作轴对称图形优秀公开课教案

将军饮马-----线段最值专题（1）

学情分析：

本节是初三年级的一节专题复习课，总复习阶段的初中学生虽然知识比较丰富，也具备了一定的型推理能力和想像能力，但对数学思想的认识仍不够。本节课是主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，或再借助轴对称变换进行研究。

我在本节课以数学史中的一个经典故事“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题，并且回顾情境建立模型解释，建构学生自已的数学知识，让学生体会最短路径问题.同时激活数学建摸思想，培养学生解决实问题的能力

教学目标

1.

知识与技能: ①能利用轴对称解决最短路径问题。

②在解题过程能总结出解题方法，能进行一定的延伸。

③体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

2.过程与方法: 让学生亲身经历探究解决将军饮马问題的过程，体会运用建模，转化的思想究

数学问趣的方法，发展学生的合情推理能力及创新意识

3.态度与价值观

培养学生严谨科学的学习态度，勇于探素，勇于创新的精神，并通过丰常的数学

活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，

教学重点：

通过将军饮马问题的探究，体现＂转化”及数学建模的思想，培养学生解决实际问

题的能力

教学难点：

根据实际情况建立数学模型

教学过程

一）知识回顾

1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小

例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.

作法：连接AB，与直线l的交点Q，

Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，

PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，

在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦) 例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，

即PA+PB的和最小.

关键：找对称点

作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短

证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，

在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)

2.两动一定型

例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．

作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’

，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．

原理：两点之间，线段最短

3.两动两定型

例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．

作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’

，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．

原理：两点之间线段最短

实战演练

题一：（2017年副题24题）如图，已知抛物线L：y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)，OB＝OC＝3OA. (1)求抛物线L的函数表达式；(y＝x－2x－3) (2)在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22

题二：(2016年25题第二问)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

EDAFHBGC

存在．理由如下：

如解图②，作点E关于CD的对称点E′，作点F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于点G，交CD于点H，连接FG、EH，则F′G＝FG，E′H＝EH，

∴此时四边形EFGH的周长最小．

∵在BC上任取一点G′，在CD上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E＝F′G′＋G′H′＋H′E′≥E′F′.

………(4分)

第25题解图②

由题意得：BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，

∴AF′＝6，AE′＝8. ∴E′F′＝10，EF＝25.………………………………………………(6分) ∴四边形EFGH周长的最小值为EF＋FG＋GH＋HE＝EF＋E′F′＝25＋10. ∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是25＋10. …(7分) 课堂小结

本节课都有哪些收获？ 1.

知识：两点之间线段最短。

2.

方法：对称连接确定动点法

3.

数学思想：化归思想和建模思想

课后作业

题三：（2018年25题第二问变式）如图，∆ABC中∠BAC=60°，AD⊥BC于D且AD=5。又 E 、F 是在AB和AC上动点，如何让∆DEF周长最小，最小周长是多少？

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课堂反思

本节课是复习课，学生对将军饮马事件并不陌生，基本知识学生能很好的学习和反应，知识点和基本模型学生能反映和接纳。本节课的难点是将所学的知识很好的应用，在这点上学生对知识应用有一定的欠缺，对知识的迁移能力有待提高。