数学活动优质课教案

八年级上册《探究比例的性质》教学设计

学校：襄阳市第三十四中学 设计人：全启君

一、内容与内容解析

（1）内容：比例的基本性质、反比性质、更比性质、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质. （2）内容解析：这是一节数学活动课，在探究比例的性质时，采用了从特殊到一般的数学方法，通过特殊的数字猜想比例的性质，再进行证明，加深学生对于比例的性质的理解.另外探究过程中也运用到类比的思想去逐步发现并证明比例的性质.故确立了本节课的教学重点：学生通过自主探究，猜想并证明比例的性质. 二、目标与目标解析

（1）目标：知道什么是比例的基本性质、反比性质、更比性质、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质，并能运用这些性质去解决基础的问题；培养学生能运用特殊到一般的数学方法去研究问题的能力. （2）目标解析：达成标志一为学生运用特殊到一般的数学方法对比例的其他性质进行猜想以及证明猜想的正确性；达成标志二是学生能利用这些比例的性质去解基础的习题. 三、教学诊断分析

学生在探究性学习方面的能力稍显不足，因此教师准确的引导，给学生指明探究的方向是很重要的，本节课的难点就在于学生能通过自主或小组探究寻找出比例的性质，并能进行验证.

四、教学过程设计

1.

情境引入

播放奥运会中国队入场的短视频：

看完视频，我相信大家印象最深的应该是大大小小的五星红旗. 大家都知道国旗的旗面是长方形的，那它的长宽是随意确定的吗？肯定不是，国家对于国旗的尺寸是做了明确规定的，那老师选取了常用的两种尺寸，我们一起来了解一下：

①长12cm，宽8cm；②长21cm，宽14cm. 【师】大家观察一下这两组数据有何共同点呢？

【生】（通过计算）12:8=3：2；21:14=3:2.在这个过程中，我们得到了这样的一个等式：（板书：12：8=21：14）

【师】那像12：8=21：14这样的等式，大家还记得我们叫它什么吗？

【生】比例式

【师】比例式中的比号可以用分数线代替，因此12：8=21：14还可以写成：1221的形式

814 【师】关于比例式，大家还记得哪些内容呢？（板书：以=）

【生】①归纳比例的定义：如果两个数a与b的比等于另外两个数c与d的比，那么称这四个数a、b、c、d成比例，记作a：b=c：d，或=，其中，a与d称为比例外项，b与c称为比例内项（板书：画圈，外项与内项）. ②比例的基本性质：在比例式中，两个外项之积等于两个内项之积.即：若=，则ad=bc.反之，若ad=bc，则=（bd≠0）（板abcdabcdabcdabcd

书：符号语言）. 【师】除此之外，比例还有哪些特殊的性质呢？这就是我们本节课所要探究的内容. 【设计意图】五星红旗尺寸的小故事一是德育的渗透，让学生知道国旗是神圣庄严的；二是通过国旗的五种通用尺寸引出比例及比例的基本性质，从而引出新课内容.

2.

探究新知

活动1：探究比例的反比定理、更比定理、合比定理和分比定理

【师】继续以1221这个比例式为例

814（1）①交换等号左右两边两个比的分子与分母的位置，其他不变，可以得到一个正确的比例式吗？

②任写一个正确的比例式，按①的过程，可以得到一个正确的比例式吗？

猜想：若=，则___________. 思考：如何证明这个猜想是正确的呢？（有小组探究出来了就让该小组的一个人去板书这个的证明过程）

归纳：比例的反比定理：在比例式中，把两个比的分子和分母同时交换后的比例式仍然成立.即，若=，则=. （2）①同时交换原比例式两内项（或两外项）的位置，其他不变，可以得到一个正确的比例式吗？

abcdbadcabcd

②任写一个正确的比例式，按①的过程，可以得到一个正确的比例式吗？

猜想：若=，则__________，__________. 思考：怎么证明这个猜想呢？（学生口述即可）

归纳：比例的更比定理：在比例式中，更换两个内项或者两个外项的位置，比例式仍然成立.即：若=，则=，=. （3）①将每个比的分子、分母之和作为新的分子，分母保持不变，可以得到一个正确的比例式吗？

②任写一个正确的比例式，按①的过程，可以得到一个正确的比例式吗？

猜想：若=，则______________. 思考：如何证明这个猜想是正确的呢？（有小组探究出来了就让该小组的一个人去板书这个的证明过程）

归纳：比例的合比定理：在比例式中，第一个比的分子分母之和与分母的比等于第二个比的分子分母之和与分母的比，即：若=，则abcd=. bdabcdabcdabcdacbddbcaabcd（4）①将每个比的分子、分母之差作为新的分子，分母保持不变，可以得到一个正确的比例式吗？

②任写一个正确的比例式，按①的过程，可以得到一个正确的比例式吗？

猜想：若=，则______________. 思考：如何证明这个猜想是正确的呢？（学生口述即可）

归纳：比例的分比定理：在比例式中，第一个比的分子分母之差与分母的比等于第二个比的分子分母之差与分母的比，即：若=，则abcd. bdabcdabcd【设计意图】通过学生自己讨论，教师适当的引导，让学生全程参与探究比例的反比和更比定理，可使学生对新知识印象更加深刻. 练习：

（1）若m2n，则______. n5mx2y3（2）若，则=______. （3）若3，则（4）若xyxy______. yxyxy17x，则______. 9yy52【设计意图】（1）利用到比例的反比定理，可求得结果为；（2）利用到比例的更比定理，可求得结果为.两道练习题进一步巩固反比与更比定理.（3）考察学生对合比定理的掌握情况，结果为4；（4）考察学生对于分比定理的掌握情况，结果为；

活动2：探究比例的等比定理

【师】以1221为例

8148923任意写出一个比，使得它们的比值为3：2，如果我们把这三个比的分子分别相加当作第四个比的分子，再把这三个比的分母分别相

加当作第四个比的分母，得到了第四个比，在这个过程中你发现了什么？

猜想：若abcm...（b+d+...+n≠0），则_______________________. dn思考：你能证明这个猜想吗？（有小组探究出来了就让该小组的一个人去板书这个的证明过程）

归纳：比例的等比定理：若干个相等的比的所有分子之和与所有分母之和的比等于原来的各个比.即：若则ac...macm.... bd...nbdnabcm...（b+d+...+n≠0），dn【设计意图】通过具体的习题让学生从特殊的例子接触等比定理，进而归纳一般情况下的等比定理及其证明方法，即“设K法”. 练习：

（1）已知（2）已知ababce1，且a+c+e=3，则b+d+f=______. 2dfceaceac2e2，则______. =______；dfbdfbd2f【设计意图】两道习题主要考察比例的等比定理的运用以及“设K法”的使用，如（2）题的第二个空.（1）结果为6；（2）结果为2、2.

3.

课堂小结

【师】通过本节课你们学到了什么？

【生】比例的基本性质、反比性质、更比性质、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质是什么；在探究这些比例的性质的过程中利用

了从特殊到一般的数学思想，在探究活动中我们采用的是合作学习的方式，合作学习对学生而言，①能培养我们的团队合作能力；②我们尽力完成团队分配给我们的任务，帮助团队获得成功，这能够培养我们的责任感.③培养积极主动的人格，为以后的生活与学习打好基础；④扩展知识面，自己不懂的问题可以通过组内其他成员得到解答.

4.

课后检测

（1）已知4x=5y，则x：y=_______. abab_______；_______. bbabc（3）若△ABC的三边长分别为a，b，c且满足，则△ABC为bca（2）已知，则ab43_______三角形. （4）若x3yzxyz，则_________. 57xyz【设计意图】（1）检验比例的基本性质，结果为5：4；（2）检验比例的合比定理，分比定理以及合分比定理，结果为，；（3）检验比例的等比定理，还考察了等边三角形的判定；（4）检验在比例解题过程中“设K法”的使用，结果为5.

5.

板书

比例的性质

比例的基本性质

若=，则ad=bc；若ad=bc，则=（bd≠0）. 反比定理

acbdacbd若=，则=. bdacabcd7313

更比定理

合比定理

分比定理

等比定理

acabdcbdcdbaacabcd若=，则=. bdbdacabcd若=，则. bdbdacm...若（b+d+...+n≠0），则bdnac...macm.... bd...nbdn若=，则=，=.