多边形的外角和名师课堂实录

多边形及其内角和教学设计

三维目标

1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理能力，•养成主动探究的习惯．

2．能运用多边形内角和公式解决问题．

3．通过运用内角和公式解决问题，使学生认识到数学来源于实践，•又反过来作用于实践的观点．

教学重点

多边形内角和与外角和定理．

教学难点

多边形内角和公式的推导．

教学过程

导入新课

我们知道三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°，那么其他四边形的内角和等于多少？如图1•中的这两个漂亮的多边形的内角和又是多少呢？想信在本节课结束时，大家都会轻而易举地作出回答．

推进新课

动手试一试，你会有收获

活动1．问题：

任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．再画几个四边形，•量一量、算一算．你能得出什么结论？能否利用三角形内角和等于180•°得出这个结论？

设计意图：通过学生自己动手操作，让他们积极参加数学活动，主动思考、合作交流的“做数学”过程，让学生亲自体验数学发现的过程，增强动手能力、主动思考的能力．

师生活动：生：任意一个四边形，它的四个内角和都为360°．

我们可以利用上节课学过的知识来解决．

！

如图2，画出任意一个四边形的一条对角线，•都能将这个四边形分为两个三角形．这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°．

活动3．问题：

从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，•请填空：

从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将五边形分为_____个三角形，五边形的内角和等于180°×______．

从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______．

设计意图：

在得出任意四边形的内角和的求法后，再让学生思考五边形、六边形的内角和的求法，旨在让学生能从中找中规律，为后面求n边形的内角和打基础．

师生活动：

师：从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于3×180°=540°．

从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，•因此六边形的内角和等于4×180°=720°．

师：由此我们可以看出，求多边形的内角和，可以把多边形用对角线分成若干个三角形，利用三角形的内角和求解，而分得的三角形的个数又与从一个顶点引出的对角线的条数有关．

通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？

一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：

从n边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将n边形分为____个三角形，n边形的内角和等于180°×______．

生：从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，它们将n边形分成（n-2）•个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-2），

即n边形内角和等于（n-2）·180°．（n是大于等于3的整数）

！

师：利用刚才的思路，大家猜想一下，还有其他的方法吗？

生：以五边形为例，可以在五边形内部任找一点，如图4，•把这一点与各个顶点连接起来，把五边形分成五个三角形，这时多了一个周角，因此，五边形的内角和为：5×180°-360°=540°．

师：非常了不起．

生：老师，我还有别的方法，如图5可以在五边形的任一条边上取一个点，•然后将这个点与各顶点连接，这时五边形被分割成四个三角形，但多了一个平角．所以，五边形的内角和为180°×4-180°=540°．

生：我还有不同方法，如图6，可以在五边形的外部任取一点，•将此点与各顶点连接，这时图中共有五个三角形，原五边形的内角和等于4•个三角形的内角和减去最下边一个三角形的内角和，即为4×180°-180°=540°．

师：大家思维敏捷，富有创新精神，很棒．哪位同学来总结一下，•如何推导多边形的内角和公式呢？

生：数学中有一个重要的思想是转化思想，即把求多边形的内角和转化为求若干个三角形的内角和，关键是将n边形分割转化为三角形，分割的方法很好，上面给出了好多方法．因此，可以得出结论：n边形的内角和公式为（n-2）·180°．

尝试反馈 巩固练习

1．一个多边形的每个内角都等于140°，那么这个多边形是几边形？

2．一个多边形有35条对角线，则这个多边形是几边形？

答案：1．九 2．十

活动3．例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

设计意图：

利用多边形内角和解决问题．

师生活动：

！

师：大家思考一下，应从哪儿入手？

生：应从四边形内角和入手．因为它只有一组对角互补，要求另一组对角之间的关系，而这两组对角和恰好构成四边形的内角和，是360°，从而可以求出另一组对角间的关系．

师：可以写出证明过程吗？

生：解：如图7，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°．

因为∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，

所以∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=360°-180°=180°．

这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．

活动4．例2：如图8，在六边形的每个顶点处各取一个外角，•这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

设计意图：利用内角和求外角和，从而得出n边形内角和．

师生活动：师：请大家先分析题意，然后找出解决问题的方法．

生：外角和是指每个顶点处各取一个外角，而每个顶点处的一个外角与它相邻的内角是互为邻补角，因此外角和与内角和之和就是6个平角再减去内角和，•就是外角和．

师：请大家把过程写出来．

生：∵∠1+∠BAF=180°，∠2+∠ABC=180°；

∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°；

∠5+∠DEF=180°，∠6+∠EFA=180°；

∴（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6）+（∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠AFE）

=•6×180=1080°．

∵∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠AFE=（6-2）·180°=720°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=1080°-720°=360°．

∴六边形的外角和为360°．

师：如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？

！

生：还相同．因为三角形、四边形、六边形的外角和都是360°．

生：那也不一定正确，这只能作为猜想，不能作为结论，还要经过证明才行．

师：能证明出来吗？

生：可以．根据刚才的思路，n边形中，•每个顶点处的内角和外角组成一个平角，n个顶点处有n个平角，它们的和180°n即为多边形的内角和与外角和的和，而内角和为（n-2）·180°，

所以外角和应为180°·n-（n-2）·180°=180°·n-n·180•°+360°=360°．

师：很好，还有其他的证明方法吗？

生：有．

你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°．

如图9，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，•然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．•由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．

师：前面我们学习了n边形的内角和为（n-2）·180°，外角和为360°，下面我们做一些巩固练习．

尝试反馈 巩固练习

1．一个多边形的内角和等于900°，求它的边数．

2．一个多边形的每一个内角都等于140°，求它的边数．

3．一个多边形的每一个外角都等于40°，求它的边数．

答案：1．7 2．9 3．9 课堂小结

本节学习了以下主要内容：

1．探索了n边形的内角和公式、外角和公式．

2．学会转化的数学思想方法．

布置作业

习题7．3 4、5．

活动与探究

1．如图10，六边形ABCDEF的每个内角都是120°，AF=AB=2，BC=CD=3．

！

求DE、EF的长．

解：把边AB、CD、EF向两方延长，分别交于M、N、P．

∵六边形的每个内角都是120°，∴△MNP是等边三角形，△NAF、△MBC、•△PDE也都是等边三角形．

设EF=x，DE=y，则

x+2+y=3+3+y=2+2+3．

∴x=4，y=1．

2．在一个凸n边形中，有（n-1）个内角的和恰为8 940°，求边数n的值． 解：设此凸n边形中有一个内角为α，剩余（n-1）个内角之和恰好8940°． ∴α=（n-2）·180°-8940°．

∵0°<α<180°，

∴0°<（n-2）·180°-8940°<180°．

∴8940180n29120180．

∴49.67

∵n-2是整数，

∴n-2=50，

∴n=52．

∴这个凸多边形是凸52边形．

！