构建知识体系第二课时教案

一、教材的地位与作用

本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上, 1、因式分解是整式乘法的逆向运用。

2、因式分解是代数式的一种重要的恒等变形。

3、在分式的运算中，因式分解是通分和约分所必备的基础知识。

4、在解二次或高次方程、方程組、不等式中，因式分解法是一种重要的解法；在研究代数式和三角函数式的变形中，分解因式是一种重要的手段。

5、在数的计算中，因式分解是运行数的简便运算的一种方法。

6、由于因式分解需要用到整式概念和运算，特別是乘法公式，因此对整式的有关概念和运算将会起到进一步巩固和熟练的作用。

7、因式分解为数学交流提供了有效的途径，是代数推理的需要，是学好代数的基本能力之一。

分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用．

二、指导思想

1、充分挖掘教材的内容施教，最大限度地发挥“思考”“观察与猜想”、“数学活动”、“

例、习题”的功能，使学生得到充分发展。

2、本章有丰富的素材来渗透数学思想方法，应不失时机地渗透类比思想、整体思想、数形结合思想、用字母代替数的思想、从特殊到一般和从一般到特殊的研究问题的方法。感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点。

3、发展学生的逆向思维能力、培养学生准确条理的数学语言表达能力、

进一步发展学生的观察、分析、发现、归纳、总结、反思等能力．

4、熟练掌握知识和技能，牢固打好基础。因为没有基础就不会有能力。

三、教学内容分析

Ⅰ、因式分解的意义的教学

（一）、引入并形成概念

630能被哪些数整除？说说你是怎么想的. 在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把630分解成质数的乘积的形式，即630=2×32×5×7.

1

类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式。 例如：（1）求代数式IR1IR2IR3的值，其中

R119.7,R232.4,R335.9,I2.5

（2）求a2-2ab+b2的值，其中a=2002,b=2003. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式

（数学概念的教学，应设计一定的教学情景，从学生熟悉的事例或数学知识的新旧联系中引入，使学生看到数学概念的背景和来源，体会概念的形成过程。渗透从分解因数到分解因式的类比思想方法。）

（二）概念的辨析

1、因式分解与整式乘法两个概念的辨析：

(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算. 例如：

(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验. （因式分解与整式乘法是两种相反的恒等变形，也是思维方向相反的两种思维方式，因此，因式分解的思维过程实际也是整式乘法的逆向思维的过程。分解因式是针对多项式的一种恒等变形，是把“和”化为“积”。

而整式乘法，则是把“积”化为“和”。）

2、概念的理解

下列各式的变形中，是否因式分解，为什么？

（1）x24x1xx41；

（2）2x34x212x9；

（3）18a3bc3a2b6ac；

（4）3x2yxyyy3x2x1；

（5）x25x6x2x3；

69（6）x26x9x212.

xx2（对有联系又容易混淆的概念，要提供具体的正例或反例进行辨析，通过对比分清它们的联系与区别，揭示其各自的本质属性和逻辑关系。另外，通过应用概念解决问题的的训练，使学生加深对概念的理解，正确掌握、灵活运用概念，并能正确使用表述概念的数学语言。）

Ⅱ、提公因式法

2

（一）因式分解方法的提出

上节课我们知道了什么是因式分解，从这节课开始我们要学习因式分解的方法。用什么方法进行因式分解呢？

既然因式分解与整式的乘法是相反方向的变形，那么我们就从整式乘法的方法来探寻因式分解的方法。

（分解因式问题的提出，实际上是对整式乘法的逆过程的思考并运用，逆向思考的方法也是我们处理一般问题的一个重要方法，而且也是人们发现问题的重要方法。）

例如：单项式与多项式的乘法

①m(a+b+c)=ma+mb+mc反过来就是因式分解：

①ma+mb+mc=m(a+b+c)，

师：多项式ma+mb+mc有什么特征？

生：各项都有m 。

师：m是各项都有的因式，因此给它一个名称：各项的公因式。

师：实施因式分解的措施是什么呢？

生：是把各项中都有的m提取出来。

师;我们把这种分解因式的方法叫做提公因式法。

又如：多项式与多项式的乘法：

②(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9 ③(m+1)2=m2+2m+1反过来就是因式分解：

②4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) ③m2+2m+1=(m+1)2 显然，把这两个多项式因式分解的方法是逆用了完全平方公式和平方差公式，我们把这种分解因式的方法叫做公式法。

再如：

④(x+2)(x+5) =x2+7x+10=x225x25

反过来就是：

④x2+(2+5)x+2×5=(x+2)(x+5)，

于是，我们还要研究x2pqxpq型式子的因式分解。

下面我们就分门别类的、细致的逐一学习因式分解的方法。

（提取公因式法，是因式分解所有方法的第一种，在研究以前，有必要让学生了解所有方法的名称。对因式分解的方法初步形成一个整体的认识。

因式分解与前面的整式联系极为密切，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。让学生体会到新知的学习是建立在与旧知识的联系的基础之上的。）

（二）提公因式法

1、公因式及公因式的确定

公因式——多项式中各项都有的因式。

举两例： （1）把8a3b212ab3c分解因式

（2）把 3a2x215a2xy42a2y2分解因式

3

让学生去找公因式，然后引导学生归纳各项的公因式是怎样确定的。

公因式的确定——多项式中各项系数的最大公约数与各项相同字母的最低次幂的积。

要点归纳：一定系数，二定字母，三定指数。

公因式的种类——单项式（数、字母）和多项式。

尽管有不同的形式，但是确定公因式的方法一样，有时需要把多项式看作一个整体。

例如：下列代数式的公因式是什么？

2x28,x24x4,6x22x

（数学概念要严密、严谨。培养学生使用数学语言的能力。）

2、提取公因式后，另一因式的确定

另一因式是多项式除以公因式所得的商。

（另一因式的确定，人教版课本讲得十分清楚，但是教师往往忽略，致使当对含有字母指数的多项式进行因式分解时就束手无策了。如：xn2xn13xn1。

把多项式中各项的公因式分离，便于得出“另一因式”的各项，这是解题的方法，更重要的是讲清楚“另一因式”的本质。）

（三）、提公因式法的题型与应用

1、题型

（1）公因式是单项式

例如： 3a2x215a2xy42a2y2和计算：53424336332. （2）公因式是多项式

例如：2abc3bc和pyzqzy. 2、应用

（1）用于整式的简便计算

例如：计算: ①213.14623.14173.14; ②5433533252315；

22233x2y

xxyxyyxxy③④解方程x7x5x1x542

(增强学生运用提公因式法的意识，以便减少计算量。)

（2）用于实际问题

例如：

②某公园计划砌一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，请你比较两种方案，确定哪一种方案砌各圆形水池的周边需要的材料多。

4

rrr6r3r2(1) (2)

（3）用于解释问题

(P.204/活动2) （1）计算下列两个数的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10。你发现结果有什么规律？

53×57，38×32，84×86，71×79. （2）你能用本章所学的知识解释这个规律吗？

（3）利用你发现的规律计算：58×52，63×67，752，952. (用字母表示数，使数学的抽象性与应用的广泛性进一步得到体现。同时培养学生学会运用数学的抽象思维来认识问题和解决问题。体现从特殊到一般，又从一般到特殊的研究问题的方法。) (P.203/活动1，也是用字母代替数思想方法的一个很好的应用) Ⅲ、公式法

（一）、公式的特征

a2b2abab a22abb2ab

对平方差公式与完全平方公式的特征的识别非常重要。途径可以是：

（1）

语言表达。

（2）

图形符号表达：

☆2-○2=（☆+○）（☆-○）；

☆2±2•☆•○+○2=（☆±○）2

（用图像来反映公式的表征）

（二）、公式的辨析

1、关于平方差公式

下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？

（1）x2y2；（2）x2y2；（3）x2y2；（两种解法）

（4）x2y2；（5）x2(y)2

2、关于完全平方公式

2224a（4b

1x2 xyy2（1）x （）3）2xyy21（4）y2y （52）（6）4x26xy9y2

x2 4x24（要让学生用公式的数学语言来表述因式分解或说明所列举的例子的可用与否。对完全平方式的教学也应引起足够重视，它是学习配方法解一元二次方程的基础，要能用文字语言表达它的特征。）

（三）公式法的题型与应用

5 2

题型：

1、公式中的a、b是单项式；

例如：x22

和

25a280a64

2、公式中的a、b至少一个是多项式；

例如：①2xyx2y 和 ②mn4mmn4m2

3、提公因式后用公式；

例如： ①x2y4y 和 ②x24xy4y2

4、展开合并后用公式；

例如：①p4p13p 和 ②ab4ab

应用：

1、用于整式的简便计算；

例如：计算：3yz2yzz2y

2、用于寻找规律

例如：观察下列式子：

222222419326814972

14161225152你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？

（数学本是一种抽象的符号思维，从教学生的第一天起，就应该致力于相关的训练。见得多、用得多了，“抽象的符号语言”也会“直观”起来。）

3、用于实际问题

如图，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，计算当R=7.8cm，r=1.1cm时剩余部分的面积（取3.14）. Rrrrr

（各种题型，让学生整理，纳入知识系统。）

（四）、

提公因式、平方差公式和完全平方公式的几何意义

baabcacdad abab

6

ab+ac+ad =a（b+c+d） a2b2abab

aabbababa2aba+babb2a+ba-ba2abab2b 2a-b

2a22abb2ab a22abb2ab

Ⅳ、x2pqxpq型式子的因式分解

（一）、方法的得来

在整式的乘法一节，P.177，练习3：观察下图，填空：

xpxq2x.

xpx2pxxqxpqq

得到：xpxqx2pqxpq.

反过来，就是因式分解：x2pqxpqxpxq.

（二）特征分析

对于二次三项式x2＋px＋q，如果常数项q可分解为两个因数a、b的积，并且a＋b＝p，那么x2＋px＋q就可分解为(x＋a)(x＋b). 此时p、q、a、b之间存在着如下规律：①当q＞0时，a与b同号，②当q＜0时，a与b异号.即常数项是正数时，应分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号一致；常数项是负数时，应分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同. （必要的解题技巧需要与学生一起探讨。）

（三）、应用

1、某些二次项系数为1的二次三形式的因式分解

2、解方程（组）、不等式（组）

例如：解不等式组

7

2x(2x5)2x3x4x1x38xx5x52

3、确定p或q的值

例如：已知x25xq可分解成两个一次因式的积，试写出5个q的可取值。

Ⅴ、因式分解复习

一、知识梳理

意

义

因

式

分

解

方

法

（通过梳理知识网络，培养观察、归纳、总结能力，形成知识系统，有利于掌握知识。学生通过对教学内容的结构化组织，加强单元中教学内容之间的相互联系，形成良好的认知结构。）

二、

因式分解的意义

1、什么是因式分解？要点是什么？

2、

因式分解的意义

左边 = 右边

多项式 整式×整式（单项式或多项式）

3、概念巩固

例1、下列各式的变形中，是否因式分解，为什么？

（1）x2y21xyxy1；

（2）x2x1x2x2；

（3）6x2y33xy2xy2；

（4）xyyxa2xy1a2；

8 提取公因式法：ab+ac

=

a(b+c) 公式法

平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2

x2+(p+q)x+pq型

x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 2

9（5）x2y6xy9yxyx6.

x（学生通过（1）进一步认识“积”的含义；通过（2）认识因式分解与整式乘法的关系；通过（3）认识因式分解的对象是“多项式”；通过（4）说明可以用整式乘法检验其真伪；通过（5）检验对因式分解概念的正确理解；由（6）认识分解因式的结果是化成整式的积的形式。培养学生会用基本概念解释问题，而非主观臆断。）

理解因式分解的要点：

1、结果是积的形式；

2、每个因式必须是整式；

3、是对多项式进行因式分解。

4、各因式要分解到不能再分解为止。

三、因式分解的方法

在知道了什么是因式分解之后，我们学习了因式分解的方法，有哪些方法呢？方法不同，它们所适用的多项式也不同，请指出它们各应用于分解几项式？

1、提取公因式法 —— 多项式

2、公式法：

平方差公式 —— 二项式

完全平方公式

—— 三项式

3、x2pqxpq

型

—— 三项式

根据多项式的项数，来确定因式分解的方法，是对我们的基本要求。

（从宏观的角度，明确四种因式分解的方法所适用的范围。）

事实上，把多项式分解因式往往不只用上面的三种方法中的一种方法，而是需要把几种方法综合起来使用，这就面临一个问题：哪种方法先用？哪种方法后用？怎样合理地选择？

四、因式分解方法的选择

多项式分解因式的一般步骤是：

1、首先观察这个多项式的各项是否有公因式，如果有，可先提取公因式。

2、提取公因式后，另一个因式如果是一个二次二项式，考虑用平方差公式；另一个因式如果是一个二次三项式，考虑用完全平方公式，或考虑用型；

x2pqxp

q

形成简明的一般步骤：

1、提取公因式

2、看项数

*两项式--平方差公式

*三项式---完全平方公式或x2pqxpq

型

（练习中应学生表达选择因式分解方法的思想历程。培养思维的有序性和逻

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辑性。养成先分析，再解题的良好学习品质。）

四、注意事项

因式分解的结果：

（1）

单项式的因式应写在多项式的前面。

（2）

各因式中不应有大、中括号。

（3）

相同的因式写成幂的形式。每个因式都要分解到不能分解为止。

（在日常学习中养成边学习边总结，不断形成知识系统的学习习惯，逐步培养概括总结能力，批判反思能力，从而不断提高学习能力。）

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