整式的乘除教学实录

【课题】

15.2.1 平方差公式

【教材】

人教版八年级数学上册第151页至153页.

【课时安排】

1个课时.

【教学对象】

八年级（上）学生.

【教学目标】



知识与技能

（1）理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性；

（2）达到正用公式的水平，形成正向产生式：

“﹙□+△﹚﹙□–

△﹚”→“□²

–

△²”.



过程与方法

（1）使学生经历公式的独立建构过程，构建以数的眼光看式子的数学素养；

（2）培养学生抽象概括的能力； （3）培养学生的问题解决能力，为学生提供运用平方差公式来研究等周问题的探究空间。



情感态度价值观

纠正片面观点：

“数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际意义！学了数学没有用！”体会数学源于实际，高于实际，运用于实际的科学价值与文化价值。

【教学重点】

1.平方差公式的本质的理解与运用；2.数学是什么。

【教学难点】

平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性。

【教学方法】

讲练结合、讨论交流。【教学手段】计算机、PPT、

二、教学过程设计

教学

环节

教 学 内 容

在一次智力抢答赛中，主持人提供了两（一）

1．2119? 2. 10397?

速算

主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷王的

“第一题等于399，第二题绝招

地站起来抢答说：

等于9991。”其速度之快，简直就是脱口而出。约

1分钟

同学们，你知道他是如何计算的吗？你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢？

（1）

现有两个数，不知其大小，请你随意（二）

用两个字母来表示这两个数；

动手

（2）请把这两个数的和与差分别表示出来。操作

这两个式子是多项式还是单项式？

（3）请将所得的和与差相乘并化简；

约

（4）请思考：两个数的和与这两个数的差的4分钟

乘积等于什么？（让学生用自己的语言描述

出来）

教师同时叫三个学生板演不同的操作演算形

式：

（三）

教师

发出

指令

引导

学生

操作

教师

引导

22(xy)(xy)xy；

学生

比较

抽象

(mn)(mn)m2n2；

分析

三种

概括

(cd)(cd)c2d2. 形式

的异

三位同学所用的字母，所得的结果完全同

约

3分钟

不同！请问：他们的结果真的没有一点共同之处吗？引导学生横向比较三个结果，抽象

学生

动手

操作

演算

思考

表达

学生

比较

分析

三种

形式

的异

同，

归纳

总结

其共

性

道题：

教师

活动

教师

讲故

事，

激发

学生

学习

欲望

学生

活动

学生

听故

事，

思考

设 计 意 图

通过“速算王的绝招”这一故事的

情境创设，引发学生学习的兴趣，

同时激发了学生的好奇心和求知欲，

顺利引入新课。

让学生运用前面已掌握的三个乘法法则，自己动手演算，积极思考，尝试数学表述，为后面的抽象概括做好准备。

通过三个不同刺激模式，由特殊到一般，通过引导，与学生共同抽象概括出平方差公式，发挥教师的主导作用，学生的主体作用，培养学生抽象概括能力。

第

1 页

概括出它们的共同结构：“两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方之差.”

它就是整式乘法的一个乘法公式——平方差公式（formula for the difference of squares）：

(ab)(ab)a2b2.

教师

引导

（1）(pq)(pq)；（2）(3x2)(3x2)；

学生

以数

11（3）(xy)(xy)；

的眼

22

光去

（四）

（4）(bac)(acb). 看式

子，

分析：引导学生识别出它们都是两个数进行

公式

运用

的和与这两个数的差的乘积的形式。

分析

讲解

约

练习：第153页的练习第1题.

10分1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当

钟

教师

怎样改正？

引导

（1）(x2)(x2)x22；

(3a2)(3a2)(3a)2229a24.

2. 10397?

教师

（五）

解：103×97 引导

速算

讲解

（100-3）

王的

=（100+3）

秘密

=

100232

解

=9991.

惑

传

道

约

1分钟

例1

运用平方差公式计算：

第

2 页

学生

思考

识别

解决

问题

学生

思考

回答

问题

学生

听讲

思考

1. 根据变式理论，设计了不同形式类型的典型例题，强化平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性。

2.这组练习主要是要考察学生有没有掌握平方差公式的结构。

呼应“速算王的‘绝招’”这一部分，解答学生心中的疑惑，弥合学生心中的“缺口”，让他们体会到平方差公式的威力。

（六）

意犹

未尽

约

8分钟

课堂练习: P153练习第2题

2.运用平方差公式计算：

（1）(a3b)(a3b)；

（2）(32a)(32a)；

（3）5149；

（4）(3x4)(3x4)(2x3)(3x2).

教师

巡视

观察

进行

个别

辅导

学生

自己

思考

做题

有人说，数学只是一些枯燥的公式、规定，

教师

没有什么实际意义！请问数学真的没有什么引导

分析

实际意义吗？

请看下面的问题：

讲解

1.几何解释：

演示

(七) （1）请表示图(1)中阴影部分的面积.

（2）将阴影部分拼成了一个长方形（图2），

数学这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示

是

出它的面积吗？

什么

（3）比较前两问的结果，你有什么发现?

a

a

b

约

ab

8分钟

a

a

b

b

b

b

ab

（1） （2）

S阴(ab)(ab).

S阴a2b2,

(ab)(ab)a2b2.

学生

观察

思考

领悟

根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设计该练习，以巩固所学。可以让学生接触不同形式的问题，建立起以数的眼光看式子的整体观念，进一步强化平方差公式的本质，即：结构的不变性，字母的可变性。

新课标提出的三维目标中包括情感态度价值观目标。

设计几何解释，目的是使学生看到数学中的公式反映了实际问题中的客观关系，是看得见摸得着的，纠正

“数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际的意义。”这样的偏见。

第

3 页

还有人说，学了数学没有用！果真如此吗？

请看

2. 问题解决

宏业住宅小区的花园，起初被设计为边长

教师

引导

为a米的正方形，后因道路的原因，设计修改分析

为：北边往南平移2.5米，而东边往东平移讲解

演示

2.5米. 试问修改后的花园面积和原先设计

的花园面积相差多少？

解：如图（1），原花园的面积Sa2.

（1） （2）

修改后的花园如图（2）所示，其面积

22S后(a2.5)(a2.5)a2.5.

2222所以，).

SS后a(a2.5)2.56.25(m²

答：修改后的花园面积比修改前少了6.25平

方米.

（1）结构是稳定不变的，即：只要是两个数教师

（八）

引导

的和与这两个数的差的乘积，就一定等于这总结

画龙

两个数的平方之差.

点睛

（2）公式中的字母a和b却可以变脸！可以

是其它字母，可以是正数，也可以是负数；

约

4分钟

可以是单项式，也可以多项式.

2.我们为什么要学***方差公式，学了它我

们能做什么呢？

学生

听讲

思考

观察

设计问题解决的目的，一是培养学生的问题解决能力；二是使学生知道，学了数学公式，可以用来解决实际问题，从而体会到数学的应用价值，并构建起正确的数学观。

(ab)(ab)a2b2.

1.平方差公式的本质：

学生

思考

体会

让学生看到公式的本质所在，能突破公式字面意义的局限性，建立起较高层次的有意义条件反射，而不是机械的记忆公式。

第

4 页

式，可以进行简便、快速运算.

计算：(abc)(abc)?

教师

解：

启发

(abc)(abc)学生

以数

abcabc

的眼

(ab)2c2.光看

2那么如何计算(ab)?也就是说，如何计算字母

式子

两数和的完全平方呢？让我们共同期待下一在进行某些乘法运算时，利用平方差公次数学课的到来！

（九）

牛刀

小试

即

布置

家庭

作业

家庭作业: P156 1. 牛刀小试

运用平方差公式计算：

22（1）(xy)(xy)；（2）(xy1)(xy1)；

33（3）(2a3b)(3b2a)；（4）(2b5)(2b5)；

（5）20011999；（6）9981002. 2. 数学探究——等周问题

宏业住宅小区的花园，起初被设计为边长

为a米的正方形，后因道路的原因，设计修改

教师

布置

作业

教师

解释

问题

学生

识别

出这

是

两数

和与

两数

差的

乘积

的结

构

学生

认真

纪录

学生

思考

问题

点明学***方差公式的必要性。

进一步化解“结构的稳定性，字母的可变性”这一难点，并为下一节内容的学习埋下伏笔。

由浅入深的练习和灵活的变式练习，能够强化本节课所学知识。

该环节为学生提供更大的思维发展空间，是把课内知识延伸到课外，用所学的平方差公式解决“等周问题”，以培养学生的问题解决能力和数学探究能力。

约

为：北边往南平移x(xa)米，而西边往西平1分钟

移x米. 试问：

（1）修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？

（2）上述两种设计的面积之差与x的大小有什么关系？

（3）在周长为定值4a的矩形中，什么时候其面积最大？

（4）计算周长均为4a的圆的面积，正六边形的面积。由此你有什么新的发现？

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