习题训练教学目标

等腰三角形（3）

“数学思想是数学知识的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．”今天我为大家作引领，一起来感受数学思想的魅力．先请同学们完成热身练习

（1）已知等腰三角形的腰长为3，底边长为4，则它的周长等于__________. （2）已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是__________. （3）已知等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长是__________. 从这个问题的解决中，我们得到了什么结论？

【经验小结】当等腰三角形的边不明确时，要分类讨论，分为底边和腰长，同时要考虑“三角形两边之和大于第三边”．

（4）已知等腰三角形的一个底角为80°，则其顶角为__________. （5）已知等腰三角形的一个内角为80°，则其顶角为__________. （6）已知等腰三角形的一个内角为100°，则其顶角为__________.

从这个问题的解决中，我们又能得到了什么结论？

【经验小结】当等腰三角形的角不明确时，要分类讨论，分为底角和顶角，同时要满足“三角形内角和为180°.

教师：今天我们将一起继续对等腰三角形的分类问题作深入探讨（板书课题）．

例1如图2，等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角是__________度

现在，改变问题中的某些条件，同学们仔细观察

【小试牛刀】

变式1：等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角是__________度

（讨论点1：①变式1与例1有什么区别，区别在哪里？②你能画出满足变式1的图形吗？）

【经验小结】图形不确定时，要将等腰三角形分成等腰锐角三角形和等腰钝角三A角形. 教师：可能是等腰直角三角形吗？

学生：不可能，因为此时腰和高的夹角是0°．

C

CDD

C

D40°40°

40°BABB

A现在继续改变问题中的某些条件，

DC40°AB变式2：等腰三角形一腰上的高与另一边所成的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角是__________度

（讨论点2：①变式2与变式1有什么区别，区别在哪里？②你能画出满足变式2的图形吗？）

学生：因为是另一边，所以可以是腰长或者底边，又因为图形没给定，因此要分等腰锐角三角形和等腰钝角三角形，除了图2、图3两种情况以外，还有以下两种，如图4，此时顶角为80°；如图5，此时的三角形不存在．

【经验小结】没有图形的几何题，因图形中某些元素的不确定，多数问题需要分类论！

例2如图1，△ABC≌△AEF，∠ABC＝30°，∠BAE＝

，AE和BC交于点D．

FC（1）△ABE是__________角形；

E（2）用

表示△BDE的三个内角；

D（3）当△BDE是等腰三角形时，求∠

的值

30°α

AB解：找到△BDE的三个内角与

的关系，且确定△BDE是等腰三角形，但谁做底角不明确，所以要分类讨论，有三种情况，是哪三种呢？

学生：∠DEB＝∠EBD；∠EBD＝∠EDB;∠DEB＝∠EDB．

教师：三种情况回答正确，接下来我们该如何求

呢

学生：把用

表示的角代人，解方程即可

当∠DEB＝∠EBD时，有 º

º

，此时无解，这种情况不存在

当∠EBD＝∠EDB时，有 º

º,

º

当∠DEB＝∠EDB时，有, º

º,

º

所以当

＝40°或20时，△BDE是等腰三角形

教师：分类讨论的格式书写要规范，每种情况分别求解，最后对结论小结．同学们今后书写时要特别注意．

【经验小结】我们来一起回顾这个问题的解决过程，首先对角进行分类讨论，运用分类思想；其次，把三角形的内角用

表示，将复杂数量关系用

统一起来，这里用到了方程思想．注意分类问题的书写格式

教师：请同学们运用今天所学的方法，试着解决下面的问题

三.对接中考，放飞思维. 1.探究点：在平面直角坐标系中（如图），O为坐标原点，A（1，1）在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有个．试着写出这些点图的坐标. （1）几何找点法:利用尺规作图. 教师示范点：

①利用分类讨论及尺规作图寻找P点.（特例）

②将点A的坐标改为A（1,3）你能完整的找到P点的坐标吗？

（2）代数找点法：利用方程思想（通解）

教师示范点：设P（x,0）.构建方程求解

对接中考：

如图，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)．

(1)求点A，B的坐标．

(2)求抛物线对应的函数表达式．

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

小结归纳，提升理念（师生共同完成）

（1）等腰三角形的性质及判定

（2）分类思想：边、角、形状（进行分类探究，注意解的个数）；

（3）方程思想：题目中的数量关系较复杂，给进步的分析带来困难，为了更好地表示一些条件，采取设未知数列方程的方法

教师：日本著名的教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法等这些随时随地发生作用，使人们终生受益．”

五.课后训练,强化能力

如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为

，点D的坐标为

（用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？