线段的垂直平分线的作图优质课一等奖

课题：13.1.2线段的垂直平分线的性质

教学目标：

掌握线段的垂直平分线的性质和判定，会画轴对称图形的对称轴，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．2·1·c·n·j·y

重点：

线段的垂直平分线的性质和判定定理的条件及轴对称图形的对称轴的画法. 难点：

灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．

教学流程：

一、知识回顾

1.什么是线段的垂直平分线？

答案：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

2.轴对称的性质是什么？

答案：对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

二、探究

问题：如图，直线l

垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l

上的点，请猜想点P1，P2，P3，…

到点A

与点B

的距离之间的数量关系．21教育网

答案：相等

你能得到什么结论呢？

归纳：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

追问2：你能证明这个结论吗？

已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P

在l

上．

求证：PA =PB．

证明：∵

l⊥AB，

∴

∠PCA =∠PCB．

又

AC =CB，PC =PC，

∴

△PCA

≌△PCB（SAS）．

∴

PA =PB．

符号语言：

∵

CA =CB，l⊥AB，

∴

PA =PB．

想一想：反过来，如果PA =PB，那么点P

是否在线段AB

的垂直平分线上呢？

答案：点P

在线段AB

的垂直平分线上．

追问：你能证明这个结论吗？

已知：如图，PA =PB．

求证：点P

在线段AB

的垂直平分线上．

证明：过点P直线l⊥AB，

垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．

在Rt△PCA

和Rt△PCB

中，

∵PA =PB，PC =PC，

∴Rt△PCA

≌Rt△PCB（HL）．

∴AC =BC．

又PC⊥AB，

∴点P

在线段AB

的垂直平分线上．

追问2：你能再找一些到线段AB

两端点的距离相等的点吗？能找到多少个呢？

归纳：在线段AB

的垂直平分线l

上的点与A，B

的距离都相等；反过来，与A，B

的距离相等的点都在直线l上，所以直线l

可以看成与两点A、B

的距离相等的所有点的集合．

归纳：线段垂直平分线的判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

符号语言：

∵PA =PB，

∴点P

在AB

的垂直平分线上．

想一想：如何利用直尺和圆规，经过已知直线外一点作这条直线的垂线呢？

已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：(1)任意取一点K

，使点K与点C

在直线AB的两旁；

(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；

(3)分别以点D和点E为圆心，以大于(4)作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. 1DE的长为半径作弧,两弧相交于点F；

2

追问：为什么直线CF就是所求作的垂线？

∵CD=CE，FD =FE，

∴C、F都在DE的垂直平分线上，

∴CF垂直平分DE．

∴CF⊥AB. 问题：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？21cnjy.com

答案：作任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 例：如图，点A

和点B

关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

作法：如图．

（1）分别以点A，B

为圆心，以大于

AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D

两点；

（2）作直线CD．

CD

就是所求作的直线．

强调：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图.我们也可以用这种方法确定线段的中点. 想一想：如何找到轴对称图形的对称轴呢？

答案：作任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 练习：

1.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是(

)www.21-cn-jy.com

A．11

B．10

C．9

D．8 答案：B 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(

)

A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分

D．CD平分∠ACB

答案：A

3．如图，分别以线段AB的端点A，B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧相交于点M，2N，连接MN，AM，BM，MN与AB交于点O，则AO＝____，AM＝____．

答案：BO，BM

三、应用提高

如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．

答：相等. 理由：连接BC，

∵AB＝AC，DB＝DC，

∴AD垂直平分BC，

∴BE＝CE. 四、体验收获

今天我们学习了哪些知识？

1.说一说线段垂直平分线的性质和判定定理？

2.如何用尺规作轴对称图形的对称轴？

五、达标测评

1．如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，若△ABD的周长是22 cm，则AE的长为(

)

A．2 cm

B．3 cm

C．4 cm

D．5 cm 答案：C

2．如图，点D在△

ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在________的垂直平分线上．

答案：AC

3.如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3 cm，则P点到直线AB的距离是____cm.21世纪教育网版权所有

答案：3

4．如图, AD⊥BC, BD＝CD, 点C在AE的垂直平分线上. 若AB＝5 cm, BD＝3 cm, 求BE的长．21·cn·jy·com

解：∵BD＝CD，

∴BC＝2BD＝6 cm，

又∵AD⊥BC，

∴AB＝AC＝5 cm. ∵点C在AE的垂直平分线上，

∴CE＝AC＝5 cm，

∴BE＝BC＋CE＝11 cm 六、布置作业

教材64页习题13.1第6题．