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小专题(一) 与三角形的角平分线有关的角度计算

(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)

模型1 两个内角平分线的夹角

方法归纳：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角度数的一半．

1如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，则∠BOC＝90°＋∠A. 2

1．如图，点O是△ABC的∠ABC与∠ACB两个角的平分线的交点，若∠BOC＝118°，则∠A的角度是________°.21教育网

2．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．

(1)∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由；

(2)题(1)中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数；

(3)若∠A＝n°，求∠BOC的度数．

模型2 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角

方法归纳：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半．

1如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACE，则∠BDC＝∠A. 2

3．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠A＝50°，则∠D＝________．

4．如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是x，y轴上的两个动点，∠BAO的平分线与∠ABO的外角平分线相交于点C，在A，B的运动过程中，∠C的度数是一个定值，这个定值为________．

5．(达州中考改编)如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2 014BC和∠A2 014CD的平分线交于点A2 015，求∠A2 015的度数．

模型3 两个外角平分线的夹角

方法归纳：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于90°减去第三角度数的一半．

1如图，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC外角∠EBC、∠FCB的平分线，则∠BDC＝90°－∠A. 2

6．如图，在△ABC中，P点是∠BCE和∠CBF的角平分线的交点，若∠A＝60°，则∠P＝________．

7．一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)

模型4 角平分线与高线的夹角

方法归纳：三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一半．

1如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，则∠EAD＝(∠B－∠C)．(其中∠B＞∠C)

2

8．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠EAD＝10°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线，则∠C的度数为________．

9．如图，△ABC中，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝70°，F为射线AE上一点(不与E点重合)，且FD⊥BC.

(1)若点F与点A重合，如图1，求∠EFD的度数；

(2)若点F在线段AE上(不与点A重合)，如图2，求∠EFD的度数；

(3)若点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD的度数会变化吗？是多少？

10．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝20°，∠C＝60°. (1)求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数；

(2)若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：

当∠B＝30°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________；

当∠B＝50°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________；

当∠B＝60°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________；

当∠B＝70°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________. (3)若∠B和∠C的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．21世纪教育网版权所有

参考答案

1．56 2.（1）∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，

∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴2∠OBC＋2∠OCB＋∠A＝180°. ∵∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°，∴2∠OBC＋2∠OCB＋2∠BOC＝360°

1.∴2∠BOC－∠A＝180°.∴∠BOC＝90°＋∠A.∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，

21∴∠A＝180°－50°－60°＝70°.∴∠BOC＝90°＋×70°＝125°

21.(2)∠BOC＝90°＋∠A＝125°. 21(3)∠BOC＝90°＋n°.

23.25°

4.45°

5.∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，

111∴∠A1＝∠A.同理，得∠A2＝∠A1＝2∠A，…

2221m∴∠A2 015＝2 015∠A＝2 015°.

226.60°

7.锐角

8.65°

9.(1)∵∠B＝40°，∠C＝70°，FD⊥BC，∴∠BAC＝70°，∠CAD＝20°. 1∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝35°.∴∠EFD＝∠CAE－∠CAD＝35°－20°＝15°

2.(2)∵∠CAE＝35°，∠C＝70°，∴∠AEC＝180°－70°－35°＝75°

.∴∠EFD＝180°－90°－75°＝15°

.(3)∵∠DEF＝∠AEC＝75°，∴∠EFD＝180°－75°－90°＝15°.

10.(1)∵∠B＝20°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°. ∵AE是角平分线，∴∠EAC＝50°. ∵AD是高，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝30°. ∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝50°－30°＝20°.∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝70°.

(2)15°

5°

0°

5°

11(3)当α＜β时，∠EAD＝(β－α)，当a＞β时，∠EAD＝(α－β)．

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