列分式方程解决行程实际问题教学实录与评析

在问题解决中培养学生发现问题的能力

——应用分式方程解决行程问题

苟斌娥

一、学习目标：

1.

借助表格，分析行程问题中的等量关系，通过设未知数，能正确地列出方程；

2.

利用分式方程解决行程问题，掌握用方程解决实际问题的一般步骤；

3.

反思运用分式方程解决问题的过程；探讨出解决问题的多种方法；

4.

体会利用分式方程解决行程问题的过程，进一步感知方程是刻画实际问题数量关系的一种重要模型. 二、教学重点：

利用表格分析行程问题中的等量关系，用多种方法解决行程问题；

三、教学难点：

反思问题解决的过程，理解行程问题中各因素之间的关系，体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型. 四、教学过程设计

（一）环节一：温故知新

问题1：一列火车的速度为120千米/小时，行驶t小时，则行驶的路程为

千米；

问题2：一列火车t小时行驶了480千米，则火车的速度为

千米/小时；

问题3：一列火车的速度为x千米/小时，则行驶480千米需要

小时. 设计意图：通过三个问题，让学生理解行程问题中路程、速度、时间三者之间的关系，为后面用分式方程解决问题提供铺垫. （二）环节二：探索解题

例题

甲、乙两地相距960千米，高铁通车后火车进行了大提速。甲地到乙地火车提速后的运行速度是提速前的2倍，并且提速后比提速前提前4小时到. 那么提速前甲地到乙地需要多少小时？

问题1：这是一个实际问题中的行程问题，我们以前学过哪些方法解决实际问题？

设计意图：让学生通过回忆已学过的用一元一次方程（七年级上）、二元一

次方程组（八年级上）解决实际问题的过程，回忆用方程解决实际问题的一般步骤. 追问：在用这些方程模型解决实际问题时，你认为最关键的步骤是什么？

设计意图：让学生明白解决问题的前提是审题，通过寻找题中的已知、未知以及他们之间的等量关系，依据等量关系列出方程，然后解答. 问题2：请仔细阅读例题，找出题中的已知、未知以及等量关系. 问题3：请设出未知数，根据等量关系列出方程求解. 分析：（1）设 ，

（3）列表：

提速前

提速后

解答过程：

解：设提速前甲地到乙地所需时间为x小时，则提速后所需时间为（x4）小时，

由题意，得

解这个方程得 路程

时间

速度

（2）等量关系： ，

9609602；

x4xx8. 经检验，x8是原方程的解且符合题意. 答：提速前甲地到乙地所需时间为8小时. 预设：本题可以直接设时间，也可间接设速度，展示学生的两种解答过程（一种让学生上台板书，师生纠正；一种展示台展示），并强调分式方程解决实际问题需要检验. 问题4：回顾解题过程，思考运用分式方程解决实际问题需要注意些什么？

设计意图：及时小结，内化感悟. （三）环节三：分析悟题

问题1：观察解分式方程的过程，你会发现什么问题？你还有其他的解决方案吗？

引导学生思考：为了更快捷地解出分式方程，则需要先约掉公约数，即左右两边同除以960. 追问：960千米是一个多余的条件吗？这里隐含的等量关系是什么？

引导学生思考：隐含的等量关系是提速前和提速后的路程相等. 追问：那本题能由路程相等来建立方程求解吗？

引导学生思考：这里有几个未知量？可否考虑引入一个辅助量？

设原来的速度为a，那么提速后的速度为2a。同样设提速前甲地到乙地所需时间为x小时，那么提速后所需时间为（x4）小时，那么，列出的方程是这样的：

2a(x4)ax. 解得 x8. 在这种解决问题的过程中，路程根本没用到，只需要相同就行了。因此，我们发现问题中的960千米是一个多余的条件. 问题2：产生这一问题的原因是什么？

引导学生分析：问题产生的原因在于速度间的倍数关系和距离相等这两个因素共同作用的。因为如果速度是倍数（如n倍），我们都可以设原速度为x，则提速后为nx，加之距离相等，则可以将速度约掉. 小结：通过分析题目，我们用了三个方程解决了这个行程问题：分式方程（直接设、间接设）以及引入辅助量. （四）环节四：合作创题

问题1：请你对原题目进行修改，使得提速前的路程960千米这个条件必须用上。小组合作讨论，改编题目，并尝试列出方程。

引导学生思考：行程问题中涉及三个量：路程、速度、时间。而问题产生的原因在于速度间的倍数关系和路程相等这两个因素共同作用的。因此，我们可以尝试改变路程，或改变速度关系. 参考：1.改变路程。因为高铁不会是在原有铁路的基础上进行修建的，所以在路程上会发生变化，而且高铁的路程一般比原来的路程短一些。如；甲、乙两地的原铁路线长960千米，现在甲、乙两地高铁通车距离比原铁路减少了160千米，且进行了大提速。甲地到乙地火车提速后的运行速度是原来的2倍，并且

提速后比原来提前4小时到达。那么提速前甲地到乙地需要多少小时？

2.改变速度间的关系。甲、乙两地相距960千米，高铁通车后火车进行了大提速。甲地到乙地火车提速后的运行速度比原来的速度每小时快100千米，并且提速后比原来提前4小时到达。那么提速前甲地到乙地需要多少小时？

按照这个策略的思路我们来列一下方程：

解：设提速前甲地到乙地所需时间为x小时，那么提速后所需时间为（x-4）小时，

由题意，得

960960100x4x. 这个方程列出后是一个可化为一元二次方程的分式方程，暂不要求解答. （五）环节五：小结深化

本节课你学到了哪些知识和方法？

1.

用分式方程解决实际问题的步骤；

2.

改编应用题的途径；

3.

体会转化思想、模型思想在解决问题中的应用. （六）环节六：学习检测

1.人教版教材八年级上154页，练习第1题，尝试用多种方法求解. 2. 请以方程45045015为模型，编写一道应用题；并与你的同伴交流.

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