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绝对值三角不等式是指：对于任意实数x、y，都有|x|-|y|≤|x±y|≤|x|+|y| 这个不等式可以用来估计某些式子的取值范围，也可以用来证明一些不等式。 证明如下： |x|-|y|≤|x±y|≤|x|+|y| 等价于 |(|x|-|y|)^2≤(|x±y|^2)≤(|x|+|y|)^2 等价
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绝对值三角不等式
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关键词：绝对值三角不等式
正文
绝对值三角不等式是指：对于任意实数x、y，都有|x|-|y|≤|x±y|≤|x|+|y| 这个不等式可以用来估计某些式子的取值范围，也可以用来证明一些不等式。 证明如下：
- |x|-|y|≤|x±y|≤|x|+|y| 等价于 |(|x|-|y|)^2≤(|x±y|^2)≤(|x|+|y|)^2 等价于 (|x|^2+|y|^2±2xy)≤(|x±y|^2)≤(|x|^2+|y|^2±2xy) 等价于 (|x|^2-|y|^2-2xy)≤(x±y)^2≤(|x|^2-|y|^2±2xy) 等价于 (||x|^2-|y|^2|-2xy)≤(x±y)^2≤(|x|^2-|y|^2±2xy)
- (||x|^2-|y|^2|-2xy)≤(x±y)^2≤(|x|^2-|y|^2±2xy) 等价于 (||x|^2-|y|^2|-2xy)≤(x±y)^2≤(|x|^2-|y|^2±2xy) 等价于 (||x|^2-|y|^2|-||x|^2+|y|^2)≤(||x|^2-|y|^2±||x|^2+|y|^2) 等价于 ||x|^2-||y|^2≤||x±y|^2≤||x|^2-||y|^2 等价于 ||x|-|y|≤||x±y|≤||x|+|y| 等价于 |(|x|-|y|)≤||x±y|≤(|x|+|y|) 得证。
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