正数、负数以及0的意义课时教学实录

第一章

有理数

课时1（正数和负数）

教学目标：

1．了解负数产生的背景是从实际需要产生的。

2．会判断一个数是正数还是负数。

3．会用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量。

4．培养学生的数学应用意识，渗透对立统一的辩证思想。

5．理解有理数的意义。

6．会根据要求把给出的有理数分类。

7．了解“0”在有理数分类中的作用。

8．培养学生分类讨论的数学思想及对立统一的辩证唯物主义的观点。

教学重点难点：

1.了解正数与负数是由实际需要产生的及会用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量。

2.学习负数的必要性，能准确地举出具有相反意义的量的典型例子。

3.了解有理数包括哪些数。

4.要明确有理数分类的标准，分类标准不同，分类结果也不同，分类结果应是不重不漏，即每一个数必须属于某一类，又不能同时属于不同的两类。

教学过程：

一、复习引入：

1．你看过电视或听过广播中的天气预报吗？中国地形图上的温度阅读。（可让学生模拟预报)请大家来当小小气象员，记录温度计所示的气温25ºC，10ºC，零下10ºC，零下30ºC。

为书写方便，将测量气温写成25，10，―10，―30。

2．让学生回忆我们已经学了哪些数？它们是怎样产生和发展起来的？

在生活中为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了数1，2，3，…；为了表示“没有”，引入了数0；有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数（小数）表示。总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生、发展起来的。

二、讲授新课：

1．相反意义的量：

在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）：

例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。

例2：温度是零上10℃和零下5℃。

例3：收入500元和支出237元。

例4：水位升高1.2米和下降0.7米。

例5：买进100辆自行车和买出20辆自行车。

①试着让学生考虑这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点？（具有相反意义。向东和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、买进和卖出都具有相反意义）

②你能举出几对日常生活中具有相反意义的量吗？

2．正数和负数：

①能用我们已经学的来很好的表示这些相反意义的量吗？例如，零上5℃用5来表示，零下5℃呢？也用5来表示，行吗？

说明：在天气预报图中，零下5℃是用―5℃来表示的。一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“－”（读作“负”）号来表示。

拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用―5℃来表示。

②怎样表示具有相反意义的量呢？能否从天气预报出现的标记中，得到一些启发呢？

在例1中，我们如果规定向东为正，那么向西为负。汽车向东行驶3千米记作3千米，向西2千米应记作―2千米。

后面的例子让学生来说（注意词的表达）。

在以上的讨论中，出现了哪些新数？

为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了―5，―2，―237，―0.7等数。像这样的一些新数，叫做负数（negative number）。过去学过的那些数（零除外），如10，3，500，1.2等，叫做正数（positive number）。正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”），如5可以写成+5。

注意：零既不是正数，也不是负数。

小资料：

世界各国对负数的认识和接受也有一个过程。如1484年法国数学家曾得到二次方程的一个负根，但他不承认它，说负数是荒谬的数。1545年卡尔丹承认方程中可以有负根，但认为它是“假数”。直到1831年还有数学家认为负数是“虚构”的，他还特意举了一个“特例”来说明他的观点：“父亲56岁，他儿子29岁，问什么时候父亲的岁数将是儿子的两倍？”，通过列方程解得x=―2，他认为这个结果是荒唐的，他不懂得x=―2正是说明两年前父亲的岁数将是儿子的两倍。

巩固练习：

①―10表示支出10元，那么+50表示 ；如果零上5度记作5°C，那么零下2度记作 ；如果上升10m记作10m，那么―3m表示 ；太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米，可记作海拔 米（即低于海平面11034米）。比海平面高50m的地方，它的高度记作海拨 ；比海平面低30m的地方，它的高度记作海拨 ；

②下面说法正确的是（ ） A．正数都带有“+”号 B．不带“+”号的数都是负数

C．小学数学中学过的数都可以看作是正数 不是负数

③数学测验班平均分80分，小华85分，高出平均分5分记作+5，小松78分，记作 。

④某物体向右运动为正，那么―2m表示 ，0表示 。

⑤一种零件的内径尺寸在图纸上是10±0.05（单位mm），表示这种零件的标准尺寸是10mm，加工要求最大不超过标准尺寸 ，最小不超过标准尺寸 。

小结：正数和负数表示的是一对相反意义的量，哪种意义为正是可以任意规定的。如果把一种意义规定为正，则相反意义的量规定为负。常将“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

3.数的扩充：

数1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负D．0既不是正数也

1476整数和零统称为整数；数2，，8，+5.6，…叫做正分数；―，―，―345973.5，…叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。

思考并回答下列问题：

①“0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？

②“―2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？

③自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？

要求学生区分“正”与“整”；小数可化为分数。

4.有理数的分类

不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类：

①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：

正整数整数0负整数有理数分数正分数负分数

②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：

有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数

注：①“0”也是自然数。②“0”的特殊性。

把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集（set of number）。所有正数组成的集合，叫做正数集合；所有负数组成的集合叫做负数集合；所有整数组成的集合叫整数集合；所有分数组成的集合叫分数集合；所有有理数组成的集合叫有理数集合；所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。

例题：例1：把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：

3，―0.142857，95℅. ―18，22，3.1416，0，2001，57

整数集 有理数集

例二：把下列各数填入相应集合的括号内：

629，―5.5，2002，7，―1，90%，3.14，0，―21，―0.01，―2，1 3（1）整数集合：{ } （2）分数集合：{ } （3）正数集合： { } （4）负数集合：{ } （5）正整数集合：{ } （6）负整数集合：{ } （7）正分数集合： { } （8）负分数集合：{ } （9）正有理数集合：{ } （10）负有理数集合：{ } 注：要正确判断一个数属于哪一类，首先要弄清分类的标准。要特别注意“0”不是正数，但是整数。在数学里，“正”和“整”不能通用，是有区别的，“正”是相对于“负”来说的，“整”是相对于分数而言的。

课堂练习：

(1)下列说法正确的是（ ）①零是整数；②零是有理数；③零是自然数；④零是正数；⑤零是负数；⑥零是非负数。

A：①②③⑥ B：①②⑥ C：①②③ D：②③⑥

(2)下列说法正确的是（ ）A：在有理数中，零的意义表示没有 B：正有理数和负有理数组成全体有理数

C：0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数

D：零是最小的非负整数，它既不是正数，又不是负数

(3)―100不是（ ）A：有理数 B：自然数 C：整数 (4)判断：（1）0是正数

（ ）

（3）0是自然数

（ ）

（2）0是负数

D：负有理数

（ ）

（4）0是非负数 （ ）

5）0是非正数

（ ）

（7）0是有理数（ ）

（6）0是整数 （ ）

（8）在有理数中，0仅表示没有。（ ）

（9）0除以任何数，其商为0。（ ）（10）正数和负数统称有理数。（ ）

（11）―3.5是负分数

（ ）

（12）负整数和负分数统称负数 （ ）

（ ）

（ ）

（13）0.3既不是整数也不是分数，因此它不是有理数 （14）正有理数和负有理数组成全体有理数。

小结：

教师引导学生回答如下问题：本节课学习了哪些基本内容？学习了什么数学思想方法？应注意什么问题？

由学生小结有理数的定义和两种分类方法。

教学小结：

本节是小学所学算术数之后数的范围的第一次扩充，是算术数到有理数的衔接与过渡，并且是以后学习数轴、相反数、绝对值以及有理数运算的基础。本节的重点是通过熟悉的实例引入负数的概念，使学生明确数学知识来源于实践又服务于实践。能正确识别负数、用正负数表示具有相反意义的量是本节的难点。教学中要特别强调“0”的特殊身份，明确“0”既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界点。教学中应多结合实例加深对负数的认识。

本节的教学重点是让学生明确有理数的概念，难点是根据不同的分类标准对有理数进行分类。通过具体的数的分类练习培养学生的正确分类能力，在确定分类标准时应防止出现“重”、“漏”的错误，即要求每一个数必须属于某一类，又不能同时属于不同的两类。