线段的垂直平分线的作图教案公开课一等奖

13.1.2 线段的垂直平分线的性质

——线段的垂直平分线的作图

课标要求: 本节课内容属于“图形与几何”

领域，是在学习了轴对称的概念和性质的基础上，研究线段垂直平分线的性质和判定以及应用判定画出线段的垂直平分线．本节课要求同学们理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其作图原理。能初步应用所学知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题。在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念。

学习重点：

线段垂直平分线的性质与判定，线段垂直平分线的画法．

学习难点：

线段垂直平分线的性质和判定的灵活运用. 学习方法：操作、交流、归纳、应用练习

学习过程：

一、

问题引入（3分钟）

复习：线段的垂直平分线的定义

（上节课我们学习了线段垂直平分线的定义，哪位同学能够复述一下？）

经过线段中点并且垂直这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. ┐

【设计意图】

温故知新

二、

自主学习

探究线段的垂直平分线的性质（一）

1、探究：（6分钟）如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，…

到点A 与点B 的距离之间的数量关系．

P3你能用不同的方法验证这一结论吗？

P2

请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的距P1离相等吗？

A(全班分A、B两组，A组同学实际测量操作验证，B组同学几何证明验证，同学自由发言，B组选一代表板演，讲解证明。课件演示证明过程l供学生对照。)

证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”．

已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．

求证：PA =PB．

证明：∵

l⊥AB，

B

l

∴

∠PCA =∠PCB．

P

又

AC =CB，PC =PC，

∴

△PCA ≌△PCB（SAS）．

BAC∴

PA =PB．

2、归纳：（5分钟）

线段垂直平分线上的

点

与这条线段两个

端点

的距离

相等

。

（同学们可以看到性质的内容言简意赅，体现了数学语言凝练、准确之美，那么你能自己说说你对性质的理解吗？）

（1）

请把性质的内容改成“如果……那么……”的形式

如果有一点在线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离相等。

（2）

请找出性质中的题设和结论

题设：有一点在线段的垂直平分线上。

结论：这个点到线段两个端点的距离相等。

（3）

题设中强调了那些条件？

①点在直线上；②该直线垂直已知线段；③该直线平分已知线段。三个条件缺一不可。

（4）

线段垂直平分线的性质可以解决什么问题？

证明线段相等，得到数量关系

（实际习题中我们往往要构造定理的使用前提，才可解决相应问题。如线段垂直平分线的性质的前提是“垂直且平分”即点在线段的垂直且平分线上。之后才可以得到线段相等的数量关系。）

用符号语言表示为：（教师黑板上书写性质的几何语言）

∵

CA =CB，l⊥AB，

∴

PA =PB．

【设计意图】

1、

加深学生对定义的理解，培养学生的动手能力。

2、

学生通过证明、比较，准确掌握线段的垂直平分线的性质。

三、

小组研讨

探究线段的垂直平分线的性质（二）

1、探究：（8分钟）如果我们将线段垂直平分线性质的题设和结论交换位置可以吗？

（1）请写出线段垂直平分线的性质逆命题的内容

如果有一点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上（2）请找出命题中的题设和结论

题设：有一点到线段两个端点的距离相等。

结论：这个点在线段的垂直平分线上。

你能证明这个结论吗?

即，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？

(这里可以引导学生用不同的方法证明，小组充分讨论，小组代表到讲台前讲解，其他方法使用投影仪) 点P 在线段AB 的垂直平分线上．

已知：如图，PA =PB．

求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．

证明（一）：

过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．

在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，

P∵

PA =PB，PC =PC，

∴

Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．

∴

AC =BC．

A又

PC⊥AB，

B C ∴

点P 在线段AB 的垂直平分线上

证明（二）：

过点P做PC平分∠APB交线段AB于C点，则∠APC=∠BPC. 在△PCA和△PCB 中，

∵

PA =PB，∠APC=∠BPC，PC =PC，

∴

△PCA ≌△PCB（SAS）

∴∠PCA =∠PCB，AC =BC．

又∵∠PCA +∠PCB=180°

∴∠PCA =∠PCB =90°

∴PC⊥AB，

又∵AC =BC ∴

点P 在线段AB 的垂直平分线上

证明（三）：

取AB中点C，连接PC. 在△PCA和△PCB 中，

∵

PA =PB，AC=BC，PC =PC，

∴

△PCA ≌△PCB（SSS）

∴∠PCA =∠PCB

又∵∠PCA +∠PCB=180°

∴∠PCA =∠PCB =90°

∴PC⊥AB，

又∵AC =BC

∴

点P 在线段AB 的垂直平分线上

教师小结：本道题我们找到了三种途径解决了同一个问题，分别为作垂直，证中点；作中点，证垂直；以及作角平分线，证线段垂直和相等。方法虽然不同，但都是为了构造三角形全等解决线段之间相等和垂直的问题。这正是我们数学中非常重要的数学思维方法——同中求异，异中求同。

2、归纳：（3分钟）

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的

垂直平分线

上．

（1）题设中强调了什么条件？

点到线段两个端点的距离相等

（2）这个性质可以解决什么问题？

证明点在线段的垂直平分线上，得到图形的位置关系。

用符号语言表示为：

∵

PA =PB，

∴

点P 在AB 的垂直平分线上. 3、思考：你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？

能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？

这些点能组成什么几何图形？

在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合．

【设计意图】

引导学生从不同角度思考问题，寻找解决问题的途径，培养学生的数学思维。

四、成果展示

（学生分组自己讨论分析，由小组代表发言给出证明过程）

（12分钟）

阅读课本第62页例1尺规作图

经过已知直线外一点作这条直线的垂线

已知：直线和直线外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：（1）任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁.

（2）

以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.

（3）分别以点D和E为圆心，大于于点F. （4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线.

1DE的长为半径作弧，两弧相交2

思考: (1)

为什么要取K点? 选取所要画的弧的半径长度

(2)

C点和K点为什么要取在直线AB两旁? 使所画弧可以和直线相交

(3)

将C点和K点取在直线AB同侧行吗? 有前提条件吗？

为什么? 可以，但要使CK的长度大于点C到直线AB的垂线段的长度。确保所画弧可以和直线相交

(4)

为什么直线CF就是所求作的垂线？

点C到线段DE两端点的距离相等，所以点C在DE的垂直平分线上，同理点F也在DE的垂直平分线上，又因为两点确定一条直线，所以直线CF垂直平分线段DE即垂直直线AB. (5)

过一点作已知直线的垂线的依据是什么？实质是什么？

过一点作已知直线的垂线的依据是线段垂直平分线的性质.

（我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的做法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点。）

【设计意图】

通过观察、思考、画图，鼓励学生善于思考、勇于发现、敢于动手，使学生能够借助线段的垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线。达到学以致用的教学目标。

五、归纳反思（8分钟）

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？

两者之间有什么关系？

（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？

（4）如何作一条线段的垂直平分线？

（5）过一点作已知直线的垂线的依据是什么？实质是什么？

【设计意图】

学生小组讨论, 巩固、梳理所学知识，培养学生的归纳和合作交流能力，使学生的知识系统化、条理化。让学生在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验。

【课后作业】

必做题：教科书习题13.1第6、9题．

选做题：（请至少完成一道题）

1、如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？

2、如图，两条公路OA与OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个小区C与D，现要修建一个市场P，使市场P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两个小区C、D的距离相等．

（1）市场P应修建在什么位置？（请用文字加以说明）

（2）在图中标出点P的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕遼，写出结论）．

【设计意图】

反馈课堂学习效果，对课堂知识进行拓展延伸。

【教学反思】

本节课是一节学生自主学习的教学展示课。学生从自主学习线段的垂直平分线的性质入手，通过两个探究活动得到线段垂直平分线的性质和判定。接着应用性质作图进行学习成果展示。教学中，学生自主探究，合作交流总结完成学习内容，教师在课堂中对每组的学习都进行辅导，及时引导。最终完成教学任务。

整个教学活动中需要教师全程关注每个学生的学习状态，进行分层施教，随时帮助学生归纳总结数学思想与方法，多鼓励学生大胆探索。因此，在教学中教师还要充分利用教具教学手段，创设丰富的课堂教学环境，触发学生求知心的生成，真正促成学生自主学习的教学模式。