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八年级上学期

第十一章

三角形

单元测试卷

数

学

试

卷

考试时间：120分钟；满分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号

得分

评卷人

得

分

一

二

三

总分

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．（4分）如图，图中直角三角形共有（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2．（4分）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（

）

A．线段DE

B．线段BE

C．线段EF D．线段FG

3．（4分）下列物品不是利用三角形稳定性的是（

）

A．自行车的三角形车架

B．三角形房架

C．照相机的三脚架 D．放缩尺

4．（4分）边长为1、2、3、4、5、6的木棍各一根．随意组成三角形，共有（

）种取法．

A．20 B．15 C．10 D．7

5．（4分）在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，则△ABC是（

）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．无法确定

6．（4分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（

）

A．45°

B．60°

C．75°

D．85°

7．（4分）如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（

）

A．9°

B．18°

C．27°

D．36°

8．（4分）如图所示，设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（

）

A

B

C

D

9．（4分）如图为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1度数为（

）

A．360°

B．

C．

D．

10．（4分）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，连接BD，BE平分∠ABD，BE⊥AD，∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F，若∠ADC=110°，则∠F的度数为（

）

A．115°

B．110°

评卷人

得

分

C．105°

D．100°

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．（5分）三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是

．

12．（5分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=5，则它的周长等于

．

13．（5分）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=

．

14．（5分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=

度．

评卷人

得

分

三．解答题（共9小题，满分90分）

15．（8分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

16．（8分）如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD=BD，∠A=23°，∠BCE=44°，求∠ACB的度数．

17．（8分）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．

18．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．

19．（10分）已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c．

（1）第三边c的取值范围是

．

（2）若第三边c的长为偶数，则c的值为

．

（3）若a＜b＜c，则c的取值范围是

．

20．（10分）如图，已知△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB边上任意一点，EF⊥BC于点F，∠1=∠2．求证：DG∥AB．请把证明的过程填写完整．

证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（

），

∴∠EFB=∠ADB=90°（垂直的定义）

∴EF∥

（

）

∴∠1=

（

）

又∵∠1=∠2（已知）

∴

（

）

∴DG∥AB（

）

21．（12分）已知a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x．

（1）直接写出c及x的取值范围；

（2）若x是小于18的偶数

①求c的长；

②判断△ABC的形状．

22．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．

（1）求∠BAE的度数；

（2）求∠DAE的度数．

23．（14分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．

（1）将下面的表格补充完整：

正多边形的边数

∠α的度数

3

4

5

6

……

18

……

（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．

（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．

2018年秋八年级上学期

第十一章

三角形

单元测试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．

【分析】根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．

【解答】解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，

故选：C．

【点评】本题考查了直角三角形的定义，比较简单，掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏．

2．

【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．

【解答】解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，

故选：B．

【点评】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

3．

【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用三角形的稳定性进行解答．

【解答】解：放缩尺是利用了四边形的不稳定性，

而A、B、C选项都是利用了三角形的稳定性，

故选：D．

【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一

平面内组成三角形．

4．

【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

【解答】解：从长为1、2、3、4、5、6的木棍中，任意取3根，则有20种取法，

其中能组成三角形的有7种：

2、3、4；

2、4、5；

2、5、6；

3、4、5；

3、5、6；

3、4、6；

4、5、6；

故选：D．

【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，正确利用三边关系：两条较短的边的和大于最长的边是解决本题的关键．

5．

【分析】设∠C=x，则∠B=可．

【解答】解：∵在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，

∴设∠C=x，则∠B=21x，∠A=x，

3321x，∠A=x，再根据三角形内角和定理列方程求出x的值即33∵∠A+∠B+∠C=180°，

21即x+x+x=180°，

33解得x=90°，

∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．

∴△ABC是直角三角形，

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．

6．

【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．

【解答】解：如图，

∵∠ACD=90°、∠F=45°，

∴∠CGF=∠DGB=45°，

则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，

故选：C．

【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．

7．

【分析】根据直角三角形的两个角互余即可求解．

【解答】解：设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．

则x+4x=90，

解得：x=18°．

故选：B．

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，两锐角互余．

8．

【分析】根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的定义进行解答即可．

【解答】解：∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，

∴正方形应是N的一部分，也是P的一部分，

∵矩形形、正方形、菱形都属于平行四边形，

∴它们之间的关系是：故选：A．

．

【点评】本题考查的是正方形、平行四边形、菱形和矩形的定义，熟练掌握这些多边形的定义与性质是解答此题的关键．

9．

【分析】AA1之间添加两条边，可得B1+∠C1+∠D1=∠EAD+∠AEA1+∠EA1B1，再根据边形的内角和公式即可求解．

【解答】解：如图，

AA1之间添加两条边，可得B1+∠C1+∠D1=∠EAD+∠AEA1+∠EA1B1

则∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1=∠EAB+∠B+∠C+∠D+∠DA1E+∠E=720°；

故选：C．

【点评】考查了多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3）且n为整数）．

10．

【分析】依据四边形BCDE的内角和，可得∠BCD+∠CBE=160°，再根据∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F，可得∠BCF+∠CBF=﹣80°=100°．

【解答】解：∵BE⊥AD，

∴∠BED=90°，

又∵∠ADC=110°，

1×160°=80°，进而得出△BCF中，∠F=180°2

∴四边形BCDE中，∠BCD+∠CBE=360°﹣90°﹣110°=160°，

又∵∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F，

∴∠BCF+∠CBF=1×160°=80°，

2∴△BCF中，∠F=180°﹣80°=100°，

故选：D．

【点评】本题主要考查了四边形内角和以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握四边形内角和为360°．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．

【分析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围．

【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，2a﹣1，4，

∴4﹣3＜2a﹣1＜4+3，

即1＜a＜4．

故答案为：1＜a＜4．

【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质．

12．

【分析】分两种情况讨论：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD=151AB=；②Rt△ABC中，AC=BC，222分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长为5+385或5+52．

【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD=15AB=，

22

设BC=a，AC=b，则

，

解得a+b=52，或a+b=﹣52（舍去），

∴△AB长度周长为52+5；

1如图所示，Rt△ABC中，AC=BC，

2

设BC=a，AC=b，则

解得

∴△AB长度周长为35+5；

综上所述，该三角形的周长为5+35或5+52．

故答案为：5+35或5+52．

【点评】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用勾股定理进行推算．

13．

11∠ABC，∠OCB=∠ACB，再根据三角形221内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，则∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠21ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BOC=90°+∠A，然后把∠BOC=110°代入计算可得到∠A2【分析】先根据角平分线的定义得到∠OBC=的度数．

【解答】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，

∴∠OBC=11∠ABC，∠OCB=∠ACB，

221（∠ABC+∠ACB），

2而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，

∴∠BOC=180°﹣而∠BOC=110°，

1∴90°+∠A=110°

211（180°﹣∠A）=90°+∠A，

22∴∠A=40°．

故答案为40°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．

14．

【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．

52180【解答】解：∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形，

5∴∠BAC=∠BCA=36度．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．

n边形的内角和为：180°（n﹣2）．

三．解答题（共9小题，满分90分）

15．

【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．

【解答】证明：过点A作EF∥BC，

∵EF∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠C，

∵∠1+∠2+∠BAC=180°，

∴∠BAC+∠B+∠C=180°，

即∠A+∠B+∠C=180°．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．

16．

【分析】根据等角对等边得出∠ABD=∠A，再利用平行线的性质得出∠DBC=∠BCE，进而利用三角形的内角和解答即可．

【解答】解：∵AD=BD，∠A=23°，

∴∠ABD=∠A=23°，

∵BG∥EF，∠BCE=44°，

∴∠DBC=∠BCE=44°，

∴∠ABC=44°+23°=67°，

∴∠ACB=180°﹣67°﹣23°=90°．

【点评】此题考查三角形的内角和问题，关键是根据等角对等边得出∠ABD=∠A．

17．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，

∴∠AED=85°，

∵∠B=50°，

∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，

∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAC=2∠BAE=70°，

∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

18．

【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．

【解答】解：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，

∵AD是BC边上的高，

∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

19．

【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解；

（2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数解答即可．；

（3）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，根据a＜b＜c即可得c的取值范围．

【解答】解：（1）根据三角形三边关系可得4＜c＜10，

（2）根据三角形三边关系可得4＜c＜10，

因为第三边c的长为偶数，

所以c取6或8；

（3）根据三角形三边关系可得4＜c＜10，

∵a＜b＜c，

∴7＜c＜10．，

故答案为：4＜c＜10；6或8；7＜c＜10．

【点评】此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件．

20．

【分析】根据三角形内角和定理以及平行线的性质即可求出答案．

【解答】解：证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（

已知），

∴∠EFB=∠ADB=90°（垂直的定义）

∴EF∥AD（

同位角相等，两直线平行）

∴∠1=∠3（

两直线平行，同位角相等）

又∵∠1=∠2（已知）

∴∠2=∠3（等量代换）

∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）

故答案为：已知；AD；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；∠2=∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行；

【点评】本题考查三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理以及平行线的性质与判定，本题属于基础题型．

21．

【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；

（2）①根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求解；

②利用等腰三角形的判定方法得出即可．

【解答】解：（1）因为a=4，b=6，

所以2＜c＜10．

故周长x的范围为12＜x＜20．

（2）①因为周长为小于18的偶数，

所以x=16或x=14．

当x为16时，c=6；

当x为14时，c=4．

②当c=6时，b=c，△ABC为等腰三角形；

当c=4时，a=c，△ABC为等腰三角形．

综上，△ABC是等腰三角形．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键．

22．

【分析】（1）由∠ABC、∠ACB的度数结合三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质可求出∠BAE的度数；

（2）利用三角形的外角性质可求出∠AEB的度数，结合∠ADE=90°即可求出∠DAE的度数．

【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°．

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=1∠BAC=30°．

2（2）∵∠CAE=∠BAE=30°，∠ACB=80°，

∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=110°，

∵AD是BC边上的高，

∴∠ADE=90°，

∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE=20°．

【点评】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数；（2）牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

23．

【分析】（1）根据多边形内角和公式求出多边形的内角和，再根据三角形内角和定理求出即可；

（2）根据表中的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可；

（3）根据表中的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可．

【解答】解：（1）填表如下：

正多边形的边数

∠α的度数

3

60°

4

45°

5

36°

6

30°

……

……

18

10°

故答案为：60°，45°，36°，30°，10°；

（2）存在一个正n边形，使其中的∠α=20°，

180理由是：根据题意得：=20°，

n解得：n=9，

即当多边形是正九边形，能使其中的∠α=20°；

（3）不存在，理由如下：

180假设存在正

n 边形使得∠α=21，得

21，

n°4解得：n8，又

n 是正整数，

7所以不存在正

n 边形使得∠α=21°．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角和等腰三角形的性质，能求出多边形的一个内角的度数是解此题的关键，注意：多边形的内角和=（n﹣2）×180°．