有理数比较大小教学设计与反思

第2讲

有理数、数轴、相反数、绝对值

教学目标：

1.

掌握数轴的概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系;会正确地画出数轴,会用数轴上的点表示给定的有理数,会根据数轴上的点读出所表示的有理数; 2.

借助数轴，使学生了解相反数的概念，会求一个有理数的相反数；

3.

掌握绝对值的概念，有理数大小比较法则；学会绝对值的计算，会比较两个或多个有理数的大小；体验数学的概念、法则来自于实际生活，渗透数形结合和分类思想．

教学重点：

1.让理解数轴．相反数．绝对值的概念；

2.着重理解绝对值的几何意义，并能利用其解决相关问题；

教学难点：让学生体会数轴的价值，初步理解数形结合，有助于学生完成从小学学习方式向中学学习方式的过渡

【教学建议】

有理数五种运算法则的本质是:一确定符号，二计算绝对值. 口诀：先看运算再看数，定好顺序不跳步，明确法则符号先，字迹工整要记住

有理数加减法运算技巧：同号结合，凑0结合，凑整结合，拆数变形，带分数拆分整数，分数小数统一形式，同分母或便于通分的结合

在理解的基础上，把有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算用于新的情境。综合使用已掌握的有理数的运算，选择或创造适当的方法解决问题。

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【知识框架】

教学过程

一、课堂导入

回顾用正负数表示数量的实际例子

在足球比赛中，如果把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数．若红队进4个球，失2个球，则红队的胜球数，可以怎样表示？蓝队的胜球数呢？

师：如何进行类似的有理数的加法运算呢？这就是我们这节课一起与大家探讨的问题．

二、知识讲解

考点1 数轴

⒈数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意以下几点：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2．数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就

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是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）

3．利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4．数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是﹣1，无最小的负整数

5．数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

考点2 相反数

1．相反数的概念：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意以下几点：

⑴相反数是成对出现的；

负；

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2．相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0；

⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 ⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则a=﹣1（a0，b0））

b3．相反数的几何意义:在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4．相反数的求法⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“﹣”即可求得（如：5的相反数是﹣5）；

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⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“﹣”，然后化简（如；5a+b的相反数是﹣（5a+b），化简得﹣5a﹣b）；

⑶求前面带“﹣”的单个数，也应先用括号括起来再添“﹣”，然后化简（如：﹣5的相反数是﹣（﹣5），化简得5）

5．相反数的表示方法：一般地，数a的相反数是﹣a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，﹣a<0（正数的相反数是负数）当a<0时，﹣a>0（负数的相反数是正数）

当a=0时，﹣a=0，（0的相反数是0）

6．多重符号的化简

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“﹣”号的个数决定最后化简结果；即：“﹣”的个数是奇数时，结果为负，“﹣”的个数是偶数时，结果为正。

考点3 绝对值

1．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2．绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0。

可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=﹣a；③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）

②a≤0，<═>|a|=﹣a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

3．绝对值的性质（1）任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即：

⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0．即：a=0<═>|a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0．即：|a|≥0；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；

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⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|﹣a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=﹣b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）

4．绝对值的化简

①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=﹣a

5．已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。

考点4

有理数大小比较

有理数大小的比较

（1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

（2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数；

（3）若a>b，b>c，则a>c；

（4）作差法，a﹣b>0←→a>b；a﹣b<0←→a

（5）大数﹣小数＞0，小数﹣大数＜0．

综合提升：本章内容在中考中主要考察有理数的有关概念，如数轴、相反数、倒数、绝对值以及有理数的运算的等，多以填空题，选择题出现。

考点5 倒数

乘积为1的两个数互为倒数。一般地，aa的倒数是11(a0)，即若a是不等于0的有理数，则a1.

a注意：0没有倒数；若ab=1a、b互为倒数；若ab=﹣1a、b互为负倒数.

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三、例题精析

类型一

数轴

【例题1】

【题干】数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位，再向右移动5个长度单位后，它所表示的有理数是（ ） A．3 B．5 C．-3 D．2 【答案】 D 【解析】数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则可知，此点所表示的数为：0-3+5=2．

【例题2】

【题干】与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（ ）

A．-1 B．5 C．3或 D．-1或5 【答案】D 【解析】设与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的有理数为x，

因为点A与该点0的距离为3，即|x-2|=3，所以x=5或x=1

A165432101234A25

【总结与反思】此题综合考查了数轴．绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．

类型二

相反数

【例题1】

1【题干】

的相反数是（

）

2A．2

B．

11

C．-2

D．

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【答案】B 11【解析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，2的相反数为2．

【总结与反思】本题主要相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是-a．

【例题2】

【题干】已知代数式3x+1与代数式5-2x的值互为相反数，则x=____________.

【答案】-6．

【解析】根据题意，有3x+1+5-2x=0，解之得x=-6．

【总结与反思】熟练掌握相反数的概念和一元一次方程的解法．若两个数互为相反数，则它们的和为零，反之也成立．

类型三

绝对值

【例题1】

【题干】下列说法，不正确的是（

）

A．数轴上的数，右边的数总比左边的数大

B．绝对值最小的有理数是0 C．在数轴上，右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大

D．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大

【答案】 C 【解析】A：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数比左边的数大，故此选项正确；

B：绝对值最小的有理数是0，故此选项正确；

C：-3在-2的左边，-3的绝对值大于-2的绝对值，故此选项错误；

D：离原点越远的点，表示的数的绝对值越大，故此项正确．

【总结与反思】本题主要考查了数轴和有理数之间的关系，0的绝对值是0．

【例题2】

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【题干】如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（

）

A．2的平方

B．-3.4的绝对值

C．-4.2的相反数

D．

【答案】B．

【解析】由数轴上A点所表示的位置可知，3＜A＜4，

A．

2的平方=4，故本选项错误；

B．|-3.4|=3.4，3＜3.4＜4，故本选项正确；

C．4.2的相反数是4.2＞4，故本选项错误；

D．5的倒数

12512的倒数是=2.4，2.4＜3，故本选项错误．

125【总结与反思】本题考查的是数轴的特点及相反数．倒数的定义，能根据数轴的特点确定出A的取值范围是解答此题的关键．

四、课堂应用

基础：

1.

在数轴上，-2与-5之间的有理数有（

）个．

A．无数个 B．4个 C．3个 D．2个

2.

如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（

）

A．+a和-a互为相反数B．+a和a一定不相等

C．a一定是负数D．a和+a一定相等

3.

在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是（

）

A．-1

B．3

C．±2

D．-1或3

答案与解析

1.【答案】A．

【解析】在数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．

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2.【答案】D．

【解析】A．+a和-（-a）互为相反数；错误，二者相等；

B．+a和-a一定不相等；错误，当a=0时二者相等；

C．

一定是负数；错误，当a=0时不符合；

D．

和

一定相等；正确．

3.【答案】D．

【解析】设在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是x，

则|x-1|=2，解得x=-1或x=3．

巩固：

1.

若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（

）

A．-2a和-2b

B．a+1和b+1

C．a+1和b-1

D．2a和2b

2.

在2，7，3，211，中，负数有（

）

35A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3.

数轴上表示互为相反数a与-a的两个点（

）

A．到原点的距离一样远B．到原点的距离不一样远

C．表示数a的点在原点的右边D．表示数-a的点在原点的左边

答案与解析

1.【答案】B．

【解析】∵a，b互为相反数，∴a+b=0．

A中，2a2b2ab=0，它们互为相反数；

B中，C中，D中，2.【答案】C．

即a+1和b+1不是互为相反数；

它们互为相反数；

它们互为相反数．

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【解析】∵2=2，是正数；7=7，是负数；3=3是负数；数；

22，是正331111=是负数；∴在以上数中，负数的个数是3．

553. 【答案】A 【解析】符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数；因此表示互为相反数a与-a的两个点到原点的距离一样远．

提高：

1．有理数a．b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（

）

a1b1

A．a＞b

B．a＞b

C．a＜b

D．a＜b

2．相反数不大于它本身的数是（

）

A．正数

B．负数

C．非正数

D．非负数

3．已知数轴上A．B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点A在点B的左边，则点A．B表示的数分别是

答案与解析

1. 【答案】C．

【解析】根据数轴上a，b两点的位置可知，a＜-1＜0＜b＜1，|a|＞|b|，∴a＜b，-a＞b，b＞a；

2. 【答案】D．

【解析】设这个数为a，根据题意，有-a≤a，所以a≥0．

3. 【答案】-3，3．

【解析】数轴上A．B表示的数互为相反数，则两个点到原点的距离相等，而它们的距离为6，所以它们到原点的距离都为3；有因为点A在点B的左边，所以点A．B表示的数分别是-3，3．

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五、课堂小结

本节讲了4重要内容：

1.

如何根据数轴的定义画一条数轴？如何在数轴上画出表示有理数的点？

2.

什么是一个数的相反数？相反数具有怎样的性质？

3.

什么是一个数的绝对值？一个数的绝对值又具有什么样的性质？

4.

有理数大小比较的方式有哪些？数轴上如何表示？

六、课后作业

基础：

1．把下列各数填入相应的大括号里，并用“＜”将各数大小连接起来．

11，-2，0，-1.3，5，|-4|

3整数集：{

} 负整数集：{

} 正分数集：{

} 负分数集：{

}．

2．绝对值大于2且小于5的所有整数的和是

. 3．已知x3，y2，且x＜y，则x_____，y_____.

答案与解析

1. 【答案】解：整数集：{-2，0，5，|-4|…}，

负整数集{-2，…}，正分数集{1，…}负分数集{-1.3，…} 用“＜”将各数大小连接起来为：-2＜-1.3＜0＜1＜|-4|＜5．

【解析】对有理数进行分类，需要先对数进行化简，需要注意，分数包括小数，非正整数就是负整数和0．

2. 【答案】解：绝对值大于2且小于5的所有整数是：-4，-3，3,4. 则-4+（-3）+3+4=0 答案为：0. 3. 【答案】∵x3，y2∴x3，y2∵x＜y∴x3，y2. 1313巩固：

1．

的相反数是它本身．

2．数轴上的A点表示的数是-3，数轴上另一点B到A点的距离是2，则B点所表示的数是。

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3．比较大小：-

答案与解析

1. 【答案】0 34

-，|-3|

-4. 45【解析】∵在数轴上，绝对值相等的两个互为相反数的实数是0，故答案是：0．

2. 【答案】5或1．

【解析】设A点表示的有理数为x，B点表示的有理数为y，

∵点B与点A的距离为2，即yx2，

∴y32，

5432101解得y15,y21．

3. 【答案】＞；＞；

【解析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数.两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 提高：

1．某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正．减产记为负）：

星期

增减

一

+5 二

-2 三

-4 四

+13 五

-10 六

+16 七

-9 （1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车__________ 辆；

（2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_________ 辆；

（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车________ 辆；

（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是

元．

2．用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而-|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：

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（1）|a|+1有最值；

（2）5-|a|有最值；

（3）当a的值为时，|a-1|+2有最值；

（4）若|a-1|+|b+1|=0，则a=

，b=

．

答案与解析

1.【答案】

（1）超产记为正．减产记为负，所以星期四生产自行车200+13辆，

故该厂星期四生产自行车213辆；

（2）根据题意5-2-4+13-10+16-9=9，200×7+9=1409辆，

故该厂本周实际生产自行车1409辆；

（3）根据图示产量最多的一天是216，产量最少的一天是190，216-190=26辆，

故产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车26辆；

（4）根据图示本周工人工资总额=7×200×60+9×75=84675元，

故该厂工人这一周的工资总额是84675．

2.【答案】解：（1）∵|a|≥0，∴|a|+1≥1，∴|a|+1有最小值1；

（2）∵-|a|≤0，∴5-|a|≤5，∴5-|a|有最大值5；

（3）∵|a-1|+2≥2，∴当a=1时，有最小值2；

（4）根据题意，a-1=0，b+1=0，解得a=1，b=-1，

故答案为：（1）小，1；（2）大，5；（3）1，小，2；（4）-1．

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