本章复习与测试ppt配套教案和课堂实录

专题强化一

运动学图象

追及相遇问题

专题解读

1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题. 2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力. 3.用到的知识有：x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，极值思想等数学方法.

一、运动学图象

1.直线运动的x－t图象

(1)图象的物理意义

反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律. (2)图线斜率的意义

①图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小

②图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向. (3)交点

两图线交点，表示两物体相遇. 2.直线运动的v－t图象

(1)图象的物理意义

反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律. (2)图线斜率的意义

①图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小. ②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向. (3)两种特殊的v－t图象

①匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线. ②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线. (4)图象与时间轴围成的面积的意义(如图1)

图1

①图象与时间轴围成的面积表示位移. ②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负. (5)交点

两图线交点表示此时两物体速度相同. 自测1

甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间(x－t)图象如图2所示，由图象可以看出在0～4 s内(

)

图2 A.甲、乙两物体始终同向运动

B.第4 s末时，甲、乙两物体间的距离最大

C.甲的平均速度等于乙的平均速度

D.乙物体一直做匀加速直线运动

答案

C 解析

由题图可知在0～2 s内，甲、乙同向运动，在2～4 s内两者反向运动，选项A错误；第4 s末两物体相遇，两物体间的距离不是最大，选项B错误；由题图知在0～4 s内，甲、乙的位移都是2 m，故平均速度相等，选项C正确；根据图线斜率的绝对值等于速度的大小，可知乙物体一直做匀速直线运动，选项D错误.

自测2

如图3所示，为某物体做直线运动的v－t图象，由此可知(

)

图3 A.前1 s物体的位移大小为1 m B.前2 s末物体的瞬时速度大小为2 m/s C.前3 s内物体的加速度大小为3 m/s D.前3 s物体做匀变速直线运动

答案

A 解析

在v－t图象中，相应图线与时间轴所围的面积表示位移，由题图知，前1 s内物体的Δv1位移大小x＝×1×2 m＝1 m，选项A正确；在1～3 s内由题图得，物体的加速度a＝＝2Δt

0－2 m/s＝－1 m/s，第2 s末物体的瞬时速度v＝v0＋at＝2 m/s－1 m/s2×1 s＝1 m/s，选项B、3 s－1 sC错误；第1 s内物体做匀加速直线运动，1～3 s内物体做匀减速直线运动，选项D错误. 二、追及与相遇问题

1.概述

当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题. 2.两类情况

(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度. (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近. 3.相遇问题的常见情况

(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离. (2)相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离. 自测3

平直公路上的甲车以10 m/s的速度做匀速直线运动，乙车静止在路面上，当甲车经过乙车旁边时，乙车立即以大小为1 m/s2的加速度沿相同方向做匀加速运动，从乙车加速开始计时，则(

) A.乙车追上甲车所用的时间为10 s B.乙车追上甲车所用的时间为20 s C.乙追上甲时，乙的速度是15 m/s D.乙追上甲时，乙的速度是10 m/s 答案

B 1解析

设乙车追上甲车所用的时间为t，则有v甲t＝at2，解得t＝20 s，选项A错误，B正确；2由v＝at得，乙车追上甲车时，乙车速度v乙＝20 m/s，选项C、D错误.

命题点一

运动学图象的理解和应用

1.x－t图象与v－t图象的比较

图象

举例

意义

倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示

倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表x－t图象

v－t图象

变速直线运动

特别处

运动

情况

位移

平均

速度

2.三点说明

两条图线的交点表示相遇

甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动

0～t1时间内甲、乙位移相等

0～t1时间内甲、乙平均速度相等

示变加速直线运动

图线与时间轴所围面积表示位移

丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动

0～t2时间内丁的位移大于丙的位移

0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度

(1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；

(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；

(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点. 例1

(多选)如图4，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x－t)图线，由图可知(

)

图4 A.在时刻t1，a车追上b车

B.在时刻t2，a、b两车运动方向相反

C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加

D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大

答案

BC 解析

由题图可知，t1时刻，b车追上a车，故A错误；x－t图象的斜率表示速度，由于t2时刻a、b两图象的斜率一正、一负，故两车运动方向相反，B正确；由b图线的斜率的变化可以看出t1到t2这段时间b车的速率先减少后反向增加，C正确；如图所示，在t3时刻b图线的斜率与a图线的相等，此时两车的速率相等，故D错误.

例2

(2014·新课标全国Ⅱ·14)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v—t图象如图5所示.在这段时间内(

)

图5 A.汽车甲的平均速度比乙的大

v1＋v2B.汽车乙的平均速度等于

2C.甲、乙两汽车的位移相同

D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

答案

A 解析

根据v—t图象中图线与时间轴所围的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于x汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度tv乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于v1＋v2，选项B错误；根据v—t图象的斜率反映了加速度的大2小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误. 变式1

甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t变化的关系图象如图6所示.已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处.则下列说法正确的是(

)

图6 A.甲车的初速度为零

B.乙车的初位置在x0＝60 m处

C.乙车的加速度大小为1.6 m/s2

D.5 s时两车相遇，此时甲车速度较大

答案

C Δx20解析

由题图可知甲车做匀速直线运动，速度v甲＝＝

m/s＝4 m/s.故A错；由题图可知Δt51乙车做匀减速直线运动，可看做是反方向的匀加速直线运动，则有x＝at2.由题图可知，当其212反向运动5 s时，位移为20 m.则有20＝a·5，得加速度大小a＝1.6 m/s2.因其共运动了10 s，2

1可得x0＝×1.6×102 m＝80 m.C对，B错；t＝5 s时，两车相遇，但甲车速度v甲＝4 m/s小2于乙车速度v乙＝8 m/s，D错. 变式2

(2018·广东佛山质检)如图7所示为甲、乙两质点做直线运动的速度－时间图象，则下列说法中正确的是(

)

图7 A.在0～t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等

B.甲质点在0～t1时间内的加速度与乙质点在t2～t3时间内的加速度相同

C.甲质点在0～t1时间内的平均速度小于乙质点在0～t2时间内的平均速度

D.在t3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点

答案

A 解析

因在0～t3时间内甲、乙两质点的速度图线与t轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A项正确；在0～t1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度为正方向，在t2～t3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度为负方向，两个加速度不相0＋v0v0同，故B项错误；甲质点在0～t1时间内的平均速度等于＝，乙质点在0～t2时间内的220＋v0v0平均速度等于＝，故C项错误；由图可知甲、乙两质点的速度均为正值.则两质点均22做单向直线运动，不可能回到出发点，故D项错误. 拓展点1

非常规图象

1.三类图象

(1)a－t图象：由v＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图8甲所示；

x1x11(2)－t图象：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图象的斜率为a，如图乙所示. t2t22

图8 (3)v2－x图象：由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，图象斜率为2a. 2.解题技巧

图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义.

x例3

一质点沿直线运动，如图9所示是从t＝0时刻开始的质点的－t图象(x为位移)，可t以推知(

)

图9 A.质点做匀减速运动

C.t＝2 s时的速度是1 m/s 答案

B x11解析

由题意可得图线的函数表达式为＝1＋t，即x＝t＋t2，又因为匀变速直线运动中位t221移公式为x＝v0t＋at2，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2＞0，因此质点做匀加速运动，2故A项错误，B项正确.当t＝2 s时，根据公式v＝v0＋at，求出速度是3 m/s，故C项错误；1当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋t2，可得位移是4 m，故D项错误. 2变式3

(2017·江西南昌3月模拟)一辆汽车做直线运动，其v2－x图象如图10所示.关于汽车的运动，下列说法错误的是(

) B.加速度的大小是1 m/s2

D.t＝2 s时位移是3 m

图10 A.汽车的初速度为4 m/s B.汽车的加速度大小为0.5 m/s2

C.汽车第4 s末的速度为2 m/s D.汽车前10 s内的位移为15 m 答案

D 解析

由题图可知初始时速度的平方为16 m2/s2，则汽车的初速度v0＝4 m/s，A项正确.由题图可知v2与x的关系式为v2－42＝－x，再与公式v2－v02＝2ax对比可知汽车做匀减速直线运动，加速度a＝－0.5 m/s2，B项正确．由v＝v0＋at，可得汽车第4 s末的速度为v4＝4 m/s0－v0－0.5×4 m/s＝2 m/s，C项正确.因＝8 s，则知第8

s末车停止，汽车前10 s内位移x＝a0－v

02＝16 m，D项错误. 2a

拓展点2

图象间的相互转化

例4

一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图11所示.取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v－t图象正确的是(

)

图11

答案

C 命题点二

追及相遇问题

1.分析思路

可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.

(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；

(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口. 2.能否追上的判断方法

物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，到vA＝vB时，若xA＋x0＜xB，则能追上；若xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若xA＋x0＞xB，则不能追上. 3.特别提醒

若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动. 4.三种方法

(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离. (2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇.

(3)图象法. ①若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇. ②若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积. 例5

甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距x0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？

答案

6 m/s2

解析

方法一：临界法

设两车速度相同时均为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，v1＋vv2＋vt＝t－x0，解得t＝2 s，a2＝6 m/s2，即t＝2 s时，两车恰好未相撞，显然此后在停22止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2. 方法二：函数法

11甲、乙运动的位移：x甲＝v1t－a1t2，x乙＝v2t－a2t2

22避免相撞的条件为x乙－x甲

1即(a2－a1)t2＋(v1－v2)t＋x0>0 2代入数据有(a2－2)t2－16t＋16>0 不等式成立的条件是：Δ＝162－4×16(a2－2)<0，且a2－2>0 解得a2>6 m/s2. 变式4

(多选)(2016·全国卷Ⅰ·21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图12所示.已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(

)

图12 A.在t＝1 s时，甲车在乙车后

B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 答案

BD 解析

由题中v－t图象得a甲＝10 m/s2，a乙＝5 m/s2，两车在t＝3 s时并排行驶，此时x甲＝

1111a甲t2＝×10×32 m＝45 m，x乙＝v0t＋a乙t2＝10×3 m＋×5×32 m＝52.5 m，所以t＝0时22221甲车在前，距乙车的距离为L＝x乙－x甲＝7.5 m，B项正确.t＝1 s时，x甲′＝a甲t′2＝5 m，21x乙′＝v0t′＋a乙t′2＝12.5 m，此时x乙′＝x甲′＋L＝12.5 m，所以另一次并排行驶的时2刻为t＝1 s，故A、C项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距L′＝x乙－x乙′＝40 m，故D项正确. 变式5

(2018·河北保定调研)在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度－时间图象如图13所示，则(

)

图13 A.甲、乙两车同时从静止开始出发

B.在t＝2 s时乙车追上甲车

C.在t＝4 s时乙车追上甲车

D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次

答案

C

1.(多选)(2017·河北唐山一中模拟)在足球比赛中，跑位技术相当重要.图1所示为某前锋球员在时间t0内沿直线跑位的速度－时间图象，则在这段时间内，该球员(

)

图1 A.运动方向不变

B.运动的加速度方向不变

C.先做加速运动后做减速运动

D.运动的加速度先减小后增大

答案

AC

解析

因v－t图象中图线的斜率表示加速度.则由题图可知球员先做加速度减小的加速运动，后做加速度先增大后减小的减速运动，其运动方向不变，则A、C正确，B、D错误. 2.(多选)(2017·山西五校四联)甲、乙两车在一平直公路上同向行驶，其速度－时间图象如图2所示.下列说法正确的是(

)

图2 A.乙车做曲线运动

B.0～10 s内，乙车的位移大于甲车的位移

C.t＝10 s时，两车可能相遇

D.0～10 s内，必有某一时刻甲、乙两车的加速度相同

答案

BCD 解析

因甲、乙两车在一平直公路上同向行驶，则甲、乙两车均做直线运动，因v－t图象中图线的斜率表示加速度，则由题图可知乙车做加速度逐渐减小的变加速直线运动，甲车做匀加速直线运动，且t＝0时a乙＞a甲，t＝10 s时a乙＜a甲，则0～10 s内必有某一时刻a乙＝a甲，A项错误，D项正确.因v－t图象中图线与t轴所围面积表示位移，则由题图可知0～10 s内乙车位移大于甲车位移，因题中没明确甲、乙出发位置，则t＝10 s时两车可能相遇，B、C项正确. 3.(2017·河北唐山一模)a、b两物体同时从同一地点开始做匀变速直线运动，二者运动的v－t图象如图3所示，下列说法正确的是(

)

图3 A.a、b两物体运动方向相反

B.a物体的加速度小于b物体的加速度

C.t＝1 s时两物体的间距等于t＝3 s时两物体的间距

D.t＝3 s时，a、b两物体相遇

答案

C 解析

由题图可知a、b两物体的速度均为正值，则a、b两物体运动方向相同，A项错误.因v－t图象中图线的斜率表示加速度，则a的加速度大于b的加速度，B项错误.v－t图象中图线与坐标轴所围的面积表示位移，因为t＝1 s到t＝3 s，a图线和b图线与t轴所围的面积

相等，即此时间段两物体位移相同，则t＝1 s时两物体的间距等于t＝3 s时两物体的间距，C项正确.由题图可知t＝3 s时，xb＞xa，又a和b同时、同地出发，同向运动，所以t＝3 s时，b在a前方，D项错误. 4.(多选)甲、乙两物体在同一直线上运动的x－t图象如图4所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点.则从图象可以看出(

)

图4 A.t2到t3这段时间内甲的平均速度大于乙的平均速度

B.乙比甲先出发

C.甲开始运动时，乙在甲前面x0处

D.甲在中途停了一会儿，最终也没追上乙

答案

AC x解析

在t2～t3这段时间内，甲的位移大于乙的位移，由v＝，所以甲的平均速度大于乙的t平均速度，A项正确.由题图知乙和甲同时出发，且乙在甲前面x0处，故B项错误，C项正确.在t3时刻，甲追上了乙，D项错误. 5.(多选)一质点做直线运动的v－t图象如图5所示，下列选项正确的是(

)

图5 A.在2～4 s内，质点所受合外力为零

B.质点在0～2 s内的加速度比4～6 s内的加速度大

C.在第4 s末，质点离出发点最远

D.在0～6 s内，质点的平均速度为5 m/s 答案

AD 解析

由题图可知，在2～4 s内，质点做匀速直线运动，所以所受合外力为零，A对.由题图可知，质点在0～2 s内加速度大小为5 m/s2，4～6 s内加速度大小为10 m/s2，B错.由题图可知，x在第5 s末，质点离出发点最远，C错.在0～6 s内，质点的平均速度v＝＝5 m/s，D对. t6.质点做直线运动时的加速度随时间变化的关系图象如图6所示，该图线的斜率为k，图中阴影部分面积为S，下列说法正确的是(

)

图6 A.斜率k表示速度变化的快慢

B.斜率k表示速度变化的大小

C.面积S表示t1～t2的过程中质点速度的变化量

D.面积S表示t1～t2的过程中质点的位移

答案

C 7.图7是一做匀变速直线运动的质点的位移—时间图象(x－t图象)，P(t1，x1)为图象上一点.PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q(0，x2).下列说法正确的是(

)

图7 x1A.t1时刻，质点的速率为

t1x1－x2B.t1时刻，质点的速率为

t1x1－x2C.质点的加速度大小为

2

t12x1－x2D.0～t1时间内，质点的平均速度大小为

t1答案

B 8.图象法可以形象直观地描述物体的运动情况.对于如图8所示的两质点运动的位移—时间图象和速度—时间图象，下列分析结果正确的是(

)

图8 A.由图甲可知，质点做曲线运动，且速度逐渐增大

B.由图甲可知，质点在前10 s内的平均速度大小为4 m/s C.由图乙可知，质点在第4 s内的加速度方向与物体运动的方向相反

D.由图乙可知，质点在运动过程中，加速度大小的最大值为15 m/s2

答案

D

9.(多选)小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某段时间内两车的v－t图象如图9所示，初始时，小张在小王前方x0处.下列说法正确的是(

)

图9 A.若x0＝18 m，两车相遇1次

B.若x0＜18 m，两车相遇2次

C.若x0＝36 m，两车相遇1次

D.若x0＝54 m，两车相遇1次

答案

AB 10.(2018·安徽马鞍山模拟)一个物体以初速度v0沿光滑斜面向上运动，其速度v随时间t变化的规律如图10所示，在连续两段时间m和n内对应面积均为S，则经过b时刻的速度大小为

(

)

图10

m－nSA.

mnm2＋n2SC.

m＋nmn答案

C mnm2＋n2SB.

m＋nm2＋n2SD.

mn解析

设物体的加速度大小为a，m时间内的初速度大小为v1，末速度(即b时刻的速度)大小为v2，

1根据x＝v0t＋at2，得：

21S＝v1m－am2 21S＝v2n－an2 2v2＝v1－am

①

②

③

m2＋n2S①②③联立得：v2＝，故选C. m＋nmn11.(2018·山东烟台质检)如图11甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图象如图乙所示.已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m.

图11 (1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小. (2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x0应满足什么条件？

答案

(1)12 m/s

3 m/s2

(2)x0>36 m 解析

(1)在t1＝1 s时A车刚启动，两车间缩短的距离x1＝vBt1

代入数据解得B车的速度vB＝12 m/s vBA车的加速度a＝

t2－t1将t2＝5 s和其余数据代入解得A车的加速度大小a＝3 m/s2

(2)两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t图象的t2＝5 s时刻，此时两1车已发生的相对位移为梯形的面积，则x＝vB(t1＋t2) 2代入数据解得x＝36 m 因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离x0应满足条件：x0>36 m.

12.斜面长度为4 m，一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v0从斜面顶端沿斜面下滑时，其下滑距离x与初速度二次方v02的关系图象(即x－v02图象)如图12所示.

图12 (1)求滑块下滑的加速度大小. (2)若滑块下滑的初速度为5.0 m/s，则滑块沿斜面下滑的时间为多长？

答案

(1)2 m/s2

(2)1 s 111 m解析

(1)由v02＝2ax推知，图线斜率为，根据题图可知，＝2－2，所以滑块下滑的2a2a4 m·s加速度大小a＝2 m/s2. (2)由题图可知，当滑块的初速度为4 m/s时，滑块刚好滑到斜面最低点，故滑块下滑的初速1度为5.0 m/s时能滑到斜面最低点.设滑块在斜面上的滑动时间为t，则x＝v0t－at2，x＝4 m，2v0＝5 m/s，解得t＝1 s，t＝4 s(舍去).