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《14.2.1 平方差公式》教学设计

教学目标：

1、经历平方差公式的推导过程。

2、能推导平方差公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。

3、在推导公式的过程中培养观察、归纳、概括和推理能力。

4、在计算过程中发现规律，进而培养学生符号感，让学生体会数学的简洁美。

教学重点：推导平方差公式，并能利用公式进行简单计算。

教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式。

教学设计：

一、回顾旧知，设问引入

。

问1、（a+b)(p+q)= 问2：计算下列多项式的积

(1)

(x+1)(x-1) (2)

(m+2)(m-2) (3)

(2x+1)(2x-1) 设计意图：利用多项式乘多项式计算出（a+b)(p+q)中a=p且b=-q时的积，为归纳平方差公式做铺垫。

二、观察思考，探究定理

1、观察：

( x+1)( x-1)= x2 -12

( m+2)( m-2)= m2

-22

(2x+1)(2x-1)=(2x)2

-12

问3、上面式子中每对多项式的运算形式有什么共同特征？

问4、上面式子中每对多项式的运算结果有什么共同特征？

问5、上面式子中每小题的运算形式和结果有何共同的联系？

问6、你能举出类似例子，并直接写出运算结果吗？

2、归纳概括：

上面的几个运算及大家列举的那些运算都是形如a+b的多项式与a-b的多项式相乘，由

于

（a+b)(a-b)=a2 - ab + ab - b2 =

a2 - b2 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即

（a+b)(a-b)=

a2 - b2 问7、你能用一句话概括上面的式子吗？

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法）的平方差公式. 问8、（a+b)(a-b)=

a2 - b2

的特征是什么？

特征：1、一同一反结构；

2、两个二项式的积；3、运算结果同方减反方。

3、思考：你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗？

图1 图2 图3 学生观察图形后，用面积概括说明平方差公式。

师生归纳：

图1中红色和黄色阴影部分面积可以整体看为长为（a+b），宽为（a-b）的长方形的面积，所以阴影面积为

(a+b) (a-b) . 图1中红色和黄色阴影部分面积还可以看为把右侧黄色长方形剪切放在红色长方形左下方（即图2），这时阴影面积可以转化为图3中以a为边长的正方形面积与以b为边长的正方形面积之差，即

a2 - b2 所以就有：（a+b)(a-b)=

a2 - b2

设计意图：通过对比得出这类多项式乘多项式的共同特征，归纳总结出结果与式子中项的对应关系，进而归纳出平方差公式，最后用图形面积再次验证平方差公式，整个探究过程让学生体会从特殊到一般，数形结合的数学思想。

三、典例分析

例１

运用平方差公式计算

（1）(3x+2)(3x-2) (2) (-x+2y）（-x-2y) 分析：在（1)中，可以把3x看作a，2看作b，即

(3x+2)(3x-2)=

(3x)2 - 22 （a+ b)( a-b)=

a2

- b2

（2）解：(1)(3x+2)(3x-2) (2) (-x+2y）（-x-2y) =

(3x)2 - 22

=

(-x)2 -( 2y)2 =

9x2 - 4

=

x2 - 4y2 例2 计算

（1）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) （2）102×98

（运用平方差公式简便运算）

小结：平方差公式中的a、b可以是数，也可以是整式；要符合平方差公式的结构才能用平方差公式。

四、巩固练习

教材P108页练习1、2题。

五、归纳小结，反思提高

1、通过这节课，你学到了哪些知识？

2、通过这节课的学习过程，谈谈推导一个运算公式方法步骤是什么？

3、你学到了哪些数学思想方法？

设计意图：让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习过程中感受悟从特殊到一般、数形结合等思想，掌握推导公式的研究方法。掌握一类型公式的推导方法，进而为下节课完全平方公式的推导做了方法指引。

六、布置作业

（1）教材P112习题14.2第1题；

（2）阅读教材P109，试着推导完全平方公式。

设计中的疑惑：

这一章节中有许多地方都用图形的面积来演示公式的正确性，除了让学生理解数形结合思想还有什么作用呢？