测试第二课时教学实录

全等三角形的提高拓展训练

知识点睛

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

(3)有公共边的，公共边常是对应边．

(4)有公共角的，公共角常是对应角．

(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的判定方法：

(1)

边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2)

角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3)

边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4)

角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

(5)

斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

例题精讲

板块一、截长补短

【例1】

已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

A

E

DO

D

BC

【例2】

如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一N点(点B除外)，作DMN60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

AMBE

1

【变式拓展训练】

如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与∠ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？

_

D_

C

_

N

_

A_

M_

B_

E

【例3】

已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

_

A_

D

_

F

_

B_

C

_

E

AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，【例4】

以ABC的AB、连结CD、求BE相交于点O．证：OA平分DOE．

DDAAEE

F

OO

CCBB

【例5】

如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

A

N

M

BC

D

2

【例6】

五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，

求证：AD平分∠CDE

A

B

DC

板块二、全等与角度

【例7】如图，在ABC中，BAC60，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABCE的度数.

A

CDB

【例8】在等腰ABC中，ABAC，顶角A20，在边AB上取点D，使ADBC， 求BDC.

A

D

CB

【例9】

如图所示，在ABC中，ACBC，C20，又M在AC上，N在BC上，且满足BAN50，ABM60，求NMB. C

M

N

3 AB

【例10】

在四边形ABCD中，已知ABAC，ABD60，ADB76，BDC28，求DBC的度数.

D

C

BA

【例11】

如图所示，在四边形ABCD中，DAC12，CAB36，ABD48，DBC24，求ACD的度数.

CD

AB

【例12】

在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.

A

E

D

BC

【例13】

如图所示，在ABC中，BACBCA44，M为ABC内一点，使得MCA30，MAC16，求BMC的度数.

B

M

AC

4

全等三角形证明经典50题（含答案）1.

已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

延长AD到E,使DE=AD, 则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE

即:10-2<2AD<10+2 4

又AD是整数,则AD=5

2.

已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD12AB

A B D C A D C B 5

3.

已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF和EF。

因为

BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所以

三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。

所以

BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。

所以

∠EBF=∠BEF。

又因为

∠ABC=∠AED。

所以

∠ABE=∠AEB。

所以

AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中，

AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以

三角形ABF和三角形AEF全等。

所以

∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4.

已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 证明：

过E点，作EG//AC，交AD延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2 又∵CD=DE ∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）

∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC

5.

已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A 1 2 B E C F D A 1 2 F C D E B A B D 6 C

证明：

在AC上截取AE=AB，连接ED ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）

∴∠AED=∠B，DE=DB ∵AC=AB+BD

AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

证明:在BC上截取BF=BA,连接EF. ∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D; 又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.

所以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C AB//ED,AE//BD推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形DCB，

所以:∠C=∠F

14.

已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。

则：

△AED是等腰三角形。

所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）

E D F C A B A D B C 7

所以：△BEC是等腰三角形

所以：角B=角C.

15.

P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段ACA 上（在AC中间，因为AB较短）

因为PC

16.

已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE交AC于F 因为，∠1 =∠2，BE⊥AE 所以，△ABF是等腰三角形

AB=AF,BF=2BE

∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C BF=CF

AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17.

已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

作AG∥BD交DE延长线于G AGE全等BDE

AG=BD=5 A AGF∽CDF

AF=AG=5 所以DC=CF=2

18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

延长AD至H交BC于H; BD=DC; 所以: ∠DBC=∠角DCB; ∠1=∠2; ∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2; C P B D D C B F E

8

∠ABC=∠ACB; 所以: AB=AC; 三角形ABD全等于三角形ACD; ∠BAD=∠CAD; AD是等腰三角形的顶角平分线

所以: AD垂直BC 19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA

因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA

PC20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相E交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

D证明：

做BE的延长线，与AP相交于F点，

BA∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

A21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

证明：在AB上找点E，使AE=AC CBD∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD ∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C ∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠EDB=2∠B

22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，

9

AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．

解答：解：（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF；

（2）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

A∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴DE=BF．

DOE∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF．

23．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

BC（1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

(1)DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，所以△AED≌△EBC。

（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。

24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABCF的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

A求证：BD=2CE．

E证明：延长BA、CE，两线相交于点F

D10

BC

∵BE⊥CE

∴∠BEF=∠BEC=90°

在△BEF和△BEC中

∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC

∴△BEF≌△BEC(ASA)

∴EF=EC

∴CF=2CE

∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°

又∵∠ADB=∠CDE

∴∠ABD=∠ACF

在△ABD和△ACF中

∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°

∴△ABD≌△ACF(ASA)

∴BD=CF

∴BD=2CE

25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：AM是△ABC的中线。

证明：

∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线.

27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC

DEFCABAFBEMCADBC11

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF 证明：在△ABD与△ACD中AB=AC BD=DC AD=AD BCDA∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中

BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC

29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

因为AB=DC AE=DF, CE=FB

CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因为

角DCB=角ABF AB=DC BF=CE C三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上. 证：

∵AB平行CD（已知）

∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）

∵M在BC的中点（已知）

∴EM=FM（中点定义）

在△BME和△CMF中

AFBFED12

BE=CF（已知）

∠B=∠C（已证）

EM=FM（已证）

∴△BME全等与△CMF（SAS）

∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）

∴E，M，F在同一直线上

31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，

AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．

证明：

∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF ∵BE//DF ∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF

∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）

32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：

AE＝AF。

D 连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰△两底E 角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE≌△ABF A 得AE=AF

F B C33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC. 又因为AC是公共边，所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC. 所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC 三角形DEC全等于三角形BEC 所以∠5=∠6

34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．

13 A12D5E6B34C

因为D,C在AF上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB平行DE，BC平行EF 所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）

然后SSA（角角边）三角形全等

35．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．

证明：因为

AB=AC，

所以

∠EBC=∠DCB

因为

BD⊥AC，CE⊥AB

所以

∠BEC=∠CDB

BC=CB (公共边)

则有

三角形EBC全等于三角形DCB

所以

BE＝CD

36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：DE=DF．

AAS证△ＡＤＥ≌△ADF

B E D F C A B E A F C D

37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？

角C=角E=90度

A 角B=角EAD=90度-角BAC BC=AE △ABC≌△DAE B AD=AB=5 E C D A38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。

14 EBMFC

求证：MB=MC 证明∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形

∴∠B=∠C 又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形

∴△BEM全等于△CEM ∴MB=MC

ACB90，ACBC，40．在△ABC中，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①ADC≌CEB；②DEADBE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）证明：∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，

∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CE-CD=AD-BE；

41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

（1）证明;因为AE垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度

因为AF垂直AC

F E A M B

C 15

所以角CAF=角CAB+角BAF=90度

所以角EAC=角BAF 因为AE=AB

AF=AC 所以三角形EAC和三角形FAB全等

所以EC=BF 角ECA=角F （2）(2)延长FB与EC的延长线交于点G 因为角ECA=角F(已证）

所以角G=角CAF 因为角CAF=90度

所以EC垂直BF

42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

证明：

AN（1）

43∵BE⊥AC，CF⊥AB F∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°

E∴∠ABM=∠ACN M2∵BM=AC，CN=AB 1∴△ABM≌△NAC CB∴AM=AN （2）

∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM⊥AN

43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF 连接BF、CE，

证明△ABF全等于△DEC（SAS），

然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC平行于EF

44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由

在AB上取点N ,使得AN=AC

16

∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE 又AC平行BD 所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD

45、（10分）

如图,已知: AD是BC上的中线

,且DF=DE．求证:BE∥CF．

证明：

∵AD是中线

∴BD=CD ∵DF=DE，∠BDE=∠CDF ∴△BDE≌△CDF ∴∠BED=∠CFD ∴BE‖CF

46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF．

求证：AB∥CD．

D 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠DEC=∠AFB=90°，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴∠C=∠A，

A ∴AB∥CD．

47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

A【待定】

.1

3

B

C F E B

D24C17

48、

(10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论. C 结论：CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。

证明：

过D作AE平行线与AC交于F，连接FB 由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形

，且△DFB为等腰三角形。

A RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°

E ∵DF//AE

∴∠FDB=∠AEB<90°

△DFB中

∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°

RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45°

∠AFB=90°-∠FBA>45°

∴AB>AF ∵AB=CE

AF=DE ∴CE>DE 49、

(10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE. 先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB A D 在证明△ABE≌△DCE 得出AE=DE

B E C D B

18

50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

证明：作CG平分∠ACB交AD于G ∵∠ACB=90°

∴∠ACG= ∠DCG=45°

∵∠ACB=90°

AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°

∴∠B=∠DCG=∠ACG ∵CF⊥AD ∴∠ACF+∠DCF=90°

∵∠ACF+∠CAF=90°

∴∠CAF=∠DCF ∵

AC=CB

∠ACG=∠B ∴△ACG≌△CBE ∴CG=BE

∵∠DCG=∠B

CD=BD ∴△CDG ≌△BDE ∴∠ADC=∠BDE

C F D A E B 图9 19