多边形的外角和优质课教案内容

《多边形的外角和》教学设计

安达市第六中学校

张 坤

一、教学目标及重点、难点：

1、知识与技能目标：理解与掌握多边形的外角和为360°的定理。并能用它来解决一些简单的问题。

2、过程与方法目标：通过对多边形的外角和的分析，并用四种角度来理解与体会多边形的外角和恒为360°的道理，层层推进，梯次展开，把学生带进思维的王国，并通过对一些问题的分析，体会利用多边形的外角和解决问题所带来的方便。

3、情感与态度目标：学生通过积极参与、分析讨论，感受学习数学的快乐，体会数学之美，本节课引导学生多体会数学的内在和谐美。激发学生的学习数学的兴趣。

重点：多边形的外角和为360°的探索、深入理解与应用。

难点：对多边形的外角和为360°的深入理解与应用。

二、内容与方法

内容：(人教版)三角形，多边形的内角和(之外角和部分) 方法：启发与讨论。

二、教学过程：

(一)复习提问

①n边形的内角和是多少？

②什么叫三角形的外角？

③一个三角形有多少个外角？理由。

④什么叫三角形的外角和？

（学生回答）

（二）新课导入

如图，∠BAE，∠FBC，∠ACD是三角形的外角我们是如何证明三角形外角和是360°的呢

学生回答：利用∠CAE，∠ABF，∠BCD是平角，∠CAE＋∠ABF＋∠BCD＝540°，又因为∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°（三角形的内角和为180°），∴∠EAB＋∠FBC＋∠ACD＝360°。

学生总结三角形的外角和为360°。

（三）讲授新课

通过对三角形外角和的认识，你能定义多边形的外角及外角和吗？

（学生讨论）

1、多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。

（教师补充）

一般地，在多边形的任一顶点处按顺(逆)时针方向可作外角，n边形有n个外角. （鼓励学生）同学们非常聪明，我们的数学家也是这样定义的。

2、在多边形的每一个顶点处取一个外角，它们之和就叫做多边形的外角和。

本节课我们要探究多边形的外角和，先看简单的，求一个四边形的外角和，如图所示，应如何进行？

生：四边形的每一个顶点处的一个外角加上相邻的内角为180°，有四个顶点，总和为4×180°＝720°，又因为四边形的内角和为（4－2）×180°＝360°，所以外角和为720°－360°＝360°。

师：完全正确，同学们根据刚才的证明三角形的外角和的思路来证明四边形的外角和，很不错的。有何结论？

生：四边形的外角和为360°。

（教师出示例题）

师：有何结论？

生：六边形外角和为360°。

师：根据我们刚才的三个结论？你有何猜想？

生：多边形的外角和为360°。

师：这个想法很好的，也就是不管其边数为多少（n≥3），其外角和为360°，是不变的。要证明了才能把猜想变成真理，请思考如何证明？

设边数为n（n≥3）。

请大家动笔在草稿本上算算。（给学生几分钟思考的时间）

生：n边形有n个顶点，每个顶点处的一个外角与其相邻的内角之和为180°，有n个180°，这些角的总和为：180°n，n边形的内角和为（n－2）?180°，所以n边形的外角和为：180°n－（n－2）·180°＝360°。

师：很好的，现在我们证明了我们的猜想。得到结论，谁来总结一下？

性质：n（n≥3）边形的外角和为360°。

总结：不管其边数怎样变化，其外角和是不变的。由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°这是我们通过

计算得来的，应该还能通过其它的角度让我们认识得更清楚一点，如图所示，通过作这样的辅助线您能证明吗？

把AB平移到CG的位置。

（学生思考几分钟）

生：∵CG是由AB平移得来的，

∴AB∥CG ∴∠EAB＝∠ACG。

∠DCG＝∠DBF ∴∠DCA＋∠EAB＋∠FBD＝∠DCA＋∠ACG＋∠GCD＝360°

师：很好，可以这样想的，把三角形缩成一个点，其外角刚好围成一个圆，当然是360°了。

再看一看四边形，也能这样吗？

师：过C作CK∥DE，CM∥AF，看其中的相同颜色的弧所在的角……

生：有∠HDA＝∠DCK，∠EAL＝∠KLB＝∠KCM，∠FBG＝∠GCM。

把这些外角移在一起，刚好围成一个圆。

师：回答正确，也可以这样理解，把四边形缩成一个点，其外角和刚好围成一个圆，当然外角和不变了。

师：更多的边数呢？

生（兴奋的）：一样的，先把多边形缩成一个点，其外角和刚好围成一个圆，当然是360°，不管其边数怎样变化，其外角和不变。

师：是这样的，还可以这样理解，一个人面向CD，沿着CA前进时，方向改变为∠DCA，沿AB前进，其方向改变为∠EAB，也就是∠ACG的大小，再AB方转向CD时，方向改变量的大小是∠DCG，此时回到CD方向，刚好转了一圈，是360°。四边形也可以这样理解吗？

生：假设面向CG，面向CH，转动∠HCG，面向DE再转∠HCK，面向AB，再转∠KCM，最后转∠MCG回到出发的位置。刚好转了一圈，因此是外角和是360°。

师：再换种理解方法，假设一人从A出发，经过各个顶点。然后回到出发的A点，这个人所转过的角的和恰好是一这个多边

形的外角和。由于刚好转了一圈回到出发点，因此其外角和是360°。

（四）知识应用

［例1］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用.根据题意，可列方程解答.

(让学生动手解答)

解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°,外角和等于360°，所以：

(n－2)·180°=3×360°

解得：n=8

这个多边形是八边形.

（五）课堂练习

1.一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是n边形？

解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：

360°÷60°=6

2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？

解：这种正多边形是正六边形，理由是：设：这个正多边形的一个内角为x°，

则由题图得：3x=360°.x=120°.再根据多边形的内角和公式得：

n×120°=(n－2)×180°.解得n=6 3.是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的1/5？为什么？

解：不存在，理由是：

如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°－α，于是：

1/5×α=180°－α,解得α=150°.

这个多边形的边数为：360°÷150°=2.4,而边数应是整数，因此不存在这样的多边形.

4.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？

解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角. 五.课时小结

本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式.知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，并且通过多种方法验证了这个性质，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便.

六.课后作业:课本P130习题4.11

1、2、3