习题训练优质课教案设计

北京市劲松第一中学教学设计

学科

课题

数学

年级

八年级

授课

数学备课组

时间

2018年11月14日

14.2.1平方差公式

课型

新授课

课时

1 知识与技能：1.会识别比较简单的平方差公式的形式；

2.掌握平方差公式的运算性质和推导过程. 过程与方法：通过观察、猜想、证明理解平方差公式的产生，体会从特殊到一般的思想方法. 教学目标

情感态度价值观：培养学生自主学习推导的能力，感受数学来源于生活用于生活在探索平方差公式的过程中，体验从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，经历数形结合思想。

知识技能：数学思考：问题解决：情感态度：

教学重点

和难点

教学方法

教具和教学手段

重点：掌握平方差公式的结构特征. 难点：应用平方差公式进行准确计算和解决实际问题. 自主探索、抽象归纳、合作学习

多媒体、学案或电子书包

教学过程

师生活动

（教学内容、提问、多媒体的使用、演示实验）

一、复习多项式乘法（学生代表）1分钟

教师总结：问题的产生是由简单复杂的，问题的解决过程是将复杂问题转化为简单问题

二、新知引入

根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

设计意图

介绍新知的形成顺序和解决新知的思维顺序

结合学生情况，合理开发，以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，感受成功与挫折、分享与发现和成果。

题组2，3作为备选，根据学生实际情况及时调整题目使用数量以及难复备说明

板书和ppt的及时衔接

教师及时观察，计时，找出运算比较快的学生优势，发现分类学生们的情况，将已学习或了解公式的学生、以及通过探究得出结论的学生、没有发现规律但是计算速度比较快的学生和思路与速度都较慢的学生进行划分、归类便探究发现

题组1．计算：

(1)（x＋1)(x－1）

(2)(x＋3)(x－3) (3) (m－2)（m＋2)

(4) (m＋n)(m－n)

预设1：多数学生思维比较敏捷，能够很快找出规律，及时准确使用规律，直接进入题组2 预设2：多数同学计算准确，也能够发现规律但是不敢使用或者使用有误

进入出题环节：教师问题1：你能认真观察题目形式，找出规律尝试解决，并且通过多项式乘法我们学过的这个知识来计算验证你所得的结论并且及时修正你的发现吗？

请你再编写4个类似形式的计算

(1)

(2)

(3)

(4)

请你挑选一个同组同学完成你编写的计算，并相互讨论验证结果

题组2. 计算

(1)（2m＋1)(2m－1）

(2)（3x＋2) (3x－2）

(3)（5y＋z)(5y－z）

(4) (2m＋3n)(3n－2m)

题组3. 计算

(1)（4xy＋1)(4xy－1）

(2)

(3+2a)(-3+2a)

(3)102×98

(4)（－x+2y)(－x－2y）

预设3：直接切入题组2后，若出现使用公式时的一些系数或者符号问题的话，要求学生利用所学知识进行验证，适当小组讨论，找出正确结论，并尝试归纳发现的规律，通过符号、汉语言文字等形式进行阐述，并进入题组3 预设4：在题组1已经出现困难后通过适当引导设问才得以解决后，教师判断是否学生已经比较清晰，选择进入题组2，若独立完成起来困难较大，则要求掌握较好学生再进行编写相关基础问题，让学生继续完成并总结规律，将题组2，3作为探究后得出结论的例题

追问1：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？

追问2：相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？

追问3：你能将发现的规律用式子表示出来吗？

追问4：你能对发现的规律进行推导吗？

预设5：发现共同点后，多数同学能够进行符号的表达，在文字叙述上会出现不同的表达，若说出“两数和与两数差的积，等于这两数的平方差”，则直接进行环节三；若说出“一对相同项与互为相反项分别求和后再相乘，等于相同项的平方减相反项的平方”，引导学生通过直接观察乘式的形式，进行归纳

平方差公式：(a+b)(a−b)= a²−b², 即两数和与这两数差的积, 等于这两数的平方差. 三、图形验证平方差公式

问题2：平方差公式，直观简洁通过运算结果的运算顺序命名的公式，对我们的计算有什么帮助？（学生回答）为我们复杂繁琐的多项式乘多项式找到了特殊情况的特殊解决方式，简化了运算过程、减少了运算量。

下面我们从第三个角度——几何图形尝试说明平方差公式

预设6：问题3：与此公式有关的几何量你能想到哪些？如何尝试说明平方差公式？

对于学生生成会出现比较大的困难

追问5：平方——正方形的面积；平方差——正方形的面积差，设计几何图形呈现你的思考结果

有学生形成图形，要求呈现完整公式的变化过程

若无，追问6：如何通过剪拼，帮助我们说明平方差公式。平方差为大小正方形面积差，(a+b)与(a−b)两个不同数相乘，联想到几何量中的长方形面积

？本图最好的呈现方式？

度，并且及时进行总结反思提升

不同程度的学生情况选择选用是否使用每一个追问，需要引导时教师及时提问，通过关键追问3，4将平方差公式的具体内容正式引发出来

教师及时切换、灵活调整、将不同的表达合一，让学生头脑保持清晰

及时板书

数形结合

通过几何画板或学生实投演示或小视频呈现拼接过程

没有正式介绍矩形，学生小学有一些基础知识，对于矩形面积公式比较熟练，适当与数、式结合，做简单的提示

于更好的分层教学

问题：是否可以采取第二种表达方式？

问题：通过面积验证平方差公式采取怎样的形式，将剪切拼接前后的图形放在同一幅图中还是分开。以及若按拼接先后顺序摆放，在列等式过程中会出现学生写出平方差公式的因式分解，怎样解决这样的矛盾？

追问7：你能得出一个什么等式？

学生通过剪裁正方形动手操作感知几何直观，进一步接近平方差公式的表达形式多媒体展示：图形割补得到矩形.

四、公式使用、应用

1、解析、辨析平方差公式

理解相同项、相反项的本质（通过实例、反例对比）体会项的整体性

(a-b)(a+b)

(1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a) 相同项a 互为相反项b，-b

a2-b2

(0.3x-1)(1+0.3x)

下列各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

(1)(x＋3)(x－3)＝x2－3；(2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4. (a-b)(a+b)

(1-x)(1-x) (-3+a)(3-a) (1-a²)(-1+a²) 相同项a

互为相反项b，-b

a2-b2

(-0.3x-1)(-1-0.3x)

2、巩固平方差公式

例1：运用平方差公式计算：

（1）（3x＋2）（3 x－2）

（2）（－x+2y）（－x－2y）

学生笔记并及时训练强化，规范使用公式格式，共同归纳如何准确使用公式，如何检验

练习1 (1)(3x－5)(3x＋5)

(2)(－2a－b)(b－2a)

(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)

例2

计算：

（1）102×98

（2）（y+2）(y-2) －(y-1)(y+5) ．

灵活、综合应用公式，体会公式简化计算的作用并且学会识别、合理选择使用

练习2

(1) 51×49;

(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) (3)先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. （4）计算：

（a＋b )

(a－b－1 )

五、归纳小结，提升

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）平方差公式的结构特征是什么？

（3）应用平方差公式是要注意什么？本节课融入的思想方法

承前启后，为本节内容的引入作铺垫；让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系（一般到特殊）；三个特殊的算式具有代表性和层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础。

及时强化

让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式子相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式子相当于公式中的“第二个数”b，并运用公式进行计算。

让不同学生在学习中得到不同收获

方法总结：对

整体贯穿平方差公式是多项式乘多项式中的特殊类型

让学生积极参与数学再创造活动，化特殊为一般，培养数学建模思想，化归思想.

渗透数形结合思想，了解公式几何背景. 突破难点.

学会用公式初步解题，体验公式的优越性和成功的喜悦.

方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)一边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相

六、课堂反馈

分层选用

奖励跟进

基础

强化

提高

探究层层递进

挑战卡片1 整除问题

选用

适当提高

对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？

挑战卡片2 平方差公式融入生活化背景

王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？

备用练习

（1）下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

1.(2x3a)(2x3b)(2x)2(3a)2

2. (2a3b)(2a3b)(2a)2(3b)2

3. (x2)(x2)x22

4. (3a2)(3a2)9a24

（2）运用平方差公式计算

1.（a+3b）(a-3b)

2.（3+2a)(-3+2a)

3. 51×49

4.（3x+4）(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

布置作业

分层挑战作业 课题型作业

标题

平方差公式 学生练习

板书设计

于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究化简求值以及整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，简化运算，然后根据结果的特征，进行代入计算或判断其是否具有整除性或倍数关系．

同，另一项互为相反数；(2)另一边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式

加入对比辨析以及探究拓展问题，强化基础的同时为学有余力的学生提供更大空间

课后反思

自我反思

学生反馈