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全等三角形复习

课标要求

（1）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。

（2）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（参见例61）。

（3）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（参见例61）。

（4）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。

（5）证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。

（6）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。

（7）了解三角形重心的概念。

课标分析

从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述

（1）、知识与技能 掌握基本的证明方法和基本的作图等技能；掌握基本的推理技能。

(2)、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式

（3）、问题解决

尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。

（4）、情感与态度 感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值

。

教材分析

本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学习如何利用全等三角形进行证明．全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础．

1

教学目标：

1、通过全等三角形的概念和识别方法的复习，让学生体会辨别、探寻、运用全等三角形的一般方法，体会主动实验，探究新知的方法。

2、培养学生观察和理解能力，几何语言的叙述能力及运用全等知识解决实际问题的能力。

3、在学生操作过程中，激发学生学习的兴趣，培养学生主动探索，敢于实践的精神，培养学生之间合作交流的习惯。

【本章重点】 1．全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法．

2．理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．

【本章难点】 1．根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识．

2．用综合法证明的格式．

教法与学法指导

1．注意在探究中掌握结论．

2．三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论．

3．注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据．

4．注重联系实际．

5．注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧

教学过程

【情境导入】

某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全相同的玻璃，那么你认为它应保留哪一块？

请同学们先独立思考，然后小组交流意见。（上述问题实质是判断三角形全等需要什么条件的问题。）

今天我们这节课来复习全等三角形。（引出课题）。

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识别三角形及等的方法有哪些？

【自主练习】

1.如图，若

△ABC≌△DEF，∠E等于（ ）

A．30° B．50° C．60° D、100°

2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于 D，再添加一个条件____，

就可确定△ABD≌△ACD 3.在下列各组几何图形中，一定全等的是（ ）

A．各有一个角是45°的两个等腰三角形；B．两个等边三角形

C．腰长相等的两个等腰直角三角形

D．各有一个角是40°腰长都是5cm的两个等腰三角形

【知识梳理】

1.全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA”

（3）两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．

（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL”．

2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

3.注意事项：

（1）说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

（2）注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．

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【综合应用】

考点一：全等及性质 （2010北京顺义中考）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．

求证：AD＝AE．

证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴∠ADB=90°，

∵AE⊥EB，

∴∠E=∠ADB=90°，

∵AB平分∠DAE，

∴∠1=∠2；

在△ADB和△AEB中，∴△ADB≌△AEB（AAS），

∴AD=AE．

变式训练

（2008宜昌中考）

，

B E A D C 如图，在△ABC与△ABD中，BC＝BD．设点E是BC的中点，点F是BD的中点．

（1）请你在图中作出点E和点F；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明）

（2）连接AE，AF．若∠ABC＝∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．

解：(1)能看到“分别以B，C为圆心，适当长为半C

ABD径画弧，两弧交于点M、N，(1分)连接MN，交BC于E”的痕迹，(2分)能看到用同样的方法“作出另一点F(或以B为圆心，BE为半径画弧交BD于点F)”的痕迹.(3分) (凡正确作出点E,F中的一个后，另一个只要在图上标注了大致位置即可评3分)

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(2)∵BC＝BD，E，F分别是BC，BD的中点，

∴BE＝BF，(4分) ∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD,(5分) ∴△ABE≌△ABF.(6分) 考点二：全等的判定

（2010苏州中考）．如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．

(1)求证：△ACD≌△BCE；

(2)若∠D=50°，求∠B的度数．

【分析】根据SAS判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质求出1与3的度数，结合三角形的内角和及平角的意义求出所要求的角. 【答案】(1)∵点C是线段AB的中点，

∴ACBC，

又∵CD平分ACE，CE平分BCD，

∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3. 在ACD和BCE中，

CDCE13

ACBC∴ACD≌BCE. (2)解：∴∠1+∠2+∠3=180°, ∴∠1=∠2=∠3=60°. ∵ACD≌BCE. ∴ED50°, ∴B180E370.

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变式训练

（2006莱芜）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

解：△EMC是等腰直角三角形．理由如下：连接MA．

∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，

∴∠DAB=90°，

∵△EDA≌△CAB，

∴DA=AB，ED=AC，

∴△DAB是等腰直角三角形，又M为BD的中点，

∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三线合一），

1AM=BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

2∴∠EDM=∠MAC=105°，

在△MDE和△CAM中，

ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM ∴△MDE≌△MAC．

∴∠DME=∠AMC，ME=MC，

又∵∠DMA=90°，

∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．

∴△MEC是等腰直角三角形．

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考点三：全等知识的综合应用

（2010重庆潼南中考）(10分) 如图,四边形ABCD是边A长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ，

∠3=∠4. （1）证明：△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB=30°，求EF的长. 解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD 在△ABE和△DAF中

21ABDA43B421E3FDCG24题图

∴△ABE≌△DAF-----------------------4分

（2）∵四边形ABCD是正方形

∴∠1+∠4=900

∵∠3=∠4 ∴∠1+∠3=900

∴∠AFD=900----------------------------6分

在正方形ABCD中， AD∥BC ∴∠1=∠AGB=300

在Rt△ADF中，∠AFD=900 AD=2 ∴AF=3 DF =1----------------------------------------8分

由(1)得△ABE≌△ADF ∴AE=DF=1 ∴EF=AF-AE=31 -----------------------------------------10分

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变式训练（2010百色中考）（本题满分8分）如图：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O．

（1）图中共有 对全等三角形； （2）写出你认为全等的一对三角形，并证明．

【课堂小结】

1、全等三角形的概念及其性质

1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

。

2）全等三角形性质：

（1）对应边相等 （2）对应角相等（3）周长相等

（4）面积相等

2.全等三角形的判定方法

1）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS ) 2）两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）

3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA ) 4）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS ) 5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L ) 【达标测试】

1.

（2011•江苏宿迁，7，3）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（

）

A、AB=AC

B、BD=CD C、∠B=∠C

D、∠BDA=∠CDA

B

O C A D 2.

（2011安徽省芜湖市，6,4分）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（

）

A、22

C、32

B、4 D、42

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3.

（2011湖北十堰，6，3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合。过角尺顶点C作射线OC。由做法得△MOC≌△NOC的依据是（ ）

A．AAS B.SAS C.ASA D.SSS 4.（2011广西百色，8，4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC．∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（

）

A．①②③

B．②③④ C．①③⑤

D．①③④

5.

（2011南昌，10，3分）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（

）

A.BD=DC，AB=AC

B.∠ADB=∠ADC，BD=DC

D.∠B=∠C，C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD

BD=DC

【作业布置】

把前面没有完成的大题规范的写出解答过程。

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