多边形的外角和课件配套优秀教案设计

11.3.2 多边形的内角和（多边形的外角和）

(第二课时) 备课人：（英吉沙县鲁英中学教师

：玉苏普江）

三维目标

一、知识与技能

掌握多边形的内角和公式，并能运用．

二、过程与方法

1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理能力，•养成主动探究的习惯．

2．能运用多边形内角和公式解决问题．

三、情感态度与价值观

1．通过师生的共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神．

2．通过运用内角和公式解决问题，使学生认识到数学来源于实践，•又反过来作用于实践的观点．

教学重点

多边形内角和与外角和定理．

教学难点

多边形内角和公式的推导．

教具准备

投影片四张，PPT课件，三角尺

第一张（记作7．3．2A）；第二张（记作7．3．2B）；第三张（记作7．3．2C）；第四张（记作7．3．2D）．

教学过程

一、创设问题情境，导入新课

我们知道三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°，那么其他四边形的内角和等于多少？如图7．3-6•中的这两个漂亮的多边形的内角和又是多少呢？相信在本节课结束时，大家都会轻而易举地作出回答．

二、动手试一试，你会有收获

活动1

问题：

- 1 -

任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．再画几个四边形，•量一量、算一算．你能得出什么结论？能否利用三角形内角和等于180•°得出这个结论？

设计意图：

通过学生自己动手操作，让他们积极参加数学活动，主动思考、合作交流的“做数学”过程，让学生亲身体验数学发现的过程，增强动手能力、主动思考的能力．

师生活动：

生：任意一个四边形，它的四个内角和都为360°．

我们可以利用上节课学过的知识来解决．

如图7．3-7，画出任意一个四边形的一条对角线，•都能将这个四边形分为两个三角形．这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360•°．

（出示投影片7．3．2A）

问题：

从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察7．3-8，•请填空：

•

•

•从五边形的一个顶点出发，•可以引_______•条对角线，•它们将五边形分为______个三角形，五边形的内角和等于180°×________．

从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为_____•个三角形，六边形的内角和等于180°×_______．

设计意图：

在得出任意四边形的内角和的求法后，再让学生思考五边形、六边形的内角和的求法，旨在让学生能从中找到规律，为后面求n边形的内角和打基础．

师生活动：

生：从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，它们将五边形分成3个三角形、五边形的内角和等于3×180°=540°．

从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，因此六边形的内角和等于4×180°=720°．

师：由此我们可以看出，求多边形的内角和，可以把多边形用对角线分成若干个三角形．利用三角形的内角和求解．而分得的三角形的个数又与从一个顶点引出的对角线的条数有关．

通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？

一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：

- 2 -

从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将n边形分为_____•个三角形，n边形的内角和等于180°×______．

生：从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，它们将n边形分成（n-2）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-2）．

即n边形内角和等于（n-2）·180°·（n是大于等于3的整数）

师：利用刚才的思路，大家猜想一下，还有其他的方法吗？

生：以五边形为例，可以在五边形内部任找一点，如图7．3-9．•把这一点与各个顶点连接起来，把五边形分成五个三角形，这时多了一个周角，因此，五边形的内角和为：5×180°-360°=540°．

师：非常的了不起．

生：老师，我还有别的方法，如图7．3-10可以在五边形的任一条边上取一个点，然后将这个点与各顶点连接，这时五边形被分割成四个三角形，但多了一个平角，所以，五边形的内角和为180°×4-180°=540°．

生：我还有不同方法，如图7．3-11可以在五边形的外部任取一点，将此点与各顶点连接，这时图中共有五个三角形，原五边形的内角和等于4•个三角形的内角和减去最下边一个三角形的内角和，即为4×180°-180°=540°．

师：大家思维敏捷，富有创新精神，很棒，哪位同学来总结一下，如何推导多边形的内角和公式呢？

生：数学中有一个重要的思想是转化思想，即把求多边形的内角和转化为求若干个三角形的内角和，关键是将n边形分割转化为三角形，分割的方法很好，•上面给出了好多方法．因此，可以得出结论：n边形的内角和公式为（n-2）·180°．

尝试反馈

巩固练习

1．一个多边形的每个内角都等于140°，那么这个多边形是几边形？

2．一个多边形有35条对角线，则这个多边形是几边形？

答案：1．九

2．十

- 3 -

活动3

（出示投影片7．3．2C）

【例2】如图7．3-13，在六边形的每个顶点处各取一个外角，•这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？

设计意图：

利用内角和求外角和，从而得出n边形内角和．

师生活动：

师：请大家先分析题意，然后找出解决问题的方法．

生：外角和是指每个顶点处各取一个外角．而每个顶点处的一个外角与它相邻的内角是互为邻补角，因此外角和与内角和之和就是6个平角再减去内角和，•就是外角和．

师：请大家把过程写出来．

生：∵∠1+∠BAF=180°，∠2+∠ABC=180°；

∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°；

∠5+∠DEF=180°，∠6+∠EFA=180°；

∴（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6）+（∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠AFE）=•6×180°=1080°．

∵∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠AFE=（6-2）·180°=720°．

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=1080°-720°=360°．

所以六边形的外角和为360°．

师：如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？

生：还相同．因为三角形、四边形、六边形的外角和都是360°．

生：那也不一定正确，这只能作为猜想，不能作出结论，还要经过证明才行．

师：能证明出来吗？

生：可以．根据刚才的思路，n边形中，•每个顶点处的内角和外角组成一个平角，n个顶点处有n个平角，它们的和是180°n即为多边形的内角和与外角和的和，而内角和为（n-2）·180°，所以外角和应为180°·n-（n-2）·180°=180°．n-n·180°+360°=360°．

师：很好，还有其他的证明方法吗？

生：有．

你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°．

如图7．3-14，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，•再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360•°．

- 4 -

师：前面我们学习了n边形的内角和为（n-2）·180°，外角和为360°，•下面我们作一些巩固练习．

尝试反馈

巩固练习

（出示投影片7．3．2D）

1．一个多边形的内角和等于900°，求它的边数．

2．一个多边形的每一个内角都等于140°，求它的边数．

3．一个多边形的每一个外角都等于40°，求它的边数．

答案：1．7

2．9

3．9

三、课时小结

本节学习了以下主要内容：

1．探索了n边形的内角和公式，外角和公式．

2．学会转化的数学思想方法．

板书设计

11．3．2

多边形的内角和（多边形的外角和）

活动一（探究四边形的内角和）

活动二（探究多边形的内角和）

活动三（探究多边形的外角和）

活动与探究

3．

多边形边数

内角和

外角和

3 180°

360°

4 360°

360°

5 540°

360°

6 720°

360°

8 1080°

360°

9 1800°

360°

- 5 -