列分式方程解决工程实际问题教案和课堂实录

《分式方程》

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教材分析

学生在学习分式方程这节内容之前已经学习过一元一次方程及二元一次方程组等整式方程，对于整式方程的解法及其基本解题思路已经全面掌握。分式方程就是分母中含有未知数的方程，本节主要探究可化为一元一次方程的分式方程的解法，在探究解分式方程的程序和步骤时，应弄清解法的合理性，即其中所包含的算理。在解分式方程的过程中还要让学生体会化归思想和程序化思想等重要的数学思想。

解决分式方程的实际应用问题时，要根据具体的问题情境，认真审题、根据问题中的数量关系、有效建立等量关系从而正确列出方程，并用解分式方程的一般步骤进行求解，进而检验方程解的合理性。学生在探索应用分式方程解决实际问题的过程中，让学生体会和掌握模型思想。

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教学目标

【知识与能力目标】

1.了解分式方程的概念，会解分式方程。

2.会用解分式方程的知识解决实际问题，能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

【过程与方法目标】

在解分式方程的过程中还要让学生体会化归思想和程序化思想等重要的数学思想。

【情感态度价值观目标】

能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

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教学重难点

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【教学重点】

利用去分母的方法解分式方程，列分式方程解决实际问题。

【教学难点】

了解产生增根的原因。

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课前准备

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多媒体课件、教具等。

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教学过程

一、导入新知

问题1

一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v

km/h，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程9060=。

30v30v这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程。

类似这样的方程是什么方程呢，如何解此方程呢？这就是本课所学习的主要内容。

二、探究新知

问题2

方程9060=有何特征，你能说说和整式方程的区别吗？

30v30v归纳：分式方程的概念：像这样________________________叫分式方程。

追问：分式方程与整式方程有何区别？

小结：分母中含有未知数的方程叫分式方程。

问题3

解方程：9060=。

30v30v(1)解这个方程的基本思想是：________________，具体做法是__________________。

(2)其步骤是：___________________________________________________________。

(3)此方程的解是什么？

(4)解分式方程为什么要验根？

解：方程两边乘以(30+v)(30-v)，得90(30-v)=60(30+v)。

解得x=6。

检验：当x=6时，(30+v)(30-v)≠0。所以原分式方程的解为x=6。

问题4

(1)列方程(组)解应用题的一般步骤是什么？

(2)2010年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心。“一方有难。八方支援”，某厂计划生产1800 t纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务。求原计划每天生产多少吨纯净水？

①设原计划每天生产x

t纯净水，根据题意可列出方程：

②这是一个什么方程？并解这个方程，解完后应注意什么？

三、运用新知

例1

解方程：110。

2x5x25解：方程两边同时乘以公分母x5x5，得整式方程x510。

解得x5。

将x5代入原分式方程检验，发现这时分母x5和x25的值都为0，相应的分式无意义。因此，x5虽是整式方程的解，但不是原分式方程的解。实际上，这个分式方程无解。

追问1：此方程在检验根的时候出现了什么问题？此时解出的x的值还是方程的根吗？

追问2：在解分式方程时，能否和解整式方程一样，验根的步骤可省略不写？

例2

解方程23。

x3x解：方程两边乘以x(x-3)，得2x=3x-9。

解得x=9。

检验：当x=9时，x(x-3)≠0。所以原分式方程的解为x=9。

例3

解方程x31。

x1x1x2解：方程两边乘以(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3。

解得x=1。

检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原方程的解。

所以原分式方程无解。

例4

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？

追问1：工程问题中有哪几个基本量，其关系是什么？通常把工作总量看作多少？

追问2：由题意可知，甲队的工作效率是多少？若设乙队独做x天完成，则乙队的工作效率是多少？

追问3：此题中的等量关系是什么？你能用题中的一句话或一个等式来表示吗？

追问4：工程类问题常用的等量关系是什么？

小结：工程问题，若没有告诉总工作量，通常设总工作量为1；工程问题的等量关系通

常根据“各分工作量之和等于总工作量”来确定。

四、巩固新知

1.解分式方程x3，去分母后的结果是(

) 2x2x2A.x＝2＋3

B.x＝2(x－2)＋3 C.x(x－2)＝2＋3(x－2)

D.x＝3(x－2)＋2 答案：B

2.解下列方程：(1)110716；(2)2。

222x5x25xxxxxx答案：(1)无解；(2)x＝3。

3.在争创全国卫生城市的活动中，某市一“青年突击队”决定义务清运一堆重达100吨的垃圾，开工后附近居民主动参加到义务劳动中，使清运垃圾的速度比原计划提高了一倍，结果提前4小时完成，“青年突击队”原计划每小时清运垃圾多少吨？

答案：设原计划每小时清运x吨，根据题意，得

1001004，解得x＝12.5。

x2x4.小明买软面笔记本共用去12元，小丽买硬面笔记本共用去21元，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？

答案：设小明和小丽买到的笔记本均为x本，根据题意，得

12211.2，解得x＝7.5。

xx因为x不为正整数，所以小明和小丽不能买到相同本数的笔记本。

五、课堂小结

1.什么是分式方程？分式方程与整式方程的区别是什么？

分母含有未知数的方程。

2.解分式方程基本思路是什么？解分式方程为什么要验根？

解分式方程基本思路是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，但多了一步检验，是必须的步骤。

3.列分式方程解决实际问题的关键是什么？一般步骤是什么？

列分式方程解决实际问题的关键是找出题目中的相等数量关系，其一般步骤可概括为：审、找、设、列、解、检验、作答。