课外读物教学实录

弹簧类问题的几种模型及其处理方法

学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化，加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂。其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。根据近几年高考的命题特点和知识的考查，笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析，供读者参考。

一、弹簧类命题突破要点

1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态。

2．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。

3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解。同时要注意弹力做功的特点：弹力做功等于弹性势能增量的负值。弹性势能的公式，高考不作定量要求，可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。

二、弹簧类问题的几种模型

1．平衡类问题

例1．如图1所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现施力将m1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中，m2的重力势能增加了______，m1的重力势能增加了________。

例2．如上图2所示，A物体重2N，B物体重4N，中间用弹簧连接，弹力大小为2N，此时吊A物体的绳的拉力为T，B对地的压力为F，则T、F的数值可能是

A．7N，0

B．4N，2N

C．1N，6N

D．0，6N

2．突变类问题

例3．（上海）如图A所示，一质量为m的小球系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l2水平拉直，小球处于平衡状态。现将l2线剪断，求剪断瞬时小球的加速度。若将图3中的细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图B所示，其他条件不变，求剪断细线l2瞬时小球的加速度。

例4．如图6所示，物体B静止在光滑的水平面上，B的左边固定有轻质的弹簧，与B质量相等的物体A以速度v向B运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿统一直线，则A,B组成的系统动能损失最大的时刻是

A．A开始运动时

B．A的速度等于v时

C．B的速度等于零时

D．A和B的速度相等时

4：机械能守恒型弹簧问题

对于弹性势能，高中阶段并不需要定量计算，但是需要定性的了解，即知道弹性势能的大小与弹簧的形变之间存在直接的关系，对于相同的弹簧，形变量一样的时候，弹性势能就是一样的，不管是压缩状态还是拉伸状态。

例5．一劲度系数k=800N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为m=12kg的物体A、B，它们竖直静止在水平面上，如图7所示。现将一竖直向上的变力F作用在A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.40s物体B刚要离开地面。求：

⑴此过程中所加外力F的最大值和最小值。

2⑵此过程中力F所做的功。（设整个过程弹簧都在弹性限度内，取g=10m/s）

例6．如图8所示，物体B和物体C用劲度系数为k的弹簧连接并竖直地静置在水平面上。将一个物体A从物体B的正上方距离B的高度为H0处由静止释放，下落后与物体B碰撞，碰撞后A和B粘合在一起并立刻向下运动，在以后的运动中A、B不再分离。已知物体A、B、C的质量均为M，重力加速度为g，忽略物体自身的高度及空气阻力。求：

（1）A与B碰撞后瞬间的速度大小。

（2）A和B一起运动达到最大速度时，物体C对水平地面压力为多大？

（3）开始时，物体A从距B多大的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体C恰好离开地面？

5．简谐运动型弹簧问题

弹簧振子是简谐运动的经典模型，有一些弹簧问题，如果从简谐运动的角度思考，利用简谐运动的周期性和对称性来处理，问题的难度将大大下降。

例7．如图9所示，一根轻弹簧竖直直立在水平面上，下端固定。在弹簧正上方有一个物块从高处自由下落到弹簧上端O，将弹簧压缩。当弹簧被压缩了x0时，物块的速度减小到零。从物块和弹簧接触开始到物块速度减小到零过程中，物块的加速度大小a随下降位移大小x变化的图像，可能是下图中的

6.加速弹簧问题

例8．(多选).两个质量分别为m1＝2 kg、m2＝3 kg的物体置于光滑的水平面上，中间用轻质弹簧秤连接．两个大小分别为F1＝30 N、F2＝20 N的水平拉力分别作用在m1、m2上，则

(

) A．弹簧秤的示数是26 N B．弹簧秤的示数是50 N C．在突然撤去F2的瞬间，m1的加速度大小为5 m/s2

D．在突然撤去F1的瞬间，m1的加速度大小为13 m

7．综合类弹簧问题

例9．质量均为m的两个矩形木块A和B用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为k,将它们竖直叠放在水平地面上，如图所示，另一质量也是m的物体C，从距离A为H的高度自由下落，C与A相碰，相碰时间极短，碰后A、C不粘连，当A、C一起回到最高点时，地面对B的支持力恰好等于B的重力。若C从距离A为2H高处自由落下，在A、C一起上升到某一位置，C与A分离，C继续上升，求：

（1）C没有与A相碰之前，弹簧的弹性势能是多少？

（2）C上升到最高点与A、C分离时的位置之间距离是多少？

例10．如图所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

6.加速弹簧问题

例8．(多选).两个质量分别为m1＝2 kg、m2＝3 kg的物体置于光滑的水平面上，中间用轻质弹簧秤连接．两个大小分别为F1＝30 N、F2＝20 N的水平拉力分别作用在m1、m2上，则

(

) A．弹簧秤的示数是26 N B．弹簧秤的示数是50 N C．在突然撤去F2的瞬间，m1的加速度大小为5 m/s2

D．在突然撤去F1的瞬间，m1的加速度大小为13 m/s2

答案：A、D。