习题训练优秀教学设计内容

第十五章

习题训练

——求分式方程中字母系数的取值范围

一、内容和内容解析

1.内容

求分式方程中字母系数的取值范围

2.内容解析

本节课是在学生已经学习了数字系数分式方程解法后的加深拓展，主要题型是已知分式方程的根满足的条件，求字母的值、或取值范围.

含有字母系数的分式方程的解法与数字系数分式方程的解法类似，也有所不同.先要分清哪些字母表示未知数，哪些字母表示常数.比如，题目中说“关于x的分式方程”，那么x就表示未知数，其它字母表示常数.再把表示常数的字母当做已知数，求出分式方程的解；然后把表示常数的字母当做未知数，根据题意列出方程或者不等式，求出字母的取值范围.

把分式方程转化为整式方程，并且整理后，如果未知数的系数含有字母，则需要进行讨论.分式方程无解包括两种情况：一是变形后得到的整式方程无解，二是整式方程有解，但该解使最简公分母为零，也就是增根.

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：先把字母当做已知数，求出整式方程的解；再把字母当做未知数，根据题意列出方程或不等式，求出字母的值或取值范围.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）把字母系数当做已知数，求出整式方程的解.

（2）把字母系数当做未知数，求出字母的取值范围.

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生首先能区分表示未知数的字母和表示常数的字母，然后把表示常数的字母当做已知数，将分式方程转化为整式方程，并求出整式方程的解.

达成目标（2）的标志是：根据分式方程的解满足的条件，把字母当做未知数，列出相应的等式或者不等式，求出字母的值或者取值范围.

三、教学问题诊断分析

在刚开始接触含有字母的分式方程时，很多学生不知道如何处理字母系数和未知数的关系，从而不知怎样动手.解决这个问题的关键就是，先根据题意，比如“关于x的分式方程”，分清表示未知数和常数的字母.

把分式方程转化为整式方程，整理为ax=b的形式后，如果x的系数a是含字母的式子，要对它分两种情况进行讨论，很多学生容易忽略这点.

基于以上分析，本节课的教学难点是：把字母当做已知数，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解；如果未知数的系数中含有字母，则需要进行讨论.

四、教学过程设计

1.复习分式方程的解题步骤

问题1

解分式方程

.

解：方程两边乘(x+2)(x2)，得

①

4+(x+2)(x2)=x+2.

解得

x1=1，x2=2.

检验：当x=1时，(x+2)(x2)≠0；当x=2时，(x+2)(x2)=0.

所以，原分式方程的解为x=1.

师生活动：让两个同学上讲台演板，其他同学在下面独立完成.然后教师提问：

（1）步骤①的依据是什么？

（2）为什么解分式方程可能产生增根？

设计意图：让学生复习解分式方程的步骤、增根产生的原因.为下一步的学习奠定基础.

2.探究分式方程中字母系数取值范围的求法

例1

阅读(1)中的解答过程，并模仿解答(2)中的问题.

（1）（2018 •

张家界）已知关于x的分式方

的解为x=2，求m的值.

解：方程两边乘（x1），得

m3=x1.

整理，得

x=m2.

又

x=2，

所以

m2=2.

因此

m=4.

（2）（2018 •

潍坊）m为何值时，分式方程

会出现增根.

解：方程两边乘（x3），得

x5=m.

整理，得

x=5m.

因为原方程有增根，所以

5m=3.

所以

m=2.

师生活动：先让学生阅读（1）中给出的解题过程，再让学生归纳解题思路：先把字母当做已知数，求出分式方程的解；再把字母当做未知数，根据题意列出方程，求出字母的值.透彻理解（1）中的解题方法后，再让学生独立完成（2），请两个学生上台演板.

设计意图：对于第（1）小题，教师没有直接讲解，而是让学生先阅读它的解题过程，然后做第（2）小题.其目的是培养学生阅读理解、独立思考的能力，提高他们的自学水平.

例2 （2018 •

龙东地区）已知关于x的分式方程

的解是负数，则m的取值范围是（

）.

A.

m≤3

B.

m≤3且m≠2

C.

m<3

D.

m<3且m≠2 分析：方程两边乘（x+1），得

m2=x+1.

整理，得

x=m3.

据题意，得

m3<0且m3≠1.

所以

m<3且m≠2.

师生活动：让学生先独立思考，自己完成，然后小组交流，教师巡视，收集错例进行展示，引导学生找出错在哪里，分析错误的原因，该怎样改正.

设计意图：本例中，已知分式方程的解是负数，求字母的取值范围.求出分式方程的解后，除了根据解是负数列出不等式m3<0，还要根据解不能使分母为0，列出不等式m3≠1，有的学生容易遗漏这个条件.

例3 （2018 •

齐齐哈尔）若关于x的方程

无解，求m的值.

解：方程两边乘(x+4)(x4)得

x+4+m(x4)=m+3.

整理，得

(m+1)x=5m1.

①

（1）当m+1=0时，m=1，

把m=1代入方程①，得

0•x=6，无解.

（2）当m+1≠0时，

x= .

所以，当 =4时，原分式方程无解.

解得

m=5或

. 因此

m=1或5或

. 师生活动：让学生独立思考，教师巡视，请两位解答有错误的学生上台演板，然后让学生分析错误的原因.

有些学生做到(m+1)x=5m1这一步后，不知道怎样继续做下去，或者不经讨论，直接把系数化为1.这时教师给予适当提示：未知数的系数中含有字母，该怎样处理？

设计意图：本例和前面两个例子的不同之处在于，化简后得到的整式方程系数中含有字母，此时需要先对系数分两种情况进行讨论，当系数不为0时，才能把系数化为1.

3.讲练结合，复习巩固

1.（2016 •

黑龙江）关于x的分式方程

无解，求m的值.

（答案：m=0或4）

设计意图：本题主要考查学生对题型一的掌握.

2.（2018 •

眉山）已知关于x的分式方程

有一个正数解，求k的取值范围.

（答案：k<6且k≠3）

设计意图：本题主要考查学生对题型二的掌握.

3.若关于x的分式方程

无解，求m的值.

（答案：m=

或

）

设计意图：本题主要考查学生对题型三的掌握.