本章复习与测试第一课时导学案

第2节

匀变速直线运动的规律

,

(1)匀变速直线运动是加速度均匀变化的运动。(×) (2)匀加速直线运动是速度均匀变化的直线运动。(√) (3)匀加速直线运动的位移是均匀增大的。(×) (4)在匀变速直线运动中，中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。(√) (5)物体由某高度由静止下落一定做自由落体运动。(×) (6)做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度的变化量的方向是向下的。(√) (7)竖直上抛运动的速度为负值时，位移也为负值。(×) ◎物理学史判断

(1)亚里士多德认为物体越重下落越快。(√) (2)伽利略从理论和实验两个角度证明了轻、重物体下落一样快。(√)

1．匀变速直线运动的速度公式、位移公式和速度位移关系式均为矢量表达式，应用公式解题时应注意选取正方向，代入“＋”“－”。

2．在竖直上抛运动中，若取初速度方向为正方向，加速度为负值，当物体落至抛出点下方时，位移也为负值。

3．解题中常用到的二级结论：

(1)在匀变速直线运动中，中间时刻的速度一定小于位移中点的速度。

(2)在“刹车”问题中要注意汽车从刹车到停止的时间t0与题干所给时间的大小关系。

突破点(一)

匀变速直线运动的基本规律

[典例]

(2018·商丘五校联考)如图所示，水平地面O点的正上方的装置M每隔相等的时间由静止

释放一小球，当某小球离开M的同时，O点右侧一长为L＝1.2 m的平板车开始以a＝6.0 m/s2的恒定加速度从静止开始向左运动，该小球恰好落在平板车的左端，已知平板车上表面距离M的竖直高度为h＝0.45 m。忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。

(1)求小车左端离O点的水平距离；

(2)若至少有2个小球落在平板车上，则释放小球的时间间隔Δt应满足什么条件？

[审题指导]

第一步：抓关键点

关键点

由静止释放一小球

忽略空气阻力

平板车以恒定加速度从静止开始向左运动

该小球恰好落在平板车的左端

第二步：找突破口

1(1)小球下落的时间t0可由h＝gt02求得。

2(2)小车左端离O点的水平距离等于t0时间内小车的水平位移x。

小车做初速度为零的匀加速直线运动

在小球自由落体的时间内，小车的左端恰好运动到O点

获取信息

小球做自由落体运动

(3)要使第二个小球能落入平板车上，小车在t0＋Δt时间内的位移应不大于x＋L。

[解析]

(1)设小球自由下落至平板车上表面处历时t0，在该时间段内由运动学公式

1对小球有：h＝gt02 21对平板车有：x＝at02 2由①②式并代入数据可得：x＝0.27 m。

(2)从释放第一个小球至第二个小球下落到平板车上表面处历时Δt＋t0，设平板车在该时1间段内的位移为x1，由运动学公式有：x1＝a(Δt＋t0)2 ③

2至少有2个小球落在平板车上须满足：x1≤x＋L ④

由①～④式并代入数据可得：Δt≤0.4 s。

[答案]

(1)0.27 m

(2)Δt≤0.4 s [方法规律]

匀变速直线运动的求解思路和注意问题

(1)解题的基本思路

画过程判断运

选取选用公式解方程并→→→→

示意图动性质正方向列方程加以讨论(2)应注意的两个问题

①如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带。

②公式的矢量性

①

②

[集训冲关]

1．(2018·德阳一诊)一质点沿直线运动，其平均速度与时间的关系满足v＝2＋t(各物理量均选用国际单位制中单位)，则关于该质点的运动，下列说法正确的是(

) A．质点可能做匀减速直线运动

B．5 s内质点的位移为35 m C．质点运动的加速度为1 m/s2

D．质点3 s末的速度为5 m/s

x1解析：选B

根据平均速度v＝知，x＝vt＝2t＋t2，根据x＝v0t＋at2＝2t＋t2知，质点t2的初速度v0＝2 m/s，加速度a＝2 m/s2，质点做匀加速直线运动，故A、C错误；5 s内质点11的位移x＝v0t＋at2＝2×5 m＋×2×25 m＝35 m，故B正确；质点在3 s末的速度v＝v022＋at＝2 m/s＋2×3 m/s＝8 m/s，故D错误。

2.(2018·运城期末)如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于(

) A．1∶1

C．1∶3

B．1∶2

D．1∶4 22vB2vC2解析：选C

根据匀变速直线运动的速度位移公式v－v0＝2ax知，xAB＝，x＝，2aAC2a所以AB∶AC＝1∶4，则AB∶BC＝1∶3。故C正确，A、B、D错误。

3．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，看到前方有障碍物立即刹车(反应时间不计)，刹车后加速度大小为5 m/s2，则汽车刹车后第2 s内的位移和刹车后5 s内的位移为(

) A．30 m,40 m

C．12.5 m,40 m

B．30 m,37.5 m

D．12.5 m,37.5 m 解析：选C

由v＝v0＋at，可求得汽车刹车后运动的时间t＝4 s，刹车后第2 s内位移11x2＝20×2－×5×22 m－20×1－×5×12 m＝12.5 m。刹车后5 s内位移等于4 s内的位移，2211可看成初速度为0的反向匀加速直线运动，x5＝at2＝×5×42 m＝40 m。故C正确。

22突破点(二)

解决匀变速直线运动的常用方法

方法

基本公式法

解读

基本公式指速度公式、位移公式及速度位移关系式，它们均是矢量式，使用时要规定正方向

x(1)定义式v＝适用于任何性质的运动

ttv0＋v(2)v＝v＝只适用于匀变速直线运动

22匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即Δx＝aT2，xm－xn＝(m－n)·aT2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔，应优先考虑用位移差公式求解

初速度或末速度为零的匀变速直线运动问题，可以考虑用比例法快速解答

平均速度法

推论法(位移差公式)

比例法

图像法

应用v -t图像，可把较复杂的问题转变为较为简单的数学问题，尤其是用图像进行定性分析，可避开繁杂的计算，快速得出答案

[题点全练]

1．[平均速度法](2016·上海高考)物体做匀加速直线运动，相继经过两段距离为16 m的路程，第一段用时4 s，第二段用时2 s，则物体的加速度是(

) 2A.

m/s2

38C.

m/s2

94B.

m/s2

316D.

m/s2

9t解析：选B

根据题意，物体做匀加速直线运动，t时间内的平均速度等于时刻的瞬时2速度，在第一段内中间时刻的瞬时速度为：v1＝v1＝16

m/s＝4 m/s；在第二段内中间时刻4v2－v18－4164的瞬时速度为：v2＝v2＝

m/s＝8 m/s；则物体加速度为：a＝t＝

m/s2＝

m/s2，233故选项B正确。

2．[推论法](2018·成都月考)一小球沿斜面匀加速滑下，依次经过A、B、C三点，已知AB＝6 m，BC＝10 m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s，则小球经过A、B、C三点时的速度大小分别是(

) A．2 m/s,3 m/s,4 m/s

C．3 m/s,4 m/s,5 m/s

B．2 m/s,4 m/s,6 m/s

D．3 m/s,5 m/s,7 m/s 解析：选B

根据物体做匀加速直线运动的特点，两点之间的平均速度等于时间中点的AB＋BC瞬时速度，故B点的速度就是全程的平均速度，vB＝＝4 m/s，又因为连续相等时间2t内的位移之差等于恒量，即Δx＝at2，则由Δx＝BC－AB＝at2，解得a＝1 m/s2，再由速度公式v＝v0＋at，解得vA＝2 m/s，vC＝6 m/s，故选项B正确。

3．[图像法]火车甲以速率v1向前行驶，司机突然发现正前方同一直轨道上相距s0处另有一辆火车乙，正沿相同方向以较小速率v2做匀速运动，于是他立即使火车甲以加速度a做匀减速运动，要使两车不相撞，a应满足什么条件？

解析：设从火车甲减速开始计时，甲做匀减速运动，乙做匀速运动，二者速度的表达式分别为v甲＝v1－at和v乙＝v2。两车的v-t图像如图所示：

当两车速度相等时，两图线分别与坐标轴所包围的面积的差为Δs，若Δs

v1－v2v1－v22Δs＝t＝，结合Δs

22av1－v22解得：a>。

2s0v1－v22答案：a>

2s0

突破点(三)

自由落体和竖直上抛运动

1．求解自由落体运动的两点注意

(1)可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题。

①从运动开始连续相等时间内的下落高度之比为1∶3∶5∶7∶…

hv1②从运动开始一段时间内的平均速度v＝t＝＝gt

22③连续相等时间T内的下落高度之差Δh＝gT2

(2)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。

2．研究竖直上抛运动的两种方法

(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。

(2)全程法：将全过程视为初速度为v0，加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。

3．用好竖直上抛运动的三个对称

①物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等，时间对称

v0即t上＝t下＝g

②物体在上升过程中某两点之间所用的时间与下降过程中该两点之间所用的时间相等

速度对称

①物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反

②物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反

竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等

能量对称

[典例]

(2018·湖北省重点中学联考)如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m

处圆筒AB，圆筒AB长为5

m，取g＝10 m/s2，求：

(1)木杆经过圆筒的上端A所用的时间t1是多少？

(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2是多少？

[审题指导]

(1)结合题图可知，从木杆下端平齐圆筒的上端A到木杆上端平齐圆筒的上端A所用的时间即为t1。

(2)从木杆下端平齐圆筒的上端A到木杆上端平齐圆筒的下端B所用的时间即为t2。

[解析]

(1)木杆由静止开始做自由落体运动，木杆的下端到达圆筒上端A用时t2h下A＝

g2×15

s＝3 s 10下A＝

木杆的上端到达圆筒上端A用时

t上A＝

2h上A＝

g2×20

s＝2 s 10则木杆通过圆筒上端A所用的时间

t1＝t上A－t下A＝(2－3)s。

(2)木杆的下端到达圆筒上端A用时

t下A＝

2h下Ag＝

2×15

s＝3 s 10木杆的上端离开圆筒下端B用时

t上B＝

2h上Bg＝

2×25

s＝5 s 10则木杆通过圆筒所用的时间t2＝t上B

－t下A＝(5－3)s。

[答案]

(1)(2－3)s

(2)(5－3)s [易错提醒]

在计算杆通过圆筒的时间时，既不能将杆视为质点，又不能将圆筒视为质点，此时要注意确定杆通过圆筒的开始和终止时刻之间所对应的下落高度。

[集训冲关]

1．(2014·上海高考)在离地高h处，沿竖直方向同时向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v，不计空气阻力，两球落地的时间差为(

) 2vv2hhA.

B.

C.

D.

ggvv解析：选A

根据竖直上抛运动的对称性，可知向上抛出的小球落回到出发点时的速度大小也是v，之后的运动与竖直下抛的小球运动情况相同。因此上抛的小球比下抛的小球多运动的时间为：t＝－v－v2v＝g，A项正确。

－g

2.如图所示，将一小球以10 m/s的初速度在某高台边沿竖直上抛，不计空气阻力，取抛出点为坐标原点，向上为坐标轴正方向，g取10 m/s2。则3 s内小球运动的(

) A．路程为25 m B．位移为15 m C．速度改变量为30 m/s D．平均速度为5 m/s 1解析：选A

应用全程法求解位移，由x＝v0t－gt2得位移x＝－15 m，B错误；平均2x速度v＝＝－5 m/s，D错误；小球竖直上抛，由v＝v0－gt得速度的改变量Δv＝v－v0＝－tv021gt＝－30 m/s，C错误；上升阶段通过路程x1＝2g＝5 m，下降阶段通过的路程x2＝2gt22，v0t2＝t－g＝2 s，解得x2＝20 m，所以3 s内小球运动的路程为x1＋x2＝25 m，A正确。

3．(2018·哈尔滨检测)甲球从离地面H高处从静止开始自由下落，同时使乙球从甲球的H正下方地面处做竖直上抛运动。欲使乙球上升到n处与甲球相撞，则乙球上抛的初速度应为(

) A. C. gH

2n－1gH

2nB. D. ngH

2n－1ngH

2n＋1HH11解析：选B

由竖直上抛运动规律知n＝v0t－gt2，由自由落体运动规律知H－n＝gt2，22H联立可得t＝，v0＝v0ngH，B对。

2n－1突破点(四)

利用转换研究对象法巧解多物体的匀变速直线运动

在运动学问题的解题过程中，若多个物体所参与的运动规律完全相同，可将多个物体的运动转换为一个物体的连续运动，解答过程将变得简单明了。

[典例]

(2018·淮南模拟)如图所示，一杂技演员用一只手抛球、接球，他每隔0.4 s抛出一球，接到球便立即把球抛出。已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个球，将球的运动近似看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛球点算起，取g＝10 m/s2)(

) A．1.6 m

B．2.4 m

C．3.2 m

D．4.0 m [方法点拨]

将4个小球依次抛出后均做相同的竖直上抛运动，但同时研究4个小球的运动比较复杂，将4个小球的运动转换为一个小球所做的连续运动，小球每隔0.4 s对应的位置，对应各小球在同一时刻的不同位置，问题便能迎刃而解。

[解析]

由题图所示的情形可以看出，四个小球在空中的位置与一个小球抛出后每隔0.4 s对应的位置是相同的，因此可知小球抛出后到达最高点和从最高点落回抛出点的时间均为1t＝0.8 s，故有Hm＝gt2＝3.2 m，C正确。

2[答案]

C

[集训冲关]

1.(2018·南通期末)科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(取g＝10 m/s2)(

) A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tAB＜tBC＜tCD

B．闪光的间隔时间是2

s 10AB∶C．水滴在相邻两点间的平均速度满足vvBC∶vCD＝1∶4∶9 D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5 解析：选B

由题图可知AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，水滴做初速度为零的匀加速直1线运动，由题意知水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等，A错误；由h＝gt2可2得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为x由v＝t知水滴在相邻两点间的平均速度满足v22

s，即闪光的间隔时间是

s，B正确；1010AB∶vBC∶vCD＝1∶3∶5，C错误；由v＝gt知水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，D错误。

2．从斜面上某一位置每隔0.1 s 释放一颗小球，在连续释放几颗后，对斜面上正在运动着的小球拍下部分照片，如图所示。现测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm，已知小球在斜面上做匀加速直线运动，且加速度大小相同。

(1)求小球的加速度。

(2)求拍摄时B球的速度。

(3)C、D两球相距多远？

(4)A球上面正在运动着的小球共有几颗？

解析：(1)由Δx＝aT2得

a＝ΔxxBC－xAB0.20－0.15＝

m/s2＝5 m/s2。

2＝22TT0.1xAB＋xBC0.15＋0.20＝

m/s＝1.75 m/s。

2T2×0.1(2)vB＝(3)由Δx＝xCD－xBC＝xBC－xAB得

xCD＝xBC＋(xBC－xAB)＝20 cm＋5 cm＝25 cm。

(4)小球B从开始运动到题图所示位置所需的时间为

tB＝vB1.75＝

s＝0.35 s a5则B球上面正在运动着的小球共有3颗，A球上面正在运动着的小球共有2颗。

答案：(1)5 m/s2

(2)1.75 m/s

(3)25 cm

(4)2颗

“形异质同”类问题——练比较思维

“形异质同”和“形同质异”

题目做得多了，会遇到一类遵循的物理规律相同，但提供的物理情景新颖、信息陌生、物理过程独特的问题，对这类问题同学们往往感觉难度大，无从下手。其实这类问题看似陌生，实则与我们平时练习的题目同根同源，只不过是命题人巧加“改头换面”而已，这类问题我们称之为形异质同。

另外，平时做题时还会遇到一类物理情景比较熟悉，物理过程似曾相识的问题，对于这类问题，又往往因审题不严、惯性思维，不注意题中所给条件的细微区别，而解答失误。这类问题我们称之为形同质异。

无论是“形异质同”还是“形同质异”，都是命题人常采用的命题手段之一，为引起同学们对此类问题的重视，本书创编此栏目，旨在让同学们在平时的训练中，多比较、多总结，不再因无谓失分而遗憾。

下面列举两类匀变速直线运动中的“形异质同”问题。

(一)水平刹车与沿粗糙斜面上滑

1．(2018·河南豫东、豫北十所名校联考)汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是x＝24t－6t2，则它在前3 s内的平均速度为(

) A．6 m/s

B．8 m/s

C．10 m/s

D．12 m/s 1解析：选B

将题目中的表达式与x＝v0t＋at2比较可知：v0＝24 m/s，a＝－12 m/s2。2

所以由v＝v0＋at可得汽车从刹车到静止的时间为t＝0－24

s＝2 s，由此可知第3 s内汽车已－12x24经停止，汽车运动的位移x＝24×2 m－6×22 m＝24 m，故平均速度v＝t＝

m/s＝8 m/s。

32.[多选](2018·南昌调研)如图所示，木板与水平地面间的夹角θ＝30°，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑。若让该小木块从木板的底端以初速度v0＝10 m/s沿木板向上运动，取g＝10 m/s2。则以下结论正确的是(

) A．小木块与木板间的动摩擦因数为3

3B．小木块经t＝2 s沿木板滑到最高点

C．小木块在t＝2 s时速度大小为10 m/s，方向沿木板向下

D．小木块滑到最高点后将静止不动

解析：选AD

小木块恰好匀速下滑时，mgsin 30°＝μmgcos 30°，可得μ＝3，A正确；3小木块沿木板上滑过程中，由牛顿第二定律可得：mgsin 30°＋μmgcos 30°＝ma，可得小木块v0上滑过程中匀减速的加速度a＝10 m/s2，故小木块上滑的时间t上＝a＝1 s，小木块速度减为零时，有：mgsin 30°＝μmgcos 30°，故小木块将静止在最高点，D正确，B、C错误。

[反思领悟]

汽车在水平路面上的刹车问题和物体沿粗糙斜面上滑问题，表面上看是两种不同的问题，但是，若物体在斜面上满足mgsin θ≤μmgcos θ，则物体的运动规律与汽车在水平路面上的刹车问题是相同的。

(二)竖直上抛运动与沿光滑斜面上滑

3．一物体自空中的A点以一定的初速度竖直向上抛出，3 s后物体的速率变为10 m/s，则关于物体此时的位置和速度方向的说法可能正确的是(不计空气阻力，g＝10 m/s2)(

) A．在A点上方15 m处，速度方向竖直向上

B．在A点下方15 m处，速度方向竖直向下

C．在A点上方75 m处，速度方向竖直向上

D．在A点上方75 m处，速度方向竖直向下

解析：选C

若此时物体的速度方向竖直向上，由竖直上抛运动公式v＝v0－gt，物体t的初速度为v0＝v＋gt＝40 m/s，物体的位移为h1＝(v0＋v)＝75 m，物体在A点的上方，C2正确，D错误；若此时速度的方向竖直向下，物体的初速度v0′＝－v＋gt＝20 m/s，物体的t位移为h2＝(v0′－v)＝15 m，物体仍然在A点的上方，A、B错误。

2

4．在足够长的光滑斜面上，有一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动，如果物体的加速度始终为5 m/s2，方向沿斜面向下。那么经过3 s时的速度大小和方向是(

) A．25 m/s，沿斜面向上

C．5 m/s，沿斜面向上

B．5 m/s，沿斜面向下

D．25 m/s，沿斜面向下

解析：选B

取初速度方向为正方向，则v0＝10

m/s，a＝－5 m/s2，由v＝v0＋at可得，当t＝3 s时，v＝－5 m/s，“－”表示物体在t＝3 s时速度方向沿斜面向下，故B选项正确。

[反思领悟]

物体沿光滑斜面上滑时先做匀减速运动再反向做匀加速运动，且加速度的大小和方向均相同，其运动规律与竖直上抛运动规律相同。