有理数乘除法的混合运算课堂实录【3】

1．4 有理数的乘除法、乘方

指向关键点：

跟加减法一样，乘除法也一直伴随着我们的数学学习，只是运算的对象在不断发生变化，我们现在乘除法的运算对象是有理数．

乘法是加法的简便运算，几个相同加数的和，简便成加数与加数的个数的积，除以一个数等于乘以这个数的倒数．

乘方是乘法的简便运算，几个相同因数的积，简便成以因数为底，因数的个数为指数的幂．

乘、除法、乘方最终是在做乘法运算，因此乘法运算是这三种运算的核心．

运算律可以简化运算

寻找支撑点：

有理数的乘法、除法及乘方都要注意确定好结果符号，以乘法为例，几个非零因数的积，积的符号由负因数的个数决定，有奇数个负因数，积为负；有偶数个负因数，积为正．

乘方运算中，幂的正负取决于负底数的指数的奇偶性．

例1 已知两个有理数a，b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）

A．a＞0，b＞0B．a，b异号，且正数的绝对值较大

C．a＜0，b＞0D．a，b异号，且负数的绝对值较大

分析：有有理数的积与和的符号判断因数，加数的符号．

解：因为ab＜0，所以a，b异号，又因为a＋b＜0，所以负数的绝对值更大，故选D．

例2 一个有理数与其相反数的积（）

A．

符号必定为正B．符号必定为负C．一定不大于零D．一定不小于零

分析：分类考虑，如果这个有理数非零，则它与自己的相反数异号，积为负，如果这个有理数是零，积为零．

解：选C．

运用运算律的实质是以精简运算为目的，正确运用运算规律，调整运算顺序，乘法的运算律有交换律和结合律，乘法对加法的运算律有分配律．

在运用交换律和结合律时可以做如下几点考虑：除法运算不能直接用，转化为乘法后可以用；把容易约分的放在一起，把积为凑整的放在一起；乘方运算，看底数的特征，也可以用交换律和结合律简化运算．

分配律可以看做去括号或填括号，视具体的数采用适当的顺序，带分数乘法中，有时可以将带分数写成整数与分数的和，再运用分配律计算．

例3 计算

（1）87.22.5524（2）

495

12255一起乘，对于（2）积为负，12分析：先确定符号，对于（1）积为负，可以将8与2．5一起乘，7．2与可以将49241写成和的形式50，再用分配律．

2525

解（）1

87.22.5582.57.21220360（2）

4924525

1－5052512505

4－2495512

有理数乘方的结果叫做幂，实际上是在做乘法运算，意义为几个相同因数的积，相同因数为底数，因数的个数为指数．

如果底数是负数或分数，底数要括起来，反之，如果没有括号，我们就要慎重对待，弄清幂的底数到底是谁，比如，2与2的意义是不一样的，前者的底数为2，其4次幂后取相反数，结果为－16，44而后者的底数为－2，其四次幂的结果为16．又如，238282表示2的3次幂除以3，结果为，而表示的3次幂，结果为．

333273例4

计算下列各题：

4542（1）（-3）；（2）（-2）；（3）-32（-2）；（4）-22（-3）

3分析：第（1）、（2）两小题，直接求幂，先确定幂的符号，再将底数的绝对值自乘若干次；第（3）题是求3的2次幂的相反数与－2的4次幂的差，结果是差，因此先计算幂，再作差；第（4）题是求2的2次幂与－3的2次幂的积的相反数，实质都在作乘法，先确定符号，再算幂，最后算积．

解 1.3=8142.2=3243.322=916=25

254.223=49=36追问延伸点

记数和运算都是人类的一种约定，就记数而言，通常为十进制，由0，1，2，3，……9十个基本字符组成，

逢十进一，有些地方用到二进制、十六进制、六十进制，等等．

加、减、乘、除、乘方等运算，都是人为约定的，我们可以定义一些新的运算，而运算律能否使用某种运算则需要证明．

例5

若a，b为有理数，定义新运算：ab2ab1

（1）

计算：35；356

（2）

验证该运算是否满足结合律

分析：由定义可知，这种运算是求两个数积的2倍与1的和，验证结合律，即是分别计算看它们的结果是否相等．

abc和abc，解1.35=2351=29

356=296=22961=3492因为abc=2ab1c=22ab1c1=4abc2c1,abca2bc12c2ab114abc2a1所以，若a=c，满足结合律，若a≠c，则不满足结合律.例5

2014可以在g进制中写成三位数xyz

g，如果x＋y＋z=26，请确定所有可能的x，y，z和g的值．

分析：运用g进制的知识，将2014，表示成关于g的幂的形式，再借助整除的性质分析求解．

解

xyzgxg2ygz2014,xyz26,xg21yg121988.g1xg1y2771.2014可以在g进制中写成

三位数，10＜g＜50，g-114或28，g15或29，当g15时，2014815214154；当g29时，20142292112913.x8，y14，z4和g15或x2，y11，z13和g29分级训练题

A级

1.

三个数的积为正数，那么这三个数中负因数的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．0个或2个

2．计算：1.=；（2）．23．计算：4=；2=；3=．

34

439212=．

634．一个有理数x若满足x=4，则x=；若x=8，则x．

5．化简：（1）227230=；（2）=．

9456．设有理数a，b，c满足a＋b＋c=0，abc＞0，则a，b，c中正数的个数为．

7．（1－2）（3－4）（5－6）×……×（99－100）=．

8．计算：

（1）.-32；（2）.-13312332322

2322（3）.；（4）.323339．计算；

5519（）1.1255；（2）.-2.5；（3）.369

7841110．计算：

128（）1.（-12）41；（2）.0.25

535B级

11．如果a＜b＜0，那么下列式子成立的是（）

A．ab＜1

B．＜C．＞1D．＜1

1a1babab1a11112222A．＜a＜aB．a＜a＜C．a＜a＜D．a＜＜a

aaaa12．若0＜a＜1，则a,a,的大小关系是（ ）

213．已知A=aa2a3……a2014,若a=1，A=m；若a=1，A=n，则（）

A．n＋m=0

B．n≥mC．n＋m＜0

D．n≤m

14．观察下列数表：

1234234534564567第一行第二行第三行第四行

第第第第一二三四列列列列（第14题）

根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（）

A．2n－1

B．2n＋1

C．n1D．n

15．第一步：取一个自然数n15，计算n11得a1；

第二步；算出a1的各位数字之和为n2，计算n21得a2；

第三步；算出a2的各位数字之和得n3，再计算n31得a3；

…………

以此类推，则a2014=．

22222

16．据报道，目前用超级计算机找到的最大质数是28594331，这个质数的末尾数字是．

6，4,0,3,5,7中任取三个不同数并相乘，则最小的乘积是．

17．从8，18．计算：

11113111；（2）.48248123646

152215.130.34130.343.998； （4）1637371.8C级

19．对正有理数a，b定义运算如下：ab20．求证：0.099＜ab111，则．

1ab2581111021121221＜0.11

1000221．下图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为16时，最后输出的结果y是多少？

输入x+4-(-3)2×11-32÷(-0.5)否结果是否大于3？是（第21题）输出y

参考答案

1.4 有理数的乘除法、乘方

21281791.D2.-,. 3.-64，16，-9. 4.±2，2. 5.-8，. 6.1个 7.1. 8.72,2，-，. 393927164,1,-4. 10.-2.5,-. 11.C12.C13.D14.A15.26. 16.1. 17.-280. 7152118.5,-22,-799,-13.34. 19.1. 20.略，提示：缩放法. 21.4. 329.25