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第14讲:全等三角形

一、复习目标

1、理解全等形、全等三角形的定义，掌握全等三角形的性质与判定方法。

2、能正确、恰当选用三角形全等的条件推证三角形全等、角相等、线段相等的问题。

3、理解角平线的性质定理和判定定理。

二、课时安排

1课时

三、复习重难点

1、全等三角形的性质与判定

2、综合运用全等三角形的性质与判定证题

四、教学过程

（一）知识梳理

全等图形及全等三角形

能够完全重合的两个图形就是______

全等图形

全等图形的形状和_______完全相同

全等三角形

能够完全重合的两个三角形就是全等三角形

完全重合有两层含义：

说明

(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等

全等三角形的性质

性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 全等三角形的对应边________ 全等三角形的对应角________ 全等三角形的对应边上的高________ 全等三角形的对应边上的中线________ 全等三角形的对应角平分线________ 全等三角形的判定

1.三条边对应相等的两个三角形全等(简记为SSS) 2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为____ ) 基本判 3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为定方法 ____ ) 4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为____ ) 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为____ )

满足下列条件的三角形是全等三角形： (1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； (2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； 拓展延伸 (3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等； (4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等； (5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等； (6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等 判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中总结 最少要有一组对应边相等 利用“尺规”作三角形的类型

1

2

3

4

5

已知三角形的三边，求作三角形

已知三角形的两边及其夹角，求作三角形

已知三角形的两角及其夹边，求作三角形

已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形

已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形

角平分线的性质与判定

性质 判定 角平分线上的点到角两边的______相等 角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______上

（二）题型、技巧归纳

考点1全等三角形性质与判定的综合应用

技巧归纳：

1．解决全等三角形问题的一般思路：①先用全等三角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件；②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题．即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系；

2．轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等；

3．利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，例如对顶角相等、互余、互补等．

考点2全等三角形开放性问题

技巧归纳：

由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出(有些是推出)两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全等，再去解决其他问题．这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度．

（三）典例精讲

例1 已知：AB＝AE，∠1＝∠2，∠B ＝∠E，求证：BC＝ED.

[解析] 由∠1＝∠2可得：∠EAD＝∠BAC，再有条件AB＝AE，∠B＝∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC＝ED. 证明：∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠BAC＝∠EAD. ∴在△BAC与△EAD中，

∠B＝∠E， AB＝AE，∠BAC＝∠EAD.∴△BAC≌△EAD，∴BC＝ED. 例2 如图在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是________．(不添加

辅助线)

[解析]

由已知可证∠EDC＝∠BDF，又DC＝DB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE＝DF或(CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB)；

解：(1)添加的条件是：DE＝DF(或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等)．

(2)证明：在△BDF和△CDE中，

BD＝CD，∵∠EDC＝∠FDB，

DE＝DF，∴△BDF≌△CDE

（四）归纳小结

本部分内容要求熟练掌握全等形、全等三角形的定义，掌握全等三角形的性质与判定方法。

（五）随堂检测

1、已知：如图19－2，∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB＝DC.

2、在△ABC中，AB＝CD，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；

(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．

3、如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使点A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，为什么？

4、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是(

) A．PO B．PQ C．MO D．MQ

五、板书设计

性质 判定

六、作业布置

全等三角形课时作业

七、教学反思

借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。