构建知识体系和应用教学实录及点评

第二章

整式的加减小结（构建知识体系和应用）

一、思维导图

列式表示数量关系

多项式

单项式

整式

合并同类项

去括号

用字母表示数

整式的加减运算

二、例题

例1.在式子3mn，2mn，p，x2y13a2b，0，，中是单项式的x7有 .是多项式的有 .是整式的有 . 【知识点】整式的相关概念. 3a2bx2y【解题过程】单项式有2mn，p，0，；多项式有3mn，；整73a2bx2y式有2mn，p，0，，3mn，. 7【思路点拨】根据单项式、多项式、整式的相关概念进行判定即可. 3a2bx2yp，【答案】单项式有2mn，0，；多项式有3mn，；整式有2mn，73a2bx2yp，0，，3mn，. 7师追问：书写单项式应注意哪几个问题？单项式的系数和次数分别是什么？哪些是多项式？多项式的次数是多少？哪些又是整式？抓什么特征去判定一个式子是否是整式？

学生举手抢答. 师追问：单项式的系数和次数分别是什么？多项式的次数与项分别是什么？

学生举手抢答. 练习：若3xm5y2与x3yn的和是单项式，求mn.

1

【知识点】同类项的概念．

【解题过程】因为3xm5y2与x3yn的和是单项式，所以m53，n2，所以m2，n2

所以m(2)2=4．

n【思路点拨】根据同类项的定义相同字母的指数相同，从而建立方程，求出m，n的值再代入计算求值.

【答案】4. 师追问：同类项的特征是哪两个相同，哪两个无关？合并同类项的法则是什么？

学生举手抢答. 【设计意图】理解整式的相关概念，熟练判定一个式子是否是单项式、多项式、整式，能确定单项式的系数和次数，多项式的次数.通过老师的提问，学生对同类项的概念和特征进一步加深了认识，提升解决综合型的问题能力. 22（4ab22a2b）例2：（1）已知|a2|（b1）0，求5ab22ab的值. （2）已知x3时，多项式ax3bx5的值是1，求当x3时，ax3bx5的值．

【知识点】整式的化简求值. 【数学思想】整体思想. 2【解题过程】解：（1）由|a2|（b1）0得a2，b1

22222225ab22ab（4ab2ab）=5ab(2ab4ab2ab)

=5ab22a2b4ab22a2b=9ab24a2b

当a2，b1时，原式=92(1)2422(1)=1816=34. （2）由x3时，多项式ax3bx5的值是1,所以27a3b51，即27a3b4, 4）59. 当x3时，ax3bx5= 27a3b5= (27a3b)5（【思路点拨】（1）根据绝对值和平方的非负性求出a和b的值，化简后代入求值即可

（2）把x3和x3分别代入各自的式子里发现，含字母的部分系数的关系是

2

互为相反数的，所以整体代入即可. 【答案】（1）34；（2）9. 22（2xy2yx练习：已知|x1|（求y2）0，2222222）-xy3（xy3xy3）yx（3）的值．

【知识点】整式的化简求值. 2【解题过程】解：x1（y2）0得x1，y2，

2222222222（2x2y2xy2）-（3xy3xy）（3xy3xy）∴=xyxy6xy

当x1，y2时

原式=(1)22(1)226(1)22230．

2【思路点拨】根据x1（y2）0，得出x，y的值，化简后将x，y代入即可．

【答案】-30. 【设计意图】通过例习题的练习，进一步熟练掌握整式的化简求值的一般方法，培养学生的观察能力，体验整体的数学思想. 例3．某超市出售－种商品，其原价为a元，现有三种调价方案：(1)先提价20％，再降价20％；(2)先降价20％.再提价20％；(3)先提价15％，再降价15％.问用这三种方案调价结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？

【知识点】整式表示数量关系. 【解题过程】解：（1）(120%）(120%）a0.96a；（2）（120%）(120%）a0.96a

；

（115%）(115%）a0.9775a．

（3）所以：三种方案调价结果与原价都不一样，且低于原价．（1）（2）一样且低于（3）. 120%）(120%）【思路点拨】（1）最后的价格为：原价（；

（120%）(120%）（2）最后的价格为：原价×；

（115%）(115%）（3）最后的价格为：原价×，把相关数值代入求解后比较即可．

3

解决本题的关键是得到最后价格的等量关系；注意应把原价a当成单位1．

【答案】故答案为：（1）(120%）(120%）a0.96a

；（2）（120%）(120%）a0.96a；

（115%）(115%）a0.9775a . （3）所以，三种方案调价结果与原价都不一样，且低于原价．（1）（2）一样且低于（3）．

练习：一种商品每件成本a元，原来按成本增加22％定出价格，每件售价多少元？现在由于库存积压减价，按原价的85％出售，现售价是多少？还能盈利多少元？

【知识点】列式解决实际问题

1.22a元，现在售价a122%）【解题过程】解：最初的售价= （=1.22a85%1.037a，

每件盈利:1.037a-a0.037a．

答：该商品每件按定价的85%出售后，售价为1.037a元；每件还能盈利0.037a元. 【思路点拨】考查列代数式，得到实际售价的关系式是解决本题的易错点，注意应用最初定价作为桥梁进行解题，难度不大，解题时需要弄清题意，再作答即可. 【答案】0.037a元. 【设计意图】通过例习题的学习，学生理解数式的通性，整式表示数量关系，解决实际问题

三、章末检测题

章末检测题

一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填写在括号中）

1.用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（

）

2223ab）（3ab）（a3b）A.（ B. C.3ab2 D.

【知识点】字母表示数．

2（3ab）【解题过程】解：∵a的3倍与b的差为3a﹣b，∴差的平方为．故选B．

4

【思路点拨】因为a的3倍为3a，与b的差是3ab，所以再把它们的差平方即可．尤其要弄清“平方的差”和“差的平方”的区别．

【答案】B. 2.下列各式中，去括号正确的是（

）

A.2(ab)2ab；B.2(ab)2ab；C.2(ab)2a2b；D.2(ab)2a2b. 【知识点】去括号. 【解题过程】解：A.2(ab)2a2b，故错； B.2(ab)2a2b，故错； C.2(ab)2a2b，故对； D.2(ab)2a2b，故错. 【思路点拨】本题主要考查代数式的去括号，根据去括号法则逐一判定即可. 【答案】C. 3.在下列各式中：12y，，xy3，，8y6，单项式的个数为（

）

x53A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】单项式的概念. 12y【解题过程】解：根据单项式的定义，，xy3不是单项式，，，8y6x53是单项式．

故选C．

【思路点拨】根据单项式的定义来解题．

【答案】C．

4. 下列代数式中：①abc；②中是整式的个数有（

）

A.7个

B.6个 C.5个 D.4个

【知识点】整式的概念. 【解题过程】解：①②③⑤是整式；④⑥是分式．

【思路点拨】整式的有关概念，要能准确的分清什么是整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母，单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有

5 5amy；③mx2nx29；④；⑤x；⑥9．其xn

加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．依据定义即可判断．

【答案】D. 5.在下列各组式子中，不是同类项的是（

）. 5111A.2a3y与ya3； B.x3y与xy3； C.2012与

223201218an. ； D.6an与【知识点】同类项概念. 【解题过程】解：A.是同类项，故本选项错误；B.不是同类项，故本选项正确；

C.是同类项，故本选项错误；D.是同类项，故本选项错误.故选B．

【思路点拨】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项进行判断即可．

【答案】B. 6.下列运算中结果正确的是（

）

A.3a2b5ab

B.5y3y2 C.3x5x8x

D.3x2y2x2yx2y. 【知识点】整式的加减. 【解题过程】解：A.算式中所含字母不同，所以不能合并，故A错误. B.5y3y2y，合并同类项，系数相加字母不变，故B错误. C.3x5x2x，合并同类项，系数相加减，故C错误. D.3x2y2x2yx2y，合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变，故D正确．

故选D．

【思路点拨】①所含字母相同，并且相同字母的指数相同，像这样的项是同类项；②合并同类项，系数相加字母不变；③、④合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变．

【答案】D 7. 若3xm5y2与x3yn的和是单项式，则mn的值为（

）

11A.﹣4 B.4 C. D.

44【知识点】单项式的概念.

6

【解题过程】解：由题意得：3xm5y2与x3yn是同类项，则m53，n2

2（-2）4．

解得m=﹣2，n2，则mn【思路点拨】

和是单项式说明两式可以合并，从而可以判断两式为同类项，根据同类项的相同字母的指数相等可得出m、n的值．

【答案】B. 28.已知x2y5，则（5x2y）（3x2y）-60的值是（

）

A.80 B.10 C.210 D.40 【知识点】整式的化简求值. 【数学思想】整体思想. 【解题过程】解：∵x2y5，∴x2y5，

2（-5）3（-5）-60=1251560=80．故本题选A．

原式=5【思路点拨】先把已知x2y5化为所求代数式中x2y的形式，再把它代入即可．

【答案】A. 9.化简：[x(yz)][(xy)-z]的结果为（

）

A.2y B.2y C.2z D.2z

【知识点】整式的化简. 【解题过程】解：原式=[xyz][xyz]= xyzxyz=2z，故选C．

【思路点拨】先去括号，再合并同类项即可．

【答案】C. 10.为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：

按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（

）

A.26n B.86n C.44n D.8n

【知识点】整式表数量关系.

7

【数学思想】特殊到一般. 【解题过程】解：第n条小鱼需要（26n）根，故选A．

【思路点拨】观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6=8．

【答案】A. 11.某种商品进价为a元，商店将价格提高30%作零售价销售．在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80%）的价格开展促销活动．这时一件该商品的售价为（

）

A.a元

B.0.8a元 C.1.04a元 D.0.92a元

【知识点】整式表示数量关系. a130%）0.8=1.04a元，故选C．

【解题过程】解：依题意可得：（【思路点拨】根据题意列出等量关系，商品的售价=原售价的80%．直接列代数式求值即可．

【答案】C．

12.对于式子10a10b的解释，错误的是（

）

A.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，10h后甲、乙相遇，甲每小时行akm，乙每小时行bkm，则A、B两地的距离为（10a10b）km. B.甲、乙两个工程队分别从A、B两地修路，10个月修完，甲工程队每月修a

km，乙工程队每月修bkm，则A、B两地的距离为（10a10b）km. C.甲型计算器每个a元，乙型计算器每个b元，则买甲、乙两种计算器各10个的总钱数为（10a10b）元. D.两个长方形宽都是10m，长分别为am和bm，则这两个长方形的面积和为（10a10b）m2.

【知识点】字母表示数的含义

【解题过程】解：A.是相遇问题，解释正确，故本选项不符题意；

B.题目没有明确甲工程队从A向B修路，乙工程队从B向A修路，所以，（10a10b）km可以解释为两队一共修路的长度，不能说成是A、B两地的距离，错误，故本选项正确；

C.销售问题，解释正确，故本选项不符题意.

8

D.矩形的面积等于=长×宽，解释正确，故本选项不符题意．

故选B．

【思路点拨】根据代数式与生活实际，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【答案】B. 二、填空题（每小题4分，共24分，将答案填写在对应的横线上））

413. 单项式x2y3的系数是

，次数是

．

5【知识点】单项式的概念. 44【解题过程】解：∵单项式x2y3的数字因数是，字母指数的和为：2+3=5，

554∴此单项式的系数是：，次数是5．

5【思路点拨】根据单项式系数及次数的定义进行解题即可．

4【答案】故答案为：，5．

53214.多项式2x3x2y4x是

次

项式．最高次项的系数y10为

，常数项为

．

【知识点】多项式的有关概念. 【解题过程】解：多项式2x3x2y4x3y210是5次4项式；最高次项的系数为4，常数项为-10，故填：五，四，4，-10 【思路点拨】根据多项式的项和次数定义，知多项式2x3x2y4x3y210共4项，2x，3x2y，4x3y2，﹣10，其中最高次项4x3y2的次数是5；

【答案】五，四，4，-10. 15.三角形的三边长分别为3a，4a，5a，则其周长为

．

【知识点】整式表示数量关系. 【解题过程】解：∵三角形的三边长分别为3a，4a，5a，

∴其周长为3a +4a +5a =12a，故答案为12a．

【思路点拨】三角形的周长=三边长相加，把相关数值代入化简即可．

【答案】12a. 516.若ab5，ab3，则(7a4bab)6(baab)= ．

6

9

【知识点】整式的化简求值

【数学思想】整体思想

【解题过程】解：原式=7a4bab5b6a6ab= ab7ab，

当ab5，ab3时，原式52126，故答案为：26．

【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，将ab与ab的值整体代入计算即可求出值．

【答案】26．

17.如果某市去年销售汽车m辆，预测今年的销售量比去年增加a%，那么今年可销售汽车

辆．

【知识点】整式表示数量关系. 【解题过程】解：由题意得今年汽车的销售量为：(1a%)m，故答案为：(1a%)m．

【思路点拨】今年的销售量比去年增加a%，则增加了a%m辆，再用去年的销售量加上今年增加的辆数即可．

【答案】(1a%)m. 18.组数据为x，-2x2，4x3，-8x4，…，观察其规律，推断其n个数据为

. 【知识点】整式表示规律问题中数量关系. 1-112-12313（-2）x，2x2（-2）x，4x3（-2）x，则n个【解题过程】解：（1）xn-1n（-2）x. 数据为：【思路点拨】根据观察各个单项式系数和字母的指数的变化规律解题即可．

n-1n（-2）x. 【答案】三、解答题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）

2x3x21）-（32x2x2）19.化简：（．

【知识点】整式的化简. 【解题过程】

-（6x23x6）原式（=2x6x22）=2x6x226x23x6=12x25x8．

10

【思路点拨】先将括号外边的数字因式利用乘法分配律乘到括号里边，然后利用去括号法则去括号后，合并同类项即可得到结果．

【答案】12x25x8. 20.化简求值：-(x23x)2(4xx2)，其中x2．

【知识点】整式的化简求值

【解题过程】解：原式=x23x8x2x2 =x25x. （-2）6．

当x2时，原式45【思路点拨】先将原式去括号、合并同类项，再把x2代入化简后的式子，计算即可．

【答案】x25x，-6. 四、解答题：（本大题共4个小题，共40分）解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

21.先化简，再求值：

1252ab）-（26a2b2）（4a3b）若(3b﹣的值．

6）|2ab3|0，求（2【知识点】整式的化简求值. 19【解题过程】解：原式=10a5b12a4b44a3b=2a4b，

222∵（3b6）|2ab3|0，∴3b60，2ab30，

解得：a2.5，b2，则原式=5﹣8﹣915=．

22【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．

【答案】15. 23x25x32ab12522.规定adbc，如14232．若cd34211x25．

3，求【知识点】整式的化简求值. 【数学思想】整体思想.

11

【解题过程】解：∵规定53x252x32ab12adbc，如14232，cd343，

∴原式=53x252x23

（（x23）-2（3x25）=-5）=5x2156x210=11x25=3，

∴11x2352．∴11x25253．

【思路点拨】根据题中所给出的式子列出关于x的式子，再合并同类项即可．

【答案】-3．

23.小明在纸上画了一个三角形．第一边长是a2b，第二边长比第一边长大b2，第三边长比第二边长小2b5，当他求出这个三角形的周长时，发现它一定能被3整除，试判断小明的结论是否正确，并说明理由．

【知识点】整式表示数量关系

【解题过程】解：∵第一边长是a2b，第二边长比第一边长大b2，第三边长比第二边长小2b5，∴第二边长= a2bb2= a3b2，第三边长= a3b22b5= ab7，

∴三角形的周长（a3b﹣2）（ab7）=（a2b）= a2ba3b2ab7=（3a2b3）

3a2b3）∵（是3的倍数，∴它一定能被3整除，小明的结论正确．

【思路点拨】先根据题意得出三角形的周长，再证明此周长是3的倍数即可．

【答案】小明的结论正确．

24.有理数a、b、c在数轴上的点分别对应为A、B、C，其位置如图所示，

化简|c||cbacba|．

【知识点】整式的化简. b＜c＜0＜a，cb＜0，ac＞0，b、c的位置可知，【解题过程】解：∵由数轴上a、ab＜0，

12

∴原式=ccbacab=c．

【思路点拨】先根据数轴上各点的位置判断出a、b、c的大小，判断出bc、ac、ab的符号，再由绝对值的性质把原式进行化简即可．

【答案】c. 五、解答题：（本大题共2个小题，共22分）解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

25. 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如表所示；

月用水量

收费标准（元/吨）

不超过12吨部分

超过12吨不超过18吨部分

超过18吨部分

2.00 2.50 3.00 （1）某户5月份用水x吨（x18），则交水费为多少元？

（2）若用水28吨，则水费为多少元？

（3）若某户六月份交水费75元，则该用户六月份用水多少吨？

【知识点】整式表示数量关系. 【解题过程】解：（1）由表格可得，某户5月份用水x吨（x18），则交水费为：122（1812）2.5（x18）3=24153x54=3x15，

即某户5月份用水x吨（x18），则交水费为（3x15）元；

（2）当x28时，3x153281569（元），即若用水28吨，则水费为69元．

（3）设该用户用水x吨，则根据题意得122(1812)2.575x18，122(1812)2.5(x18)375即3x1575，解之得：x30

【思路点拨】（1）根据题意和表格中的数据可以用含x的代数式表示出某户5月份用水x吨（x18）所交水费为3x15；（2）将x28代入得到的代数式，即可求得若用水28吨，则水费为多少元；（3）根据题意列出方程3x1575解之即可. 【答案】3x15，69,30. 26.某农户去年承包荒山若干亩，投资7800元改造后，种果树2000棵．今年产量为18000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元．该农户将水果运到市场出售平均每天出售1000千克，需8人帮忙．每人每天付工资25元，农用车运费及其他各项税费平均每天100元．

13

（1）分别用a，b表示两种方式出售水果的收人．

（2）若a1.3，b1.1，且两种出售方式都在相同的时问内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好？

【知识点】整式表示数量关系

【解题过程】解：（1）市场销售的收入为: 18000a18000(258100)780018000a5400780018000a13200；

1000果园销售的收入为：18000b7800；

（2）当a1.3，b1.1时, 市场销售收入为：180001.313200234001320010200元，

果园销售收入为：180001.1780012000元，

12000，

∵10200＜∴选择果园出售利润较高．

【思路点拨】（1）市场销售，用单价乘以销售数量，再减去销售时的费用与人工工资和投资，整理即可得解；

在果园销售，用单价乘以销售数量减去投资即可；

（2）把a、b的值代入进行计算即可进行判断．

7800；【答案】（1）18000a13200，18000b﹣（2）选择果园出售利润较高．

14