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www.czsx.com.cn 培优专题7 线段和角

线段和角是最简单、最基本的几何图形，与它们有关的概念、性质以及它们的画法和计算是研究平面几何的基础．

要解决线段和角的计数、计算问题，首先应掌握好线段和角的一些特点及基本性质，其次要注意总结规律，灵活运用．

例1 如图，数出各条线上线段的总条数．

分析 要确定一条线段，就需要确定线段的两端点，做到不重不漏．

在（1）中，先数以A为左端点的线段：AC、AB，2条；再数以C为端点的线段：CB，1条．故（1）•中共有3条线段．

同样地，在图（2）中有线段AC、AD、AB，3条；CD、CB，2条；DB，1条．共计3+2+1=6条．

在（3）中有线段AC、AD、AE、AB；CD、CE、CB；DE、DB；EB．共计4+3+2+1=10条．

从上面的分析可见，当线段上有n个点（包括两端点）时，它上面的线段总共有

（n-1）+（n-2）+…+2+1= 练习1 1．在直线L上顺将取点A、B、C、D、E、F、M、N，则在A、•N•两点之间共有线段______条（包括线段AN）．

2．（1）数一数图中的图①中共有______个角；图②中共有_____角；•图③中共有______角．

（2）从（1）中你找到一种数图④中角的个数的规律吗？

n(n1)（条）．

2

3．如图，图中共有_______条线段．

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例2

在图中，若线段A1A2=a1，A2A3=a2，A3A4=a3，A4A5=a4，A5A6=a5，求出所有线段长的和．

分析

•

•要求出所有线段长的总和，•可采用分类计数的方法，•分别以A1、A2、A3、A4、A5为左端点，按5类分别计算长度，如：

L1=A1A2+A1A3+A1A4+A1A5+A1A6

=a1+（a1+a2）+（a1+a2+a3）+（a1+a2+a3+a4）+（a1+a2+a3+a4+a5）

=5a1+4a2+3a3+2a4+a5．

同理：L2=4a2+3a3+2a4+a5，

L3=3a3+2a4+a5．

L4=2a4+a5．

L5=a5．

故所有线段的长度总和为：

L=L1+L2+L3+L4+L5

=5a1+8a2+9a3+8a4+5a5．

当本例从6个点推广到n个点时，所有这些线段长的总和为：

L=a1（n-1）×1+a2（n-2）×2+a3（n-3）×3+…+an-2×2×（n-2）+an-1×1×（n-1）．

练习2 1．如图1，B、C、D依次是线段AE上的点，已知AE=8.9cm，•BD=•3cm，•则图中从A、B、C、D、E这五个点为端点的所有线段的长度之和等于_________．

(1) (2) (3) 2．（1）如图2，3个机器人A1、A2、A3排成一条线做流水作业，它们都要不断从一个固定的零件箱中拿零件，则零件箱放在（ ）处最好（使得各机器人到零件箱的距离之和最小）．

A．A1

B．A2

C．A3

D．A1、A2之间或A2、A3之间的一点处

（2）如图3，若有4个机器人B1、B2、B3、B4，零件箱放在何处最好？

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www.czsx.com.cn 3．经过直线L外一点P作长度为5cm的线段，使其另一端点在L上，这样的线段可以作（ ）条．

A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2

例3 如图，已知C在线段AB上，且AC：BC=2：3，D在线段AB的延长线上，BD=•AC，E为AD的中点，若AB=40cm，求CE的长．

分析 由AC：BC=2：3及AB=40cm，可先求出AC、BC的长度，再由E为AD•中点，可求出AE的长度，再由CE=AE-AC求出CE．

解：设AC=2x，BC=3x，由题意得：

2x+3x=40，解得x=8．

∴AC=16，BC=24，∴BD=AC=16．

∴AD=AB+BD=40+16=56．

∵E为AD中点，

∴AE=1AD=28．

2∴CE=AE-AC=12（cm）．

练习3 1．三点A、B、C在同一直线上，若BC=2AB，且AB=a，则AC=________．

2．如图，C、D、E将线段AB分成四部分，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，若MN=21，则PQ长为________．

3．（1）如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠BOC，求∠MON的度数；

（2）如果（1）中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；

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www.czsx.com.cn （3）如果（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON的度数．

（4）从（1）、（2）、（3）的结果中你可得出什么结论？

（5）线段的计算与角的计算存在着密切的联系，它们之间可以互相借鉴解法，•请你模仿（1）～（4）设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律并给出解答．

例4

如图，过点O任作7条直线．

求证：以O为顶点的角中必有一个小于26°．

分析 过点O的7条直线被点O分成14•条射线，•而相邻的两射线可组成14个角，而要证明以O为顶点的角中必有一个小于26°，只要考虑这14个角即可．

证明：设相邻的射线组成的14个角为α1、α2…、α14，

则α1+α2+…+α14=360°．

假设α1+α2+…+α14都不小于26°，则：α1+α2+…+α14≥364°

与α1+α2+…+α14=360°矛盾．

故α1、α2…α14中必有一个角小于26°．

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www.czsx.com.cn 练习4 1．9点20分时，时针与分针所成的角是多少度？

2．如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是多少？

3．如图，∠A1OA11是一个平角，∠A3OA2-∠A2OA1=∠A4OA3-∠A3OA2=∠A5OA4-∠A4OA3=…=∠A11OA10-∠A10OA9=2°，求∠A11OA10的度数．

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www.czsx.com.cn 例5 从县城P出发的一条直线公路两旁共有10个村需要安装自来水（•水从县城引出），县城与A村的距离为30千米，其余各村之间的距离如图7-14所示，•现有粗细不同的两种水管可以选用，粗管是供给所有各村用水，细管只能供一个村用水．•安装费用：粗管每千米8000元，细管每千米2000元．把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程总费用．请你设计一种最节省的安装方案，并求出所需的总费用．

分析 显然粗细管适当搭配较合适，由于粗管安装费用是细管安装费用的4倍，故需要用4根细管的路段采用粗管或细管所花费用相同，需要用多于4•根细管的路段采用粗管较合算．由县城P─A─B─C─D─E─F宜采用粗管，F─G用粗管或细管均可，G─H、G─M、G─N分别安装一根细管．总费用是：

（30+5+2+4+2+3）×8000+2×8000+2×2000+（2+2）×2000+（2+2+5）•×2000=•414000（元）．

练习5 1．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相联，连线标注的数字表示该网络单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A•向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，•由单位时间内传递的最大信息量为（ ）．

A．19 B．20 C．24 D．26 2．甲和乙两人同时从A、B两地相向而行（如图7-16），甲骑自行车，乙步行．•出发后30分钟甲与乙在P1处相遇，然后甲、乙继续前进，甲到B地后马上折回向A骑行，•从P1起30分钟后，甲又在P2处追上乙，此后两人继续前进，甲从A地在返回B地的路上在P3•处与乙相遇．求证：P1、P2、P3是AB的四等分点．

P3AP2P1

www.czsx.com.cnB

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www.czsx.com.cn 3．（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种方法，•只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来？

（2）现有一个17°的“模板”，•能否只用这个“模板”和铅笔在纸上画出一个1°的角来？

（3）用一个21°的“模板”与铅笔，能否在纸上画出一个1°的角来？对于（2）、（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由．

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www.czsx.com.cn 答案: 练习1 1．28．

8(81)=28．

2n(n1)．

22．（1）①3；②6；③10；（2）3．30．如线段BE上有6条线段，故共有6×5=30条线段．

练习2 1．41.6cm．

其长度总和=4AB+6BC+6CD+4DE=4（AB+DE）+6（BC+CD）=4（AE-BC）+6BD=4AE+2BD=4×8.9+2×3=41.6cm．

2．（1）A2处，故选B．

（2）若选在B1、B2之间，设此点为M1，则其和为：B1B4+B2B3+2B2M1；若选在B2、B3之间，设此点为M2，则其和为B1B4+B2B3；若选在B3、B4之间，设此点为M3，则其和为B1B4+B2B3+2B3M3，故选在B2、B3之间（包括（B2、B3处），其到机器人的距离和最短．

3．选D．若点P到L的距离d=5cm，则此点只有一个；若d>5cm，不存在此点；若d<5cm，则这样的点有两个，故选D．

练习3 1．a或3a，若点B、C在点A的同侧，则AC=3a；若点B、C在点A的异侧，则AC=a．

2．7．设AC=2k，则CD=3k，DE=4k，EB=5k，且MN=故PQ=7．

3．（1）∠MON=45°，∠MON= （2）∠MON=217k，PQ=k，由MN=21，可知：k=2，22111∠AOC+∠BOC=∠AOB=45°．

2221α

2 （3）∠MON=45°

（4）分析（1）、（2）、（3）的结果和解题过程可知：∠MON的大小总等于∠AOB•的一半，而与锐角∠BOC的大小无关．

（5）如图7-1，B为线段AC上一点，AC=a，M、N分别为线段AB、BC的中点，求MN的长．本题的规律是：MN=1AC，而与BC的长度变化无关．

2AMNBwww.czsx.com.cnC

练习4 - 8 -

www.czsx.com.cn 1．160°．时钟从表面12处顺时针转过（91×30°）=280°，分针从表面12处顺时针3转过（20×6°）=120°，故时针与分针形成的角为160°．

2．405°．由图知：∠3=∠5=∠7=45°，∠1+∠9=90°，∠2+∠6=90°，∠4+∠8=90°，∴∠1+∠2+…+∠9=405°．

3．27°．将条件中的9个等式相加，得：∠A11OA10-∠A2OA1=9×2°，

即∠A11OA10=∠A2OA1+18°，

又∠A1OA11=∠A2OA1+∠A3OA2+…+∠A11OA10=（∠A2OA1+∠A11OA10）×10=180°，

两个方程联立解得∠A11OA10=27°．

练习5 1．考察每条通道的最大信息量，•四条通道在单位时间可同时通过的最大信息量为3、4、6、6，则（3+4）+（6+6）=19，选A．

2．乙从B到P1用了30分钟，由P1到P2也用了30分钟，

故有BP1=P1P2，因为甲从P1到B然后再到P2用了30分钟，共行了3P1P2长的路程，

所以甲的速度是乙速度的3倍．

再由第三次相遇知P2A+AP3=3P2P3，即P2P3+2AP3=3P2P3，

则P2P3=AP3，

再由第一次相遇知：AP1=3P1B，

由此2P2P3+P1P2=3P1B，

故P2P3=P1B，由此AP3=P2P3=P2P1=P1B．

故P1、P2、P3=是线段AB的四等分点．

3．本题关键是得到一个1°的角，设“模板”的角度为α，

假设可由m•个α角与n•个180°角可以画出1°的角来，则有mα-180n=1．

（1）当α=19°时，取m=19，n=2，即用“模板”连续画出19个19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角，即可得到1°的角．

（2）当α=17°时，取m=53，n=5，可以得到一个1°的角．

（3）当α=21°时，21m-180n=1无正整数解，故不能用21°的“模板”画出1°的角．

12- 9 -