多边形的外角和教学设计和教学实录

《多边形的外角和》教学设计

一、【教材内容和内容分析】

1．教学内容

本节课是人教版教材《数学八年级（上）》第十一章三角形第3节第2课时的内容，其教学内容为多边形内角和定理的推导和应用．

2．教学内容分析

“多边形的外角和”是在学习了三角形内角和定理后进一步研究多边形外角和的探究课．就知识的应用价值上来看，本节课内容既是三角形内角和自然延伸，也是进一步探究多边形问题的基础．通过添加辅助线将多边形问题转化为三角形问题解决不仅是探索内角和的关键，而且也是今后解决四边形及多边形问题的通法，是初中学生数学逻辑思维发生、发展的重要环节．通过本课的学习，不仅可以发展学生探索和归纳能力，而且有助于帮助学生进一步体会从简单到复杂、从特殊到一般化归转化的数学思想．就内容的人文价值来看，多边形内角和的探索需要学生猜想、实验、证明、探索，对学生掌握观察、比较、类比、转化、归纳等方法有重要作用，有助于培养学生创新思维和探索精神．

综上所述，本节无论是知识的传承，还是能力的发展、思维训练，都属于“空间与图形”领域中“图形的认识”部分中的重要内容，有着承上启下的重要作用．

二、【教学目标分析】

1．经历“定理”的探究过程，掌握“定理”内容，能用于解决相关数学和实际问题；

2．了解数学问题中“从特殊到一般”的研究方法，培养思维水平的严谨性和全面性；

3．体会转化、类比、化归的数学思想．

三、【教学问题诊断分析】

学生通过对三角形内角和定理和平行四边形性质的学习，初步具备了一定的分析与归纳的能力，为本节课的学习奠定了基础，但是学生对新的数学问题的探究有一定困难. 尤其为什么要转化，怎么把新问题转化为已知问题解决是现阶段学生学习的拦路虎，我班学生从七年级入学开始实行小组合作学习，有很多讲演的机会，能够较好的表达自己的观点，渴望应用所学的知识解决问题，但逻辑推理能力和用数学工具进行探索和归纳的能力还有待进一步提高．而这节课探究性较强，学生探究问题和添加辅助线的经验还不够丰富，本课的学习还可能存在以下困难：

（1）探究四边形的内角和时，在探究三角形内角和的启发下，可能想得到度量法、拼图法，却想不到添加辅助线的方法；

- 1 -

（2）学生在探究五边形、六边形、七边形的内角和时，可能出现从不同的点出发去分割图形，却求不出它的内角和；

（3）学生可能采用不同的方法分别探究出了五边形、六边形、七边形的内角和，却找不到规律，而归纳、猜想不出n边形的内角和如何表示．

教学重点及难点

1.教学重点：体验多边形内角和定理的探究过程，理解定理内容，体会“从特殊到一般”、“化归与转化”的数学思想．

2.教学难点：理解多边形外角和问题的解决为什么要转化，如何转化的思维发生发展过程．

四、【教学支持条件分析】

八年级学生在平行线的性质与判定等有关基础知识，对平面图形的边、角、对角线有初步的了解并能用这些知识解决相关问题．在七年级下期学习了三角形基本性质、三角形内角和定理，对三角形的内角和为180°有较深的理解．在本章学***行四边形相关性质，知道长方形、梯形等特殊四边形的内角和为360°，但对任意四边形的内角和是多少不能严谨的说明．八年级的学生已初步学会了简单的逻辑推理方法，掌握了一些基本的数学思想方法，能在教师的引导下独立地解决一些基本问题．因此在教学中注重运用开放性问题引导，鼓励学生大胆阐述自己的观点，培养学生数学交流能力，理解从特殊到一般的数学方法和转化数学思想．

本节课重、难点解决的方法策略：

（1）由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．一方面，通过学生自主思考和互动研讨，把问题的研究从特殊引向一般，充分经历探究多边形内角和定理的全过程，突出教学重点．另一方面，在定理的推导过程中，注意分析如三角形、特殊四边形等已有模型的特征，通过已有模型的研究、转化和类比，突破教学难点．

（2）采用自主探究教学方法．教师的教法，突出开放性问题的设计与提出，启发学生尽可能的从不同方面思考问题，解决问题，注重思维水平的深刻性；学生的学法，突出合作学习、探究发现，实践与体验．

五、【教学过程设计】

- 2 -

（一）教学流程示意图：

结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：

实践探索

创设情境

产生疑惑

去伪存真

寻求转化

引入新课

（5分钟）

（2分钟）

转化探究

初步解疑

（10分钟）

前后呼应

类比探究

回顾生活

解决问题

（4分钟）

归纳总结

应用新知

归纳拓展

巩固提升

（7分钟）

类比探究

概括公式

（12分钟）

（二）教学过程：

教学

环节

1．

同学们，就像一份快乐，如果两人分享就会得到更多的快乐一样，有的

生活实际大胆的说出通过一个富含哲理的问题，引起学生的认知冲求知欲，为本节课后续的深

思考、反馈，结合突，充分的调动其好奇心和自己的疑惑与想法．

入学习埋下伏笔．

课堂内容、教师活动

学生活动

设计意图

创设事物去掉一部分，剩下的情境

部分反而有可能变的更

大、更多，你们相信吗？提出也许大家还觉得不可思问题

议，可是，今天我们要学

习的多边形的内角和就是一个典型的例子．

- 3 -

2．

每个组的资料盒里都准备了一些长方形的卡用剪刀剪出可能的图形，思考剪出图形的内角和，把计算原理整理在学案相应位置，大胆的讨论、展示自己的剪裁作品，从多方面入手，求出所剪图形的内角和，感受多边形内角和随边数变化而变化的事实．

以一个开放性的数学问题直接进入这节课的主题，让一个看似很容易的问题引起学生的认知冲突和探究兴趣，让学生在自觉或不自觉的状态下把眼光集中在“多边形的内角和”上．通过对长方形的剪裁，认识到多边形内角和会随边数的变化而变化，建立特殊四边形与三角形、五边形的联系，为对多边形进行类比研究打下基础．

实践纸，请取出一张，任意的探索

剪掉一个角，可以有几种

不同的剪法，剪出可能的去伪图形，并思考以下问题：

存真

剪出的图形内角和是多少？你是怎么计算的？结果比原来的长方形内角和增加还是减少了？

剪好的小组请派代表将图形贴在黑板上，准备交流对以上问题的思考．

3．

对于正方形、长方形、转化平行四边形、梯形等特殊探究

的四边形，我们已经能求

得其内角和为360°，但毕在卡纸上画任意四边形，类比三角形内角和的研究方法，对任意四边形的内角和进行多角度思考，寻找不同的解决问题的办法．

初步竟他们都是特殊的四边解惑

形，那对于任意的四边形

能否通过转化求出内角和？

请每个同学都任意画一个四边形，尝试用转化的方法从不同的角度思考求出它的内角和，做好交流准备．

通过画任意四边形求内角和，把研究的对象从特殊引向一般，引导学生把握其内在的规律，渗透转化的数学思想.达成教学目标2:了解“从特殊到一般”的研究方法, 自然的完成本节课难点的突破．

- 4 -

4．

同学们通过不同角度的思考，充分的证明了四

以四边形内角和的研究方法做类比，寻找多边形内角和随边的变化而变化的规律，从不同的角度推导、表示、认识、理解多边形的内角和公式．

以任意四边形内角和的研究方法做类比，继续深化学生对本节课知识的理解，寻找多边形内角和随边的变化而变化的规律，从不同的角度理解多边形的内角和公式．以此进一步锻炼学生分析和解决问题的能力，达成教学目标1:掌握“多边形的内角和定理”，

教学目标3:体会类比、化归的数学思想，实现本节课重难点的第二次突破．这样不仅掌握了公式，而且还总结出了类似数学问题的研究方法，进而完成新知识的建构与内化.

三个练习，层层递进，练习1直接巩固公式，练习2深化边角关系，练习3则注重知识、方法的灵活应用以及分类讨论的数学思想；通过练习强化对多边形内式的目的，进一步优化学生思维，提高能力．

1．掌握了多边形内角请同学分享学完这节的总结进行提炼归纳，渗和公式：(n－2)·180°；

2．转化的思想；

3．由特殊到一般的研究方法；

4．从不同的角度思考同一个问题会有不同的收获．

- 5 - 类比边形内角和为360°，那么探究

五边形、六边形、七边

形，…，甚至n边形的内概括角和又是多少度呢？请大公式

家运用自己学到的办法，

在学案相应位置写出你的结论．教师参与小组探究，倾听学生讨论，组织小组代表汇报探究成果（鼓励学生说出不同分割方法，以便全班共享），总结数学思想和方法．

5．

（1）试求20边形的内角和．

随堂（2）已知一个多边形的每学生尝试练习，用本练习

一个内角都是156°，试求节课学到的多边形内

它的边数．

角和公式解决已知边巩固（3）把一张五边形的纸片数求内角和、已知内边形内角和是多少度？

6．

归纳

总结

课的收获，分享后对学生内化透德育思想．

吸收

提升

剪掉一个角后，得到的多角和求边数等问题．

角和定理掌握．达到掌握公回顾本课学习的知识及应用到的数学思想和数学方法．学生小结，教师补充、提炼，使这节课所学知识系统化，并从感性认识上升到理性认识，渗透德育思想．

从总体而言本课的设计实施思路是：在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．采用“问题驱动”的教学方式，运用问题逐步引导，给学生创造一种具体问题情境、思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中发现问题，解决问题，获取新知识，提高能力，促进思维发展．采用实验探究法、观察发现法、类比教学法等，组织学生自主探究，合作交流．为学生创设情境，从提出问题——实验猜想——转化探究——类比归纳——得出结论——解决问题，让学生经历数学知识的发现、发展和应用过程，突出转化和从特殊到一般的数学思想．使学生成为知识的发现者，让他们在实践中发现知识，再将知识运用于实践，培养学生创新精神和实践能力．

在创设情景中，以蕴含哲理的数学问题抓住学生的兴趣，快速调动学生学习本节课的热情和激情，形成学生愿意参与的心态．在遇到解决问题过程中的困难时，将学生独立思考、自主探究和表达交流结合起来，通过老师由浅入深的“问题驱动”，让学生经历“不会-会-熟-巧”的学习历程，并通过问题的创设形成教师与学生，学生与学生的多向交流、多角思考，促进思维火花不断闪现，激趣效果达成明显．

通过第2，3，4，5教学环节内容的解决，探索求多边形内角和的途径与方法，并从中总结出其核心方法（通法）是把多边形转化为三角形．这几个探索活动从学生已有的关于三角形内角和以及特殊四边形的内角和的知识、经验出发层层递进，从易到难，符合学生的认知规律，得出多边形的内角和，符合学生的认识规律，学生易于接受，由此自觉参加，从学生发现的一些方法上看，学生也能想到度量法，拼图法和转化法．而转化中，添加辅助线是重要的一个手段，而度量法和拼图法都的一定的局限性．

通过增加图形的复杂性，让学生再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解；同时，体会类比的方法．如果有学生采用不同的方法或者预料之外的方法分别探究出了五边形、六边形、七边形的内角和，却找不到规律，而归纳、猜想不出n边形的内角和如何表示，我会指导他们从数的角度去发现规律，或者用同一种较简单的方法去探究．在四边形的基础上，继续探索连续边数的多边形的内角和与边数之间的关系，再由此归纳n边形内角和与边数的关系，这样由特殊到一般地层层推进，突出重点，符合学生的认知特点，有利于学生发现规律，归纳公式．由于采用的方法不同，得出的表达式可能会不同．为体现数学结论的确定性，对于学生采用不同方法得出的不同的表达式，引导学生观察思考，明确几个表达式的实质是一样的．在此过程中，教师充分听取学生的意见，对不同的意见进行总结．

最后，学生回顾、总结，从而养成良好的归纳与总结的习惯．通过课堂小结进一步巩固所学知识，并将知识进行梳理，形成知识体系，感受学习数学的魅力，建立学好数学的自信心，形成良好的自我评价．

- 6 -

总之，本节课我注重学生的过程性评价与结论性评价．过程性评价时，我对学生的问题的分析过程认真倾听，对小组活动的评价不以中心发言人为主，而是对全体组员在研究问题中所起的作用与思维状况进行全面的考查．对结论性评价，不但注重结论的正确与否，同时也对学生回答问题中的思路进行认真的评价．把更多的时间和空间都交给学生，让学生在教师的组织和引导下，充分发挥各自的聪明才智，自主探究；同时汇集集体的力量，群策群力，合作交流，使学生成为知识的发现者，成为数学学习的主人．

（三）板书设计

§6．4多边形的内角和与外角和（1）

一、基本知识

1：多边形的内角和定理：

二、数学思想与方法

(主板书)

三、例题解答

1：

2：

3：

(副板书)

学

生

活

动

展

示

区

(辅助性板书)

（四）教学目标检测设计

1.随堂检测设计

（1）试求20边形的内角和．

（2）已知一个多边形的每一个内角都是156°，试求它的边数．

（3）把一张五边形的纸片剪掉一个角后，得到的多边形内角和是多少度？

设计意图：学生尝试练习，用本节课学到的多边形内角和公式解决已知边数求内角和、已知内角和求边数等问题．三个练习，层层递进，练习1直接巩固公式，练习2深化边角关系，练习3则注重知识、方法的灵活应用以及分类讨论的数学思想；通过练习强化对多边形内角和定理掌握．达到教学目标中掌握公式的目的，进一步优化学生思维，提高能力．

2.课后检测设计

（1）用四块大小形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，请用本节课的知识说明理由．

- 7 -

（2）请探究，除了四边形以外，哪些正多边形纸板还可以拼成无空隙的纸板？

设计意图：本题是是开放性问题，是课堂活动的延展，面向全体学生，不同学生能根据自己的理解获得属于自己的答案，适应学生个性发展的需要，是

“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的较好体现．学生通过完成开放性的探究性作业作业，进一步思考多边形内角和在实际生活中的应用价值．

六、【教学反思】

整堂课中，同学们对我创设的问题很感兴趣，探究非常主动，回答问题非常踊跃，分组讨论、展示活动表现积极．师生交流、生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路，学生的表现超出了我的预期．在教师评价时，关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对基本知识的掌握情况和解决实际问题的意识和能力；在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的不同思思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教学评价的价值．同时为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑，学会互相欣赏、学习和借鉴．总的说来有如下几点反思：

1.

重视知识生长过程，凸显数学思想体验

本节课的设计非常强调数学知识的生长过程，渗透从特殊到一般和转化、类比、化归等数学思想，教学过程的六个环节从不同的角度体现了这样的理念．

2.层层问题铺垫引导，确保教学目标达成

在整个课堂活动过程中，特别强调了环节的设置与目标的达成相呼应，做到了由做到了由目标确定环节，在环节中实现目标．具体如下：

3.用活新课程理念，力求生本性设计

有意的设计多处开放性的问题，引起学生的思维碰撞，鼓励学生大胆的尝试新方法解决问题，深度经历探究过程，使学生获得了较好的数学学习经验．如何在课堂活动，更好的把握问题引导中“收”与“放”的度，做到收放自如，是我在今后的课堂中需要进一步研究提升的课题．

- 8 -

附一：部分课堂活动照片

合作探究

交流展示

归纳总结

引导点拨

互助倾听

巩固提高

- 9 -