1)、1，即：1、4、6、4、1．

【解答】

解：(1)根据题意知，(a+b)的展开后，共有5项，

各项系数分别为1、(1+3)、(3+3)、(3+1)、1，

即：1、4、6、4、1；

(2)通过阅读理解寻找规律,可得答案为 n+1 当a=b=1时，(a+b)=2．

nn4‘

19

故答案为：(1)5，1，4，6，4，1；(2)n+1，2．

20.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°．

求证：AE=AD+BE．

21.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 点，∠ADC+∠B=180°．

(1)求证：BC=CD；

(2)2AE=AB+AD．

n‘

20

22. 已知：如图△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你说明

DA-DB=DC．

‘

21

23.已知：如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作经过点A的直线l 的垂线段BD、CE，垂足分别D、E．

(1)求证：DE=BD+CE．

(2)如果过点A的直线经过∠BAC的内部，那么上述结论还成立吗？

请给出你的结论，并画出图形予以证明．

24.如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD．AG．

(1)求证：AD=AG；

(2)AD与AG的位置关系如何．

‘

22

25.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4．

(1)则S△ACD=_____；

(2)求AC的长．

‘

23

26.

‘

24

现有7张如图1的长为a，宽为b(a＞b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足(

) 

A. a=2b 

B. a=3b 

C. a=3.5b 

D. a=4b 收起答案

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‘

25

【答案】

B 【分析】

表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．

【解答】

解：法1：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，

∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，

∴AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a，

∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•CG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab，

则3b-a=0，即a=3b．

法2：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，

设向右伸展长度为x，左上阴影增加的是3bx，右下阴影增加的是ax，因为S不变，

∴增加的面积相等，

∴3bx=ax，

∴a=3b．

故选：B．

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‘

26

在如图所示的4×4正方形网格中．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=_____度．

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【答案】

315315

【分析】

根据三角形全等的性质得∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，∠4=45°．

【解答】

解：由图可知，∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等， 所以∠1+∠7=90°． 同理得，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°． 又∠4=45°， 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=315°． 故答案为：315．

初二上竞赛答案

10【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形， ‘

27

∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。∴∠2=120°。

∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。

又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°。

∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。

∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。

∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。

以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7

的边长为32。故选C。

21.①船到达C点的时间是下午3时30分；②船在下午5时30分到达B岛的正南的D处。

25.(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。

证明：取CD中点F，连接BF 1∴ BF= AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）

2∴

∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等) 又∵ AB=AC ∴

∠ACB＝∠3 （等边对等角）

∴

∠3＝∠2 在ΔCEB与ΔCFB中，

BF=BE

∠3＝∠2

F41CAE23BD

∴

ΔCEB≌ΔCFB (SAS) CB=CB

‘

28

1∴ CE=CF= CD （全等三角形对应边相等）

2即CD=2CE

（ⅱ）加倍法

证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF. 在ΔAEC与ΔBEF中，

AE=BE

∠1＝∠2

（对顶角相等）

CE=FE

∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS) ∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等) ∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行) ∵

∠ACB+∠CBF=180, ∠ABC+∠CBD=180, 又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC ∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）

在ΔCFB与ΔCDB中，

CB=CB

∠CBF=∠CBD

oo

∴

ΔCFB≌ΔCDB (SAS) ∴ CF=CD 即CD=2CE

‘

BF=BD

29

20解：

已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

‘

30

（1）证明：

如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，∴点B为线段AD的中点，

又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF．

（2）解：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=AD=

a，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．

分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=∴ME=AG．

∵CG=CF=a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，

a，CA=CD=a，∴AG=DF=a，∴BM=ME=×a=a．

‘

31

（3）证明：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

如图，(1)P是等腰三角形ABC底边BC上的一人动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R。请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想。

(2)如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，(1)中所得的结论还成立吗？请你在图15(2)中完成图形，并给予证明。

试题分析：解：（1）AR=AQ,理由如下：

∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵RP⊥BC ∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90º

∴∠BQP=∠PRC ∵∠BQP=∠AQR ∴∠PRC=∠AQR ∴AR=AQ （2）猜想仍然成立。证明如下：

∵AB=AC ‘

32

∴∠ABC=∠C ∵∠ABC=∠PBQ ∴∠PBQ=∠C ∵RP⊥BC ∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90º

∴∠BQP=∠PRC ∴AR=AQ

‘

33

5阅读下列材料，按要求解答问题：

如图9－1，在ΔABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．小明通过以下计算：由题意，∠B＝30°，∠C＝90°，c＝2b，a＝3b，得a－b＝(223b)－b＝2b＝b·c．即a－b＝ bc．

2222222于是，小明猜测：对于任意的ΔABC，当∠A＝2∠B时，关系式a－b＝bc都成立．

（1）如图9－2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；

（2）如图9－3，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；

（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A＝2∠B，请直

接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．

图9-1

图9-2

2图9-3

b，

解 (1) 由题意，得∠A=90°，c=b，a=∴a–b=(222b)–b=b=bc．

·············

3分

222(2) 小明的猜想是正确的．

·············

4分

理由如下：如图3，延长BA至点D，使AD=AC=b，连结CD，

·························

5分

则ΔACD为等腰三角形．

图9-3

∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B，∴∠B=∠ACD=∠D，∴ΔCBD为等腰三角形，即CD=CB=a，

·······················

6分

又∠D＝∠D，∴ΔACD∽ΔCBD，

···········

7分

∴ADCDCDBD．即baabc．∴a=b＋bc．∴a–b= bc ·

8分

2222(3) a=12，b=8，c=10．

·············· 10分

‘

34

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．

求证：BD＝CG．

15．

‘

A B E O F D C 35

20.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分.

试说明1133m2nm2n(2n4)(42n)的值与n无关．

44

3、若三角形的三边a,b,c分别是a3cm,b(x1)cm,c6cm,则x应满足的取值范围是 。

4、已知以AB=60㎝为腰的等腰三角形玻璃被打碎，其中一块较完整的如图（2）所示，那么它的底边BC的取值范围是 。

5、已知ΔABC是等腰三角形，若它的两边长分别为8㎝和3㎝，则它的周长为 ；若它的两边长分别为8㎝和5㎝，则它的周长为 ；若它的周长为18㎝，其中一边的长为4㎝，则另外两边的长分别是 。

6、一个多边形的每个外角都是36°，则这个多边形是 边形；一个多边形的每个内角都是135°，则这个多边形是 边形。

7、从一个多边形的一个顶点出发，作了15条对角线，则这个多边形的内角和为 。

8、过m边形的顶点能作7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则(m-k)=___. 9、如图（3），在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，则∠E+∠F= 。

10、一个n边形除一个内角外，其余所有内角的和等于1290°，那么n= 。

4、、有四根木条，长度分别为12㎝，10㎝，8㎝，4㎝，选其中三根组成三角形，则选择方法共有( ) A、1种 B、2种 C、3种 D、4种

5、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )12n

‘

36

A、∠A+∠B=∠C B、∠A=∠B=∠C C、∠A=90°－∠B D、∠A－∠B=90°

6、如图(4)，已知AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，则∠M=( ) A、52° B、42° C、10° D、40°

7、多边形的边数增加一条，则它的外角和( ) A、增加180° B、增加360° C、不变 D、减少180°

8、如图，已知l1∥l2，则下列式子中，它的值等于180°的是( ) A、∠1+∠2+∠3 B、∠1+∠3－∠2 C、∠3+∠2－∠1 D、∠1+∠2－∠3 9、ΔABC中，∠A=80°，∠B的平分线与∠C的平分线交点O，

则∠BOC的度数是( ) A、100° B、50° C、80° D、130°

2、如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，点E在CB的延长线上，已知∠ACD=55°，求∠ABE的度数。

213DAB1287EF3456C图3MEC图4BDAl1l2CAGDFCADBE

B

5、如图，在ΔABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，HD是∠BHC的平分线，求∠ABE、∠ACF和∠CHD的度数。

‘

37

AEFHBDC

11、如图，在等腰ΔABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AC，DF⊥AB，BM是腰上的高，你能判断BM与DE+DF之间的大小关系吗？你能用三角形的面积说明理由吗？

答案: 一、

1.中线，角平分线； 2.2，1，2； 3.4

1.若合格，应满足∠BDC=∠A+∠B+∠C=143,而148≠143. 2.125; 3.8cm,8cm,3cm. 4.(1)所用材料的形状不能是正五边形，应为正五边形的每个内角都是不是108，要拼成平整、无空隙的地面，必需使若干个正五边形拼成平一个周角，但找不到符合条件的n×0000000‘

38

108=360的n;(2),(3)略。

5.30,3060;

6.60,60,90-,150;

7.直角三角形；

8.(1)17,(2)略。0000000000AFBDMEC54

1549.28cm; 10.b; 可得; 12.320; 13.2米. 11.连结AD,用SABC

SABDSACD3. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，若∠BDC=120°，则∠A的度数为（ ）

^ （第3题图）

A．110° B．100° C．80° D．60°

6．若⊿ABC的内角满足，2∠A－∠B = 60°，4∠A＋∠C = 300°则⊿ABC是（ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定

‘

39

8．在△ABC中，若a=2x，b=4x，c=12，则x的取值范围是（ ）

A．22 C．x<12 D．2

A．430° B．4343° C．4320° D．4360°

15、如图，已知∠A=58°，∠B=44°，∠DFB=42°，则∠C的度数是______．

16. 如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=______．

4．如图，在△ABC中，∠A＝．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，

得∠A2；

……；∠A2008BC与∠A2008CD的平分线

‘

40

相交于点A2009，得∠A2009

．则∠A2009＝ ．

（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线……

（2）归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数，用等差公式.Sn=n(n+1)/2,前n项的和Sn=（首项+末项）×项数÷2, 因为总共有n-1项,故为Sn=n(n-1)/2

（3）推理：平面上有n个点，两点确定一条直线。取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即Sn=n(n-1)/2

（4）结论：Sn=n(n-1)/2

‘

41

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. （1）找出图中的全等三角形，并证明；

（2）求证：CD=2CE

分析：

25.(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。

证明：取CD中点F，连接BF 1∴ BF= AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）

2∴

∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等) 又∵ AB=AC ∴

∠ACB＝∠3 （等边对等角）

∴

∠3＝∠2 在ΔCEB与ΔCFB中，

BF=BE

∠3＝∠2

∴

ΔCEB≌ΔCFB (SAS) 1∴ CE=CF= CD （全等三角形对应边相等）

2即CD=2CE

（ⅱ）加倍法

CCB=CB

‘

42

A41E23BDF

证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF. 在ΔAEC与ΔBEF中，

AE=BE

∠1＝∠2

（对顶角相等）

CE=FE

∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS) ∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等) ∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行) ∵

∠ACB+∠CBF=180, ∠ABC+∠CBD=180, 又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC ∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）

在ΔCFB与ΔCDB中，

CB=CB

∠CBF=∠CBD

oo

∴

ΔCFB≌ΔCDB (SAS) ∴ CF=CD 即CD=2CE 5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．

求证：BD＝CG．

BF=BD

‘

43

证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中，

∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延长线于F

∴∠AEC＝∠CFB＝90°

又∠ACB＝90°

∴

∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF

∴ Rt△AEC≌Rt△CFB

∴CE＝BF

在Rt△BFD与Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF，由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG，

∴ Rt△BFD≌Rt△CEG

∴

BD＝CG

 2. 如图，ABC是等边三角形，CBD90，BDBC，则1的度数是________。

C

A

2

1

3

B

D

2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。

解：因为ABC是等边三角形

ABC 所以ABBC，60

 因为BDBC，所以ABBD

所以32

‘

44

 在ABD中，因为CBD90，ABC60

所以ABD150，所以215

所以12ABC75

‘

45

3.如图3，AB=DC，AD=BC，E.F是DB上两点且BE=DF，若∠AEB=100°，∠ADB=30，则∠BCF= .

AFEBC1A2EDB

C图3 图4 D4.

如图4，△ABC≌△AED，若ABAE，127，则2 . 24. (8分)如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A.C作BD的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF＝CF－AE.

16．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

16．如图11所示，过B点作BH⊥BC交CE的延长线于H点．

∵∠CAD＋∠ACF＝90°，∠BCH＋∠ACF＝90°，

‘

46

∴∠CAD＝∠BCH．在△ACD与△CBH中,

∵∠CAD＝∠BCH，AC＝CB，∠ACD＝∠CBH＝90°，

∴△ACD≌△CBH．∴∠ADC＝∠H ①

CD＝BH，

∵CD＝BD，∴BD＝BH．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠CBA＝∠HBE＝45°

BDBH,∴在△BED和BEH中，EBD＝EBH,，∴△BED≌△BEH．

BE＝BE,∴∠BDE＝∠H，

②

由①②得，∠ADC＝∠BDE．

9．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．

答：图形＿＿＿；理由是＿＿＿．

4、如图1，AB=AC，∠A=40,AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=_______。

5、如图2，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长是________。

o‘

47

6、已知A(a,-2)与B(a=___,b=____。

7、等腰三角形的一个角为40,那么另外两个角的度数为_____________。

8、等腰三角形的一边长为8cm，周长为30cm，另外两边长为_______。

14、如图6,已知矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F处,如果∠BAF=60,则∠DAE=( ) A.15 B.30 C.45 D.60

22、如图13，某船在上午11点30分在A处观测岛B在东偏北30，该船以10海里/时的速度向东航行到C处，再观测海岛在东偏北60，且船距海岛40海里。

(1)求船到达C点的时间；(2)若该船从C点继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？

‘

oooooooo13,b)关于y轴对称，则48

24、如图15，(1)P是等腰三角形ABC底边BC上的一人动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R。请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想。

(2)如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，(1)中所得的结论还成立吗？请你在图15(2)中完成图形，并给予证明。

(22)①船到达C点的时间是下午3时30分；②船在下午5时30分到达B岛的正南的D处。

(23)连接AE，利用在Rt△中30角所对的直角边等于斜边的一半，再证明等腰三角形，通过代换即可得结论。

(24)①AQ=AR 证明略

②猜想仍然成立。

‘

o49

13．已知：如图6甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时，甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上的定点Q处，丙点在OB上且可以移动．游戏规则：甲将接力棒传给乙，•乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处，若甲、乙、丙三人速度相同，试用尺规作图找出丙必须站在OB上的何处？使他们完成接力所用的时间最短？

18．已知:如图，在直角坐标系中，有四点A（-2，2），B（-1，0），当四边形ABCD的周长最短时，求m和n的值．

52），C（0，n），D（m，‘

50

10.(3x＋2)－(3x－2)＋(3x＋2)·(3x－2)；

11.

2223212.已知(x＋y)＝1，(x－y)＝49， 13.已知;aa10，求a2a1999的值

222222求x＋y与xy的值。

六、察下列算式，你能发现什么规律？

‘

51

1314241935116

46125请把你发现的规律用n的公式表示出来。并计算2006×2008＋1 已知是的三条边，且满足，试判断的形状。

分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

解：

为等边三角形。

2. 已知：，求的值。

3. 若是三角形的三条边，求证：

4. 已知：，求的值。

2. 解：

‘

52

转成

3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。

证明：

即 4. 解 是三角形三边

且

，即

的值一定是非负数

例：求证：多项式 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：

‘

53

设，则

1. 若x为任意整数，求证： 解：(7x)(3x)(4x2)100

的值不大于100。

2. 将 解：

6、我国北宋时期数学家贾宪在他的著作《开方作法本源》中的“开方作法本源图”如下图⑴所示，通过观察你认为图中a＝＿＿＿＿＿＿＿；

‘

54

已知10=3，10=2，则10mn2m-n= ．

(1)若x2n=4，x6n= ， (2)已知am=2，an=3，则am+n= .

3. （2012广东深圳3分）如图，已知：∠MON=30，点A1、A2、A3

在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7

的边长为【 】

o

A．6 B．12 C．32 D．64 【答案】C。

【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1=A2B1∴∠2=120°。

∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。

又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°。

∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。

∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。

∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。

‘

，∠3=∠4=∠12=60°。55

以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7

的边长为32。故选C。

3. a为何值时，关于x的方程 4. 已知关于x的方程的解等于零？

有一个正整数解，求m的取值范围。

，无论取何值，它的根 5. 如果a、b为定值，关于x的一次方程总是1，求a、b的值。

3. 解：去分母，得 当 设

时，方程有唯一解，，则

时，原方程的解为0。

综上所述，当 4. 分析：解分式方程综合了分式的运算，整式方程等知识，除此之外，分式方程一般还可能应用代数式的恒等变形的知识。

解：

‘

56

又 当原方程有解，，即

不能为增根

方程解为正整数

，则且

时，原方程有正整数解

5. 分析：原方程是关于x的一元一次方程，由题意把根代入原方程转化为解关于k的方程。

解： 由题意得

代入上式得：

有无数解，

解得

已知：如图甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时，甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上的定点Q处，丙点在OB上且可以移动．游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处，若甲、乙、丙三人速度相同，作图找出丙必须站在OB上的何处使他们完成接力所用的时间最短？

‘

57

已知△ABC中，∠A=50°．

(1)如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC=_____°．

(2)如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=_____°．

(3)如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On−1，若∠BOn−1C=60°，求n的值．

25.如图，在△ ABC中，AB=AC，

延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE

如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=12cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD‘

58

与△CQP全等？

23.(1)填空：(a-b)(a+b)=_____；

(a-b)(a2+ab+b2)=_____；

(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=_____．

(2)猜想：

(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=_____(其中n为正整数，且n≥2)．

(3)利用(2)猜想的结论计算：

29-28+27-…+23-22+2=_____．

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【答案】

a2-b2

a3-b3

a4-b4

an-bn

342

【分析】

(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；

(2)根据(1)的规律可得结果；

(3)原式变形后，利用(2)得出的规律计算即可得到结果．

解：(1)(a-b)(a+b)=a2-b2；

(a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3；

(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4+a3b+a2b2+ab3-a3b-a2b2-ab3-b4=a4-b4；

故答案为：a2-b2，a3-b3，a4-b4；

【解答】

‘

59

(2)由(1)的规律可得：

原式=an-bn，

故答案为：an-bn；

(3)29-28+27-…+23-22+2=(2-1)×(28+26+24+22+2)=342．

‘

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