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第一章

运动的描述

匀变速直线运动的研究

第1单元

直线运动的基本概念

1、

机械运动：一个物体相对于另一物体位置的改变（平动、转动、直线、曲线、圆周）

参考系、质点、时间和时刻、位移和路程

运动的描述

速度、速率、平均速度

加速度

直线运动的条件：a、v0共线

匀速直线运动

s=vt ，s-t图，（a＝0）

直线运动

vtv0at,sv0t典型的直线运动

匀变速直线运动

规律

v - t图

特例

2vt2v02as,s12at2自由落体（a＝g）

竖直上抛（a＝g）

v0vtt

2参考系：假定为不动的物体

（1）

参考系可以任意选取,一般以地面为参考系

（2）

同一个物体，选择不同的参考系，观察的结果可能不同

（3）

一切物体都在运动，运动是绝对的，而静止是相对的

2、

质点：在研究物体时，不考虑物体的大小和形状，而把物体看成是有质量的点，或者说用一个有质量的点来代替整个物体，这个点叫做质点。

（1）

质点忽略了无关因素和次要因素，是简化出来的理想的、抽象的模型，客观上不存在。

（2）

大的物体不一定不能看成质点，小的物体不一定就能看成质点。

（3）

转动的物体不一定不能看成质点，平动的物体不一定总能看成质点。

（4）

某个物体能否看成质点要看它的大小和形状是否能被忽略以及要求的精确程度。

3、时刻：表示时间坐标轴上的点即为时刻。例如几秒初，几秒末。

时间：前后两时刻之差。时间坐标轴线段表示时间，第n秒至第n+3秒的时间为3秒

（对应于坐标系中的线段）

4、位移：由起点指向终点的有向线段，位移是末位置与始位置之差，是矢量。

路程：物体运动轨迹之长，是标量。路程不等于位移大小

（坐标系中的点、线段和曲线的长度）

5、速度：描述物体运动快慢和运动方向的物理量，

是矢量。

平均速度：在变速直线运动中，运动物体的位移和所用时间的比值，υ=s/t（方向为位移的方向）

平均速率：为质点运动的路程与时间之比,它的大小与相应的平均速度之值可能不相同（粗略描述运动的快慢）

即时速度：对应于某一时刻（或位置）的速度，方向为物体的运动方向。（vlims）

t0t

即时速率：即时速度的大小即为速率；

【例1】物体M从A运动到B，前半程平均速度为v1，后半程平均速度为v2，那么全

程的平均速度是：（

D

）

2v12v22v1v2A．（v1+v2）/2

B．v1v2

C．

D．

v1v2v1v2【例2】某人划船逆流而上，当船经过一桥时，船上一小木块掉在河水里，但一直航行至上游某处时此人才发现，便立即返航追赶，当他返航经过1小时追上小木块时，发现小木块距离桥有5400米远，若此人向上和向下航行时船在静水中前进速率相等。试求河水的流速为多大？

解析：选水为参考系，小木块是静止的；相对水，船以恒定不变的速度运动，到船“追上”小木块，船往返运动的时间相等，各为1 小时；小桥相对水向上游运动，到船“追上”小木块，小桥向上游运动了位移5400m，时间为2小时。易得水的速度为0.75m/s。

6、平动：物体各部分运动情况都相同。

转动：物体各部分都绕圆心作圆周运动。

7、加速度：描述物体速度变化快慢的物理量，a=△v/△t

（又叫速度的变化率），是矢量。a的方向只与△v的方向相同（即与合外力方向相同）。

（1）加速度与速度没有直接关系：加速度很大，速度可以很小、可以很大、也可以为零（某瞬时）；加速度很小，速度可以很小、可以很大、也可以为零（某瞬时）；

（2）加速度与速度的变化量没有直接关系：加速度很大，速度变化量可以很小、也可以很大；加速度很小，速度变化量可以很大、也可以很小。加速度是“变化率”——表示变化的快慢，不表示变化的大小。

（3）当加速度方向与速度方向相同时，物体作加速运动，速度增大；若加速度增大，速度增大得越来越快；若加速度减小，速度增大得越来越慢（仍然增大）。当加速度方向与速度方向相反时，物体作减速运动，速度减小；若加速度增大，速度减小得越来越快；若加速度减小，速度减小得越来越慢（仍然减小）。

8 匀速直线运动和匀变速直线运动

【例3】一物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小为4m/s，经过1s后的速度的大小为10m/s，那么在这1s内，物体的加速度的大小可能为

(6m/s或14m/s) 【例4】关于速度和加速度的关系，下列说法中正确的是（B）

A．速度变化越大，加速度就越大

B．速度变化越快，加速度越大

C．加速度大小不变，速度方向也保持不变

D．加速度大小不断变小，速度大小也不断变小

9、匀速直线运动：vs，即在任意相等的时间内物体的位移相t等．它是速度为恒矢量的运动，加速度为零的直线运动．

匀速s - t图像为一直线：图线的斜率在数值上等于物体的速度。

第2单元

匀变速直线运动规律

匀变速直线运动公式

1．常用公式有以下四个

vtv0at

sv0tvvt122at

vt2v0t

2as

s0222．匀变速直线运动中几个常用的结论

①Δs=aT 2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等。可以推广到sm-sn=(m-n)aT 2

②vt/2v0vts，某段时间的中间时刻的即时速度等于该段时间内的平均速度。

2t

vs/2速度）。

2v0vt2

，某段位移的中间位置的即时速度公式（不等于该段位移内的平均2可以证明，无论匀加速还是匀减速，都有vt/2vs/2。

3．初速度为零（或末速度为零）的匀变速直线运动

做匀变速直线运动的物体，如果初速度为零，或者末速度为零，那么公式都可简化为：

vgt

，

s12vat

，

v22as

，

st

224．初速为零的匀变速直线运动

①前1秒、前2秒、前3秒……内的位移之比为1∶4∶9∶……

②第1秒、第2秒、第3秒……内的位移之比为1∶3∶5∶……

③前1米、前2米、前3米……所用的时间之比为1∶2∶3∶……

④第1米、第2米、第3米……所用的时间之比为1∶21∶（32）∶……

对末速为零的匀变速直线运动，可以相应的运用这些规律。

5．一种典型的运动

经常会遇到这样的问题：物体由静止开始先做匀加速直线运动，紧接着又做匀减速直线运动到静止。用右图描述该过程，可以得出以下结论：

①sv11,t,st

②v1v2vB

aa26、解题方法指导：

解题步骤：

A

B

C

（1）确定研究对象。（2）明确物体作什么运动，并且画出运动示意图。（3）分析研究对象的运动过程及特点，合理选择公式，注意多个运动过程的联系。（4）确定正方向，列方程求解。（5）对结果进行讨论、验算。

解题方法：

（1）公式解析法：假设未知数，建立方程组。本章公式多，且相互联系，一题常有多种解法。要熟记每个公式的特点及相关物理量。

（2）图象法：如用v—t图可以求出某段时间的位移大小、可以比较vt/2与vS/2，以及追及问题。用s—t图可求出任意时间内的平均速度。

（3）比例法：用已知的讨论，用比例的性质求解。

（4）极值法：用二次函数配方求极值，追赶问题用得多。

（5）逆向思维法：如匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动来求解。

综合应用例析

【例1】在光滑的水平面上静止一物体，现以水平恒力甲推此物体，作用一段时间后换成相反方向的水平恒力乙推物体，当恒力乙作用时间与恒力甲的作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的速度为v2，若撤去恒力甲的瞬间物体的速度为v1，则v2∶v1=? 【解析】

a1、s1、t1

a2、s2、t2

ss，而sv1v(v2)t，s1t

得v2∶v1=2∶1 22思考：在例1中，F1、F2大小之比为多少？（答案：1∶3）

【例2】一辆汽车沿平直公路从甲站开往乙站，起动加速度为2m/s2，加速行驶5秒，后匀速行驶2分钟，然后刹车，滑行50m，正好到达乙站，求汽车从甲站到乙站的平均速度？

解析：起动阶段行驶位移为：

匀加速

匀速

匀减速

12s1

s2

s3 s1=at1

……（1）

2甲

t1

t2

t3

乙

匀速行驶的速度为：

v= at1

……（2）

匀速行驶的位移为：

s2 =vt2

……（3）

刹车段的时间为：

s3 =vt3

……（4）

2汽车从甲站到乙站的平均速度为：

v=s1s2s3251200501275m/sm/s9.44m/s

t1t2t3512010135【例3】一物体由斜面顶端由静止开始匀加速下滑，最初的3秒内的位移为s1，最后3秒内的位移为s2，若s2-s1=6米，s1∶s2=3∶7，求斜面的长度为多少？

解析：设斜面长为s，加速度为a，沿斜面下滑的总时间为t

。则：

斜面长：

s = 12

……

( 1)

at21前3秒内的位移：s1 = at12

……（2）

21后3秒内的位移：

s2 =s -a (t-3)2

……

(3) 2s2-s1=6

……

(4)

s1∶s2 = 3∶7 ……

(5) 解（1）—（5）得：a=1m/s2

t= 5s

s=12 . 5m （t-3）s 3s

【例4】物块以v0=4米/秒的速度滑上光滑的斜面，途经A、B两点，已知在A点时的速度是B点时的速度的2倍，由B点再经0.5秒物块滑到斜面顶点C速度变为零，A、B相距0.75米，求斜面的长度及物体由D运动到B的时间？

解析：物块匀减速直线运动。设A点速度为VA、B点速度VB，加速度为a，斜面长为S。

A到B：

vB2 

vA2 =2asAB

……(1)

vA = 2vB

…

…(2) B到C：

0=vB + at0

……..(3)

解（1）（2）（3）得：v=1m/s

a= 2m/s2

2BC D D到C

0 

v0=2as

(4)

s= 4m

从D运动到B的时间：

D到B：

vB =v0+ at1

t1=1.5秒

D到C再回到B：t2 = t1+2t0=1.5+20.5=2.5(s) 【例5】一质点沿AD直线作匀加速直线运动，如图，测得它在AB、BC、CD三段的时间均为t，测得位移AC=L1，BD=L2，试求质点的加速度？

解：设AB=s1、BC=s2、CD=s3

则：

A

B

C

D s2s1=at2

s3s2=at2 两式相加：s3s1=2at2

由图可知：L2L1=（s3+s2）（s2+s1）=s3s1

则：a = L2L1

22t【例6】一质点由A点出发沿直线AB运动，行程的第一部分是加速度为a1的匀加速运动，接着做加速度为a2的匀减速直线运动，抵达B点时恰好静止，如果AB的总长度为s，试求质点走完AB全程所用的时间t？

解：设质点的最大速度为v，前、后两段运动过程及全过程的平均速度相等，均为全过程：

s=v。

2vt

……（1）

2匀加速过程：v = a1t1

……（2）

匀减速过程：v = a2t2

……（3）

由（2）（3）得：t1=vv

t2

代入（1）得：

a1a22sa1a2vvvs = (

)

s=a1a22a1a2将v代入（1）得：

t = 2sv2s2sa1a2a1a22s(a1a2)

a1a2【例7】一个做匀加速直线运动的物体，连续通过两段长为s的位移所用的时间分别为t1、t2，求物体的加速度？

解：方法（1）：设前段位移的初速度为v0，加速度为a，则：

12at1

……（1）

212全过程2s：

2s=v0（t1+t2）+a(t1t2)

……（2）

22s(t1t2)消去v0得：

a =

t1t2(t1t2)前一段s：

s=v0t1 + 方法（2）：设前一段时间t1的中间时刻的瞬时速度为v1,后一段时间t2的中间时刻的瞬时速度为v2。所以：

v1=ttss

……（1）

v2=

……（2）v2=v1+a（12）

……（3）

22t1t212at1

……（1）

2解（1）（2）（3）得相同结果。

方法（3）：设前一段位移的初速度为v0，末速度为v，加速度为a。

前一段s：

s=v0t1 + 后一段s：

s=vt2 +12at2

……（2）

v = v0 + at

……（3）

2解（1）（2）（3）得相同结果。

例8．某航空公司的一架客机，在正常航线上做水平飞行时，突然受到强大的垂直气流的作用，使飞机在10 s内下降高度为1800 m，造成众多乘客和机组人员的伤害事故，如果只研究在竖直方向上的运动，且假设这一运动是匀变速直线运动. （1）求飞机在竖直方向上产生的加速度多大？

（2）试估算成年乘客所系安全带必须提供多大拉力才能使乘客不脱离座椅. 解：由s=122s21800at及：a=2m/s2=36 m/s2. 21000t由牛顿第二定律：F+mg=ma得F=m(a-g)=1560 N,成年乘客的质量可取45 kg~65 kg,因此，F相应的值为1170 N~1690 N

第3单元

自由落体与竖直上抛运动

1、

自由落体运动：物体仅在重力作用下由静止开始下落的运动

重快轻慢”――非也

亚里斯多德――Y 伽利略――――N

（1）特点：只受重力作用，即υ0=0、a=g（由赤道向两极，g增加由地面向高空，g减小一般认为g不变）

（2）运动规律：

V = g t

H = g t2. / 2

V2 = 2 g H 对于自由落体运动，物体下落的时间仅与高度有关，与物体受的重力无关。

（3）符合初速度为零的匀加速直线运动的比例规律

2、

竖直上抛运动：物体上获得竖直向上的初速度υ0后仅在重力作用下的运动。

特点：只受重力作用且与初速度方向反向，以初速方向为正方向则---a=-g 运动规律： （1）

V＝V0－g t

t＝V0 / g （2）

H＝V0 t－g t2 / 2 （3）

V02－V2＝2gH

H＝V02 / 2g

（4）

v

= ( V0 +V) / 2 例：竖直上抛，V0＝100m / s 忽略空气阻力

（1）、多长时间到达最高点？

0＝V0－g t

t＝V0 / g=10秒

500米

理解加速度

（2）、最高能上升多高？（最大高度）

100m/s 0－V02＝－2g H

H= V02/2g＝500米

（3）、回到抛出点用多长时间？

H＝g t2. / 2

t＝10秒

时间对称性

（4）、回到抛出点时速度＝？

V＝g t

V＝100m / s

方向向下

速度大小对称性

（5）、接着下落10秒，速度＝？

v＝100＋10×10＝200m/s

方向向下

（6）、此时的位置？

s＝100×10＋0.5×10×102＝1500米

（7）、理解前10秒、20秒

v（m/s）

30秒

内的位移

100

0

10

20

30

t (s)

－100

－200 结论：时间对称性

速度大小对称性

注意：若物体在上升或下落中还受有恒空气阻力，则物体的运动不再是自由落体和竖直上抛

运动，分别计算上升a上与下降a下的加速度，利用匀变速公式问题同样可以得到解决。

例题分析：

例1、

从距地面125米的高处，每隔相同的时间由静止释放一个小球队，不计空气阻力，2g=10米/秒，当第11个小球刚刚释放时，第1个小球恰好落地，试求：（1）相邻的两个小球开始下落的时间间隔为多大？（2）当第1个小球恰好落地时，第3个小球与第5个小球相距多远？

（拓展）将小球改为长为5米的棒的自由落体，棒在下落过程中不能当质点来处理，但可选棒上某点来研究。

例2、

在距地面25米处竖直上抛一球，第1秒末及第3秒末先后经过抛出点上方15米处，试求：（1）上抛的初速度，距地面的最大高度和第3秒末的速度；（2）从抛出到落地所需的时间（g=10m/s2）

例3、

一竖直发射的火箭在火药燃烧的2S内具有3g的竖直向上加速度，当它从地面点燃发射后，它具有的最大速度为多少？它能上升的最大高度为多少？从发射开始到上升的最大高度所用的时间为多少？（不计空气阻力。G=10m/s2）

第4单元

直线运动的图象

知识要点：

1、

匀速直线运动

对应于实际运动

1、

位移～时间图象，某一时刻的位移

S＝v t ⑴截距的意义：出发点距离标准点的距离和方向

⑵图象水平表示物体静止

斜率绝对值

= v的大小

⑶，交叉点表示两个物体相遇

2、

速度～时间图象，某一时刻的速度

V（某时刻的快慢）

VS

t阴影面积

＝

位移数值（大小）上正下负

2、

匀变速直线运动的速度——时间图象（υ—t图）

at vtv0vtv0at

t

Vt

VO

α

△

V

0

t

(1)

截距表示初速度

(2)

比较速度变化的快慢，即加速度

(3)

交叉点表示速度相等

(4)

面积

= 位移

上正下负

v 【例1】

一个固定在水平面上的光v

q o

p tq

tp t B

p

A q C

滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC。已知AB和AC的长度相同。两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间

A.p小球先到

B.q小球先到

C.两小球同时到

D.无法确定

解：可以利用v-t图象(这里的v是速率，曲线下的面积表示路程s)定性地进行比较。在同一个v-t图象中做出p、q的速率图线，显然开始时q的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率相同，即曲线末端在同一水平图线上。为使路程相同（曲线和横轴所围的面积相同），显然q用的时间较少。

【例2】

两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示)现有两a’

a /只相同小球a和a

同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出l2 v2 口掉出？(假设通过拐角处时无机械能损失)

l1 解析：首先由机械能守恒可以确定拐角处v1> v2，而两小球l1 到达出口时的速率v相等。又由题薏可知两球经历的总路程sv1 相等。由牛顿第二定律，小球的加速度大小a=gsinα，小球al2 第一阶段的加速度跟小球a/第二阶段的加速度大小相同（设为v

/v a1）；小球a第二阶段的加速度跟小球a第一阶段的加速度大小v相同（设为a2），根据图中管的倾斜程度，显然有a1> a2。根据这些物理量大小的分析，在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同（纵坐标相同）。开始时a球曲线的斜率大。由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达（经历时间为t1）则必然有s1>s2，显然不合理。o

t

t1 t2 /考虑到两球末速度大小相等（图中vm），球a

的速度图象只能如蓝线所示。因此有t1< t2，即a球先到。

【例3】一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三点，AB=BC。物体在AB段加速度为a1，在BC段加速度为a2，且物体在B点的速度为vBvAvC，则

2A．a1> a2

B．a1= a2

C．a1< a2

D．不能确定

解析：依题意作出物体的v-t图象，如图所示。图线下方所围成的面积表示物体的位移，由几何知识知图线②、③不满足AB=BC。只能是①这种情况。因为斜率表示加速度，所以a1

【例4】蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心的距离L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。试问蚂蚁从A点爬到距巢中心的距离L2=2m的B点所需的时间为多少？

解析：本题若采用将AB无限分割，每一等分可看作匀速直线运动，然后求和，这一办法原则上可行，实际上很难计算。

题中有一关键条件：蚂蚁运动的速度v与蚂蚁离巢的距离11x成反比，即x，作出x图象如图示，为一条通过原点vv的直线。从图上可以看出梯形ABCD的面积，就是蚂蚁从A到2L21112L1B的时间：T()(L2L1)75s 2v1v22L1v1