整数指数幂名师课堂实录

15.2.3 整数指数幂

第1课时

整数指数幂

【知识与技能】

1.

知道负整数指数幂an=1（a≠0，n是正整数）. an2.

掌握整数指数幂的运算性质. 【过程与方法】

在经历探索、类比、归纳、思考等活动过程中，体会由正整数指数幂扩充到整数指数幂的意义. 【情感态度】

进一步增强学生的数学思维和逻辑推理能力，增强数学学习兴趣，激发求知欲.

【教学重点】

整数指数幂的意义及运算方法. 【教学难点】

负整数指数幂的意义.

一、温故而知新

上一次课我们所学的正整数指数幂有以下运算性质：

（1）同底数幂的乘法：amanamn

(a0,m、n为正整数)

逆向运算：amnaman

(a0,m、n为正整数) （2）幂的乘方：amnamn

((a0,m、n为正整数)

逆向运算：amnam

(a0,m、n为正整数) （3）积的乘方：abanbn

(a，b0,m、n为正整数) nn

逆向运算：anbnab

(a，b0,m、n为正整数) n

（4）同底数幂的除法：amanamn

(a0,m、n为正整数且m>n)

逆向运算：amnaman

(a0,m、n为正整数且m>n) ana（5）分式的乘方：n（

a,b≠0 ，n是正整数）

bbana

逆向运算：n

（

a,b≠0 ，n是正整数）

bb（6）0指数幂的运算：a01

（a0）

二、情境导入，初步认识

探索负整数指数幂的意义

nn问题1：当m为正整数时，am表示的实际意义是什么？

问题2：将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？

【教学说明】教师设置问题，师生共同回顾，并一一予以解释，为负整数指数幂做好铺垫. 教师讲课前，先让学生完成“自主预习”. 思考：一般地，am中指数m可以是正整数也可以是零，但它可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？

【教学说明】设置思考，可激发学生的学习兴趣，增强解决相关问题的能力. 三、思考探究，获取新知

am÷an=am-n (a≠0 m、n为正整数且m>n) 当m=n时，

于是规定：

a0 =1

(a≠0)

am÷am=am-m =a0（a≠0）

am1ma

当m

32321232-3-1，33333211333353531353-5-2322，55555

55551041041474-7-3，1010101010710410310332与3233意义相同吗？

23比较上述两个结论，你有何发现？由此你是否能找出an与【归纳结论】数学中规定：一般地，当n为正整数时，a-n=即a-n（a≠0）是an的倒数.

你有何发现？与同伴交流. 【归纳结论】

1的关系呢？

na1（a≠0），

an引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数。

ma(m是正整数)

am1（m0）

1（m是负整数）

a-m

试一试：

第（1）、（2）、（3）、（4）题按幂的运算性质计算后，把负整数指数幂写成正整数指数幂的形式，这里是应用a-n=1/an（a≠0）来转化的，第（5）、（6）注意负号问题，第（6）题的负号与指数没有关系，先提到前面，再算4-2。第（7）、

（8）（9）题中分子、分母中的负整数指数幂改变指数的符号后就可以直接写在bbaban相应的分母、分子的位置上，依据是()n

=［()1］=()n

，即()n=()n（其aaabb中a≠0，b≠0，n为正整数），运用这一技巧，能使计算变得更容易.

探索整数指数幂的意义

问题3：引入负整数指数和0指数后，amanamn（m,n是正整数）这条性质能否推广到m,n是任意整数的情形？

【归纳结论】

am·an=am+n这条性质对于m，n为任意整数情形仍然适用.

探索整数指数幂的性质

问题4：思考类似上面的探究过程，你可以用负整数指数幂或0 指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？不妨谈谈你的看法并与同伴交流。

【归纳结论】正整数指数幂的所有运算法则在整数范围内都是成立的. （1）同底数幂的乘法：amana

逆向运算：a（2）幂的乘方：ammnmn

(a0,m、n为整数) aman

(a0,m、n为整数) namn

((a0,m、n为整数)

mn

逆向运算：aam

(a0,m、n为整数) n

（3）积的乘方：abanbn

(a，b0,m、n为整数) n

逆向运算：abab

(a，b0,m、n为整数) nnn（4）同底数幂的除法：amanamanamn

(a0,m、n为整数) mn

逆向运算：anaman

(a0,m、n为整数) ana（5）分式的乘方：n（

a,b≠0 ，n是整数）

bbnana

逆向运算：nab1

（

a,b≠0 ，n是整数）

bbn

试一试

（1）a2a5;(3)(a1b2);

b32(2)(2)a(4)a2b2(a2b2)3【教学说明】在学生通过自主探究相互交流获得感性认识基础上，设置上述两个问题，第1题较为简单，学生可轻松完成.第2、3、4题也有意让学生先自主探索，寻找出结论.教师巡视，然后予以评讲.在评讲过程中，针对学生出现的问题予以解释，让出现问题的同学加深理解.

四、典例精析，掌握新知

【教学说明】以上两题均可由学生自主完成，教师巡视，最后予以简评即可。

五、运用新知，深化理解

1、计算

【教学说明】以上两题由学生独立探究，教师巡视时，对有困难的同学给予指导，再予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验. 在这两题中，第1题的第（1）题是关于零指数幂、正整数指数幂、负整数指数幂的运算，解答这类题一般要先把底数不为零的零指数幂化为1，负整数指数化为正整数指数，然后再按正整数指数幂的运算性质进行计算；第（2）题要注意负整数指数幂的运算.要注意先把括号里的每一个因式先分别乘方。

五、师生互动，课堂小结

1.这节课你有哪些收获？

2.你认为这节课有哪些知识是难以理解的，与同伴交流.

1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取. 2.完成练习册中本课时的练习.

整数指数幂是在学生学习了分式的基本性质及乘除法之后的教学，教材中利用同底数幂相除的性质给出负整数指数及零指数的意义.在教学中，教师可在复习幂的有关运算性质后提出问题：“幂的这些运算性质中指数都要求是正整数，如果是负数又表示什么意义呢？”通过提问让学生寻找规律,猜想出零指数幂和负整数指数幂的意义，这不但可以调动学生学习的积极性,还可以达到预期效果。