本章复习与测试教学设计实例

学案14 牛顿第二定律及应用(三) 简单连接体问题

动力学中的图象问题

动力学中的传送带问题

一、概念规律题组

1．雨滴从空中由静止落下，若雨滴下落时空气对其的阻力随雨滴下落速度的增大而增大，如下图所示的图象中，能正确反映雨滴下落运动情况的是(

)

图1 2．如图1所示其小球所受的合力与时间的关系，各段的合力大小相同，作用时间相同，设小球从静止开始运动．由此可判定(

) A．小球向前运动，再返回停止

B．小球向前运动再返回不会停止

C．小球始终向前运动

D．小球向前运动一段时间后停止

3．

图2 我国国家大剧院外部呈椭球型．假设国家大剧院的屋顶为半球形，一警卫人员为执行特殊任务，必须冒险在半球形屋顶上向上缓慢爬行(如图2所示)，他在向上爬的过程中(

) A．屋顶对他的支持力不变

B．屋顶对他的支持力变小

C．屋顶对他的摩擦力变大

D．屋顶对他的摩擦力变小

二、思想方法题组

4．A、B两物体叠放在一起，放在光滑水平面上，如图3甲所示，它们从静止开始受到一个变力F的作用，该力与时间关系如图乙所示，A、B始终相对静止．则(

) 图3 A.在t0时刻A、B两物体间静摩擦力最大

B.在t0时刻A、B两物体的速度最大

C.在2t0时刻A、B两物体的速度最大

D.在2t0时刻A、B两物体的位移最大

图4 5．质量为m的物体放在A地的水平面上，用竖直向上的力F拉物体，物体的加速度a与拉力F的关系如图4中直线①所示，用质量为m′的另一物体在B地做类似实验，测得a－F关系如图中直线②所示，设两地的重力加速度分别为g和g′，则(

) A．m′>m，g′＝g

B．m′g

D．m′＝m，g′>g

一、整体法和隔离法的选取

1．隔离法的选取原则：若连接体内各物体的加速度不相同，且需要求物体之间的作用力，就需要把物体从系统中隔离出来，将系统的内力转化为隔离体的外力，分析物体的受力情况和运动情况，并分别应用牛顿第二定律列方程求解．隔离法是受力分析的基础，应重点掌握．

2．整体法的选取原则：若连接体内各物体具有相同的加速度(主要指大小)，且不需要求物体之间的作用力，就可以把它们看成一个整体(当成一个质点)来分析整体受到的外力，应用牛顿第二定律求出加速度(或其他未知量)．

3．整体法、隔离法交替运用的原则：若连接体内各物体具有相同的加速度，且要求物体之间的作用力，可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的研究对象，应用牛顿第二定律求作用力．即“先整体求加速度，后隔离求内力”．

图5 【例1】

(2009·安徽高考)在2008年北京残奥会开幕式上，运动员手拉绳索向上攀登，最终点燃了主火炬，体现了残疾运动员坚韧不拔的意志和自强不息的精神．为了探求上升过程中运动员与绳索和吊椅间的作用，可将过程简化如下：一根不可伸缩的轻绳跨过轻质的定滑轮，一端挂一吊椅，另一端被坐在吊椅上的运动员拉住，如图5所示．设运动员的质量为65 kg，吊椅的质量为15 kg，不计定滑轮与绳子间的摩擦，重力加速度取g＝10 m/s2.当运动员与吊椅一起以加速度a＝1 m/s2上升时，试求：

(1)运动员竖直向下拉绳的力；

(2)运动员对吊椅的压力．

[规范思维]

图6 [针对训练1]

(2011·合肥一中月考)如图6所示，水平地面上有两块完全相同的木块A、B，水平推力F作用在A上，用FAB代表A、B间的相互作用力，下列说法中错误的是(

) A．若地面是光滑的，则FAB＝F FB．若地面是光滑的，则FAB＝

2FC．若地面是粗糙的，且A、B被推动，则FAB＝

2FD．若地面是粗糙的，且A、B未被推动，FAB可能为

3二、动力学中的图象问题

图象问题是近年高考命题的热点，动力学问题的图象在高考中也频频出现，常见的有v－t图象、a－t图象、F－t图象、F－a图象．

【例2】

(2009·全国Ⅱ·15) 图7 两物体甲和乙在同一直线上运动，它们在0～0.4 s时间内的v－t图象如图7所示．若仅在两物体之间存在相互作用，则物体甲与乙的质量之比和图中时间t1分别为(

) 1A.和0.30 s

B．3和0.30 s

31C.和0.28 s

D．3和0.28 s

3[规范思维]

图8 【例3】

(2010·福建理综·16)质量为2 kg的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等．从t＝0时刻开始，物体受到方向不变、大小呈周期性变化的水平拉力F的作用，F随时间t的变化规律如图8所示．重力加速度g取10 m/s2，则物体在t＝0至t＝12 s这段时间的位移大小为(

) A．18 m

B．54 m

C．72 m

D．198 m

[规范思维]

【例4】

(2009·上海单科·22)如图19(a)所示，质量m＝1 kg的物体沿倾角θ＝37°的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v成正比，比例系数用k表示，物体加速度a与风速v的关系如图(b)所示，求：

图9

(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；

(2)比例系数k. (sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)

[规范思维]

【例5】

(2011·上海十二校联考)如图10(a)所示，用一水平外力F推着一个静止在倾角为θ的光滑斜面上的物体，逐渐增大F，物体做变加速运动，其加速度a随外力F变化的图象如图(b)所示，若重力加速度g取10 m/s2.根据图(b)中所提供的信息计算不出(

)

图10 A．物体的质量

B．斜面的倾角

C．物体能静止在斜面上所施加的最小外力

D．加速度为6 m/s2时物体的速度

[规范思维]

三、动力学中的传送带问题

【例6】

如图11所示，传送带与水平面间的倾角

图11 为θ＝37°，传送带以10 m/s的速率运行，在传送带上端A处无初速度地放上质量为0.5 kg的物体，它与传送带间的动摩擦因数为0.5，若传送带A到B的长度为16 m，则物体从A运动到B的时间为多少？(取g＝10 m/s2)

[规范思维]

图12 [针对训练2]

(2010·高考状元纠错)如图12所示，质量为m的物体用细绳拴住放在水平粗糙传送带上，物体距传送带左端距离为L，稳定时绳与水平方向的夹角为θ，当传送带分别以v1、v2的速度做逆时针转动时(v1

) A．F1

B．F1>F2

C．t1>t2

D．t1可能等于t2

【基础演练】

1．(2011·芜湖市模拟)如图13所示，

图13 放在粗糙水平面上的物块A、B用轻质弹簧秤相连，两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ.今对物块A施加一水平向左的恒力F，使A、B一起向左匀加速运动，设A、B的质量分别为m、M，则弹簧秤的示数为(

) MFMFA.

B.

mM＋mF－μM＋mgF－μM＋mgC.M

D.M mm＋M2．(天津高考题)一个静止的质点，在0～4 s时间内受到力F的作用，力的方向始终在同一直线上，力F随时间t的变化如图14所示，则质点在(

) 图14 A．第2 s末速度改变方向

B．第2 s末位移改变方向

C．第4 s末回到原出发点

D．第4 s末运动速度为零

图15 3．(2010·山东理综·16)如图15所示，物体沿斜面由静止滑下，在水平面上滑行一段距离后停止，物体与斜面和水平面间的动摩擦因数相同，斜面与水平面平滑连接．下图中v、a、f和s分别表示物体速度大小、加速度大小、摩擦力大小和路程．下列图象中正确的是(

)

图16 4．(2011·临沂模拟)如图16所示，弹簧测力计外壳质量为m0，弹簧及挂钩的质量忽略不计，挂钩吊着一质量为m的重物，现用一方向竖直向上的外力F拉着弹簧测力计，使其向上做匀加速直线运动，则弹簧测力计的读数为(

)

mA．mg

B.mg m0＋mm0mC.F

D.F m0＋mm0＋m5．(2010·威海模拟)质量为1.0 kg的物体静止在水平面上，物体与水平面之间的动摩擦因数为0.30.对物体施加一个大小变化、方向不变的水平拉力F，作用了3t0的时间．为使物体在3t0时间内发生的位移最大，力F随时间的变化情况应该为下图中的(

) 6.

图17 如图17所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2倍，B受到向右的恒力FB＝2 N，A受到的水平力FA＝(9－2t) N(t的单位是s)．从t＝0开始计时，则下列说法错误的是(

) 5A．A物体在3 s末时刻的加速度是初始时刻的

11B．t>4 s后，B物体做匀加速直线运动

C．t＝4.5 s时，A物体的速度为零

D．t>4.5 s后，A、B的加速度方向相反

图18 7．(2011·杭州期中检测)如图18所示，两个质量分别为m1＝2 kg、m2＝3 kg的物体置于光滑的水平面上，中间用轻质弹簧秤连接．两个大小分别为F1＝30 N、F2＝20 N的水平拉力分别作用在m1、m2上，则(

) A．弹簧秤的示数是25 N

B．弹簧秤的示数是50 N

C．在突然撤去F2的瞬间，m1的加速度大小为5 m/s2

D．在突然撤去F1的瞬间，m1的加速度大小为13 m/s2

【能力提升】

8．如图19所示，

图19 光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg.现用水平拉力F拉其中一个质量为2m的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为(

) 3μmg3μmg3μmgA.

B.

C.

．3μmg

542

题号

答案

图20 9．(2011·天星调研)传送带是一种常用的运输工具，被广泛应用于矿山、码头、货场、车站、机场等．如图20所示为火车站使用的传送带示意图．绷紧的传送带水平部分长度L＝5 m，并以v0＝2 m/s的速度匀速向右运动．现将一个可视为质点的旅行包无初速度地轻放在传送带的左端，已知旅行包与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2. (1)求旅行包经过多长时间到达传送带的右端；

(2)若要旅行包从左端运动到右端所用时间最短，则传送带速度的大小应满足什么条件？最短时间是多少？

10．如图21所示，

1

2

3

4

5

6

7

8

图21 在倾角为θ＝30°的固定斜面上，跨过定滑轮的轻绳一端系在小车的前端，另一端被坐在小车上的人拉住．已知人的质量为60 kg，小车的质量为10 kg，绳及滑轮的质量、滑轮与绳间的摩擦均不计，斜面对小车的摩擦阻力为人和小车总重力的0.1倍，取重力加速度g＝10 m/s2，当人以280 N的力拉绳时，试求(斜面足够长)：

(1)人与车一起运动的加速度大小；

(2)人所受摩擦力的大小和方向；

(3)某时刻人和车沿斜面向上的速度为3 m/s，此时人松手，则人和车一起滑到最高点所用时间为多少？

学案14

牛顿第二定律及应用(三)

简单连接体问题

动力学中的图象问题

动力学中的传送带问题

【课前双基回扣】

1．C

2.C 3．D

[由于警卫人员在半球形屋顶上向上缓慢爬行，他爬行到的任一位置时都看作处于平衡状态．在图所示位置，对该警卫人员进行受力分析，其受力图如右图所示．将重力沿半径方向和球的切线方向分解后列出沿半径方向和球的切线方向的平衡方程

FN＝mgcos θ，Ff＝mgsin θ

他在向上爬的过程中，θ变小，cos θ变大，屋顶对他的支持力变大；sin θ变小，屋顶对他的摩擦力变小．所以正确选项为D.] 4．BD

[对A、B整体

F＝(mA＋mB)a隔离物体A

Ff＝mAa由F－t可知：t＝0和t＝2t0时刻，F最大，故Ff最大，A错．又由于A、B整体先加速后减速，2t0时刻停止运动，所以t0时刻速度最大，2t0时刻位移最大，B、D正确．] F15．B

[在A地，由牛顿第二定律有F－mg＝ma，得a＝－g＝F－g.同理，在B地：mm111a′＝F－g′.这是一个a关于F的函数，(或)表示斜率，－g(或－g′)表示截mm′m′11距．由图线可知<，g＝g′；故m>m′，g＝g′，B项正确．] mm′思维提升

1．选取整体法或隔离法的原则是：若系统整体具有相同加速度，且不要求求物体间的相互作用力，一般取整体为研究对象；若要求物体间相互作用力，则需把物体从系统中隔离出来，用隔离法，且选择受力较少的隔离体为研究对象．

2．利用图象分析物理问题时，往往根据物理定理或定律写出横轴物理量关于纵轴物理量的函数关系，借助函数的截距和斜率的物理意义解决问题．

【核心考点突破】

例1 (1)440 N，方向竖直向下

(2)275 N，方向竖直向下

解析

(1)设运动员和吊椅的质量分别为M和m，绳拉运动员的力为F.以运动员和吊椅整体为研究对象，受到重力的大小为(M＋m)g，向上的拉力为2F，根据牛顿第二定律

2F－(M＋m)g＝(M＋m)a解得F＝440 N 根据牛顿第三定律，运动员拉绳的力大小为440 N，方向竖直向下．

(2)以运动员为研究对象，运动员受到三个力的作用，重力大小Mg，绳的拉力F，吊椅对运动员的支持力FN.根据牛顿第二定律F＋FN－Mg＝Ma解得FN＝275 N 根据牛顿第三定律，运动员对吊椅压力大小为275 N，方向竖直向下．

[规范思维]

本题中由于运动员和吊椅整体具有共同的加速度，已知加速度，故先以整体为研究对象，求绳拉人的力；运动员对座椅的压力是内力，需隔离求解．

4例2 B

[根据v－t图象可知，甲做匀加速运动，乙做匀减速运动．由a乙＝

m/s20.40Δv1＝10 m/s2，又a乙＝得，t1＝0.30 s，根据a＝得3a甲＝a乙．根据牛顿第二定Δt0.40 s－t1F1F律有＝·，则m甲∶m乙＝3.故B项正确．] m甲3m乙[规范思维]

对此类问题要注意从图象提炼出物理情景，把图象语言翻译成物理过程，了解物体对应的运动情况和受力情况，灵活运用牛顿第二定律解题，联系图象(运动情况)和力的桥梁仍是a. 例3 B

[物体与地面间最大静摩擦力Fmax＝μmg＝0.2×2×10 N＝4 N．由题给F－t图象知0～3 s内，F＝4 N，说明物体在这段时间内保持静止不动.3～6 s内，F＝8 N，说明物体做匀F－Fmax加速运动，加速度a＝＝2 m/s2.6 s末物体的速度v＝at＝2×3 m/s＝6 m/s，在6～9 ms内物体以6 m/s的速度做匀速运动.9～12 s内又以2 m/s2的加速度做匀加速运动，作v

1－t图象如图．故0～12 s内的位移x＝(×3×6)×2 m＋6×6 m＝54 m．故B项正确．] 2[规范思维]

解本题关键是从F－t图象中提炼出信息，明确各个时间段的受力情况和运动情况，然后根据牛顿第二定律和运动学公式列方程．

例4 (1)0.25

(2)0.84 kg/s 解析

(1)由图象知v＝0，a0＝4 m/s2

开始时根据牛顿第二定律得

mgsin θ－μmgcos θ＝ma0

gsin θ－a06－4μ＝＝＝0.25 gcos θ8(2)由图象知v＝5 m/s，a＝0

由牛顿第二定律知

mgsin θ－μFN－kvcos θ＝0 FN＝mgcos θ＋kvsin θ

mg(sin θ－μcos θ)－kv(μsin θ＋cos θ)＝0 mgsin θ－μcos θ6－0.25×8k＝＝

kg/s＝0.84 kg/s vμsin θ＋cos θ50.25×0.6＋0.8[规范思维]

解本题需从a－v图象中寻求信息，结合物体的受力情况，根据牛顿第二定律正确列出方程式．此外注意物体受多个力的作用，在进行力的运算时应用了正交分解法．

例5 ABC

[分析物体受力，由牛顿第二定律得：Fcos θ－mgsin θ＝ma，由F＝0时，a＝6－2cos 37°cos θ－6 m/s2，得θ＝37°.由a＝F－gsin θ和a－F图线知：图象斜率＝，mm30－20得：

m＝2 kg，物体静止时的最小外力Fmincos θ＝mgsin θ，Fmin＝mgtan θ＝15 N，无法求出物体加速度为6 m/s2时的速度，因物体的加速度是变化的，对应时间也未知，故A、B、C正确，D错误．]

[规范思维]

解此类a－F图象问题，首先应写出a随F变化的关系式，然后通过斜率、截距的意义寻找解题的突破口．

例6 当皮带向下运行时，总时间t＝2 s，当皮带向上运行时，总时间t′＝4 s. 解析

首先判断μ与tan θ的大小关系，μ＝0.5，tan θ＝0.75，所以物体一定沿传送带对地下滑．其次传送带运行速度方向未知，而传送带运行速度方向影响物体所受摩擦力的方向，所以应分别讨论．

(1)当传送带以10 m/s的速度向下运行时，开始物体所受滑动摩擦力方向沿传送带向下(受力分析如图中甲所示)．

该阶段物体对地加速度

mgsin θ＋μmgcos θa1＝＝10 m/s2，

m方向沿传送带向下

v物体达到与传送带相同的速度所需时间t1＝＝1 s a11在t1内物体沿传送带对地位移x1＝a1t2＝5 m 21从t1开始物体所受滑动摩擦力沿传送带向上(如图中乙所示)，物体对地加速度

mgsin θ－μmgcos θa2＝＝2 m/s2，方向沿传送带向下

m

1物体以2 m/s2加速度运行剩下的11 m位移所需时间t2，则x2＝vt2＋a2t2，代入数据解22得t2＝1 s(t2′＝－11 s舍去) 所需总时间t＝t1＋t2＝2 s (2)当传送带以10 m/s速度向上运行时，物体所受滑动摩擦力方向沿传送带向上且不变，mgsin θ－μmgcos θ设加速度大小为a3，则a3＝＝2 m/s2

m2×1612x物体从A运动到B所需时间t′，则x＝a3t′2；t′＝＝

s＝4 s. 2a32[规范思维]

(1)按传送带的使用方式可将其分为水平和倾斜两种．

(2)解题中应注意以下几点：

①首先判定摩擦力突变点，给运动分段．物体所受摩擦力，其大小和方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻．v物与v传相同的时刻是运动分段的关键点，也是解题的突破口．

②在倾斜传送带上往往需比较mgsin θ与Ff的大小与方向．

③考虑传送带长度——判定临界之前是否滑出；物体与传送带共速以后物体是否一定与传送带保持相对静止做匀速运动．

[针对训练]

1．A

2.BD

【课时效果检测】

1．A

2.D

3.C

4.D

5.B

6.ABD

7.D

8.B 9．(1)3 s

(2)大于或等于25 m/s

5 s 解析

(1)旅行包无初速度地轻放在传送带的左端后，旅行包相对于传送带向左滑动，旅行包在滑动摩擦力的作用下向右做匀加速运动，由牛顿第二定律得旅行包的加速度a2＝F/m＝μmg/m＝μg＝2 m/s

当旅行包的速度增大到等于传送带速度时，二者相对静止，匀加速运动时间t1＝v0/a＝1 s 1匀加速运动位移x＝at2＝1 m 21L－x此后旅行包匀速运动，匀速运动时间t2＝＝2 s v0旅行包从左端运动到右端所用时间t＝t1＋t2＝3 s. (2)要使旅行包在传送带上运行时间最短，必须使旅行包在传送带上一直加速由v2＝2aL得v＝2aL＝2 5 m/s 即传送带速度必须大于或等于2 5 m/s 12L由L＝at2得旅行包在传送带上运动的最短时间t＝＝5 s. 2a10．(1)2 m/s2

(2)140 N

方向沿斜面向上

(3)0.5 s 解析

(1)以人和小车为整体，沿斜面应用牛顿第二定律得：2F－(M＋m)gsin θ－k(M＋m)g＝(M＋m)a

将F＝280 N，M＝60 kg，m＝10 kg k＝0.1代入上式得a＝2 m/s2

(2)设人受到小车的摩擦力大小为Ff人，方向沿斜面向下，对人应用牛顿第二定律得：

F－Mgsin θ－Ff人＝Ma，可得

Ff人＝－140 N 因此，人受到的摩擦力大小为140 N，方向沿斜面向上

(3)人松手后，设人和车一起上滑的加速度大小为a1，方向沿斜面向下，由牛顿第二定律得：

(M＋m)gsin θ＋k(M＋m)g＝(M＋m)a1

则a1＝6 m/s2，由v＝a1t1

v可得t1＝＝0.5 s a1易错点评

绳或弹簧秤竖直向上拉物体时，拉力不一定等于重力．拉力与重力的大小比较决定于物体的运动状态．