习题训练多媒体教案及点评

中考专题—最短路径问题（训练课）

黄庄中学 石秋丽

【设计思想】本节课是节中考专题课，我采用小组合作探究的教学模式，选用引导发现法、抽象概括。总结探究的教学方法完成教学任务。为学生营造一个民主、平等而又贴近中考的数学的课堂，我以新数学课程标准下的基本理念和总体目标为指导思想在教学过程中始终面向全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的生活场景做为教学起点，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的数学情感体验。通过“以往的数学试题—用生活中的数学建模—应用实践—跟踪训练—直击中考—小结升华”的思想，让每个学生都有所得让学生感知数学与生活的联系。在教学过程中我注意课本前后知识的链接，进行各学段间的整合，为学生提供了广阔的思考空间，同时辅以相应的练习，为学生创设轻松、愉快的学习氛围。让学生在学习中感悟生活中的数学的存在性和数学的美。在这节课上我根据学生特点充分利用练习与多媒体课件结合，起到很好的促进作用。

【教材分析】

“最短路径问题”位于人教版八年级上册13章第4节的内容，在中考中的最短路径问题是较容易出现的考点，学生这节课将“模型意识”学习和掌握的扎实，也就是这节课的重点。最关键的是要让学生掌握基础模型，将“两个定点一条定直线”的模型先找出来，这是这节课的难点。与前面的学段基础衔接，将垂线段最短、两点之间线短段、两边之和大于第三边、及轴对称四个学段的相关知识连成一个相互联系、螺旋上升的整体。结合相关题型的练习与中考问题紧密结合，选择典型的、学生想学会的题完成本课任务。本节课使学生借助特殊三角形、特殊四边形、圆、抛物线等这些基本图形的轴对称性，运用对称变换等方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。

【学情分析】针对九年级学生的年龄特征和心理特征以及他们的认知水平，采用启发式、引导、讨论总结、归纳等教学方法，让学生始终处于主动学习的状态。我直观的从试题引入，使他们的求知欲，又从生活中的数学进行旧知链接，在教学中不断激发他们的求知欲，吸引他们的注意力。一方面我直击中考，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，培养他们的团队意识，让学生发现数学，发表见解，发挥学生学习的主动性。另外，我加强师生之间的亲和力的培养，多研究学生，注意师生之间的思维差异，多引导学生在探究与回

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忆中巩固知识链接，使师生专利教与学的目标一致。

【教学策略】鉴于教材特点及对学生情感的培养及情感教育，因此确定教学目标学生的认知水平，我选用引导发现法和合作探究方法及归纳小结的思想。让学生在课堂上多活动、多观察、多交流，主动参与到整个教学活动中来，在课堂教学活动过程中，我作为学生学习的组织者、引导者与合作者，注意突出学生的数学实践活动，变“教学”为“导学”，利用制作的课件演示，增强了课堂学生的参与性，提高了课堂效率。在教学中我尽力引导学生成为知识的探究者，把教师的点拨和学生解决问题结合起来，在探索最短路径的过程中，体会轴对称、平移的作用，感悟转化思想,感受最短路径在生活和生产中的作用．体会数学的应用价值。

【教学目标】根据数学课程标准和本节课教学内容特点，针对学生已有认知水平，我从知识、能力、情感态度三个方面确定本节课的目标：

（一）知识与技能（1）能够利用垂线段最短原理确定最短路径

（2）

能够利用“两点之间、线段最短”原理确定最短路径

（3）熟练构建“对称模型”确定最短路径

（二）过程与方法：(1)借助特殊三角形、特殊四边形、圆、抛物线等这些基本图形的轴对称性，运用对称变换等方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。

(2) 在巩固总结活动中，积累一定计算经验，发展有条理的总结与表达能力，培养学生归纳的思想。

（三）情感态度与价值观：在探索最短路径的过程中，体会轴对称、平移的作用，感悟转化思想,感受最短路径在生活和生产中的作用．体会数学的应用价值。

【教学重点】利用轴对称等数学知识，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”及“垂线段最短”问题（建立数学模型），增强解决实际问题的能力。

【教学难点】综合运用轴对称、平移等数学知识，将不在同一直线上的线段转化在同一直线上（转化定点），从而解决线段和（周长）最小值问题。

【教学方法

】鉴于教材特点及对学生情感的培养及情感教育，因此确定教学目标学生的认知水平，我选用引导发现法、抽象、概括、总结探究法。让学生在课

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堂上多活动、多观察、多交流，主动参与到整个教学活动中来。

教学媒体：多媒体课件 手机助手 投影等

教学流程：

（一）

举例引入-由试卷中的数学深入

举例，某同学回家走的两条路线引出本节课内容，在从由试卷中的三道数学题引入，引发学生的求知欲 （二）生活情景切入问题

问题1：如图1所示，Ａ植树地点，L为水渠，将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管最短？ 问题2：如图2所示，Ａ、Ｂ两点为植树地点，L为水渠，将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管总和AC+BC最短？

问题3：如图3所示，Ａ、Ｂ两点为植树地点，L为水渠，将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管总和AC+BC最短？

设计意图：通过对已有知识的复习，提炼最短路径的对称模型，从而解决更多不同背景下的题目。引导学生观察、类比；联想已有知识经验；分析新的问题等活动，让学生充分感受知识的产生和发展过程

（三）应用实践（举例）

如图4，等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，P为AD上一点，则BP+PE的最小值等于 ．

步骤：

1.抽象模型

2.作或者找对称点

3.连线段定交点

4.求线段长度

（四）跟踪练习（

练一练

）

3 图4

1如图5所示，正方形ABCD的边长为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（

） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图6，已知菱形ABCD的周长为20，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=______．

图5 图6 设计意图：通过等边三角形、正方形、菱形等基础图形为背景，通过找和做对称点总结遇到不同类型题的不同做法。

（五）直击考点

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B. （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在对称轴上是否存在点P，使PA+PC最小？若存在，求出PA+PC的最小值；若不存在，请说明理由. 变式1：在对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出△PAC周长的最小值；若不存在，请说明理由. 变式2：在抛物线的对称轴x=1上求一点P，使点P到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点P的坐标；

设计意图：抛物线是中考题中比较易考的图形，其本身也具有对称性，所以回归到中考题目，抓模型、练分析，分解难点。

（六）小结升华

谈一谈这节课你有哪些收获？与大家分享一下吧? 设计意图：在探索最短路径的过程中，体会轴对称、平移的作用，感悟转化思想,感受最短路径在生活和生产中的作用。让学生自己谈对本节课的收获，让学生畅所欲言，放松心情交流总结，使不同层次的学生都能有所收获。

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师：在生活中应用最短路径应用非常广泛的，在这些次的中考模拟训练中大家也体会到了它的重要性。希望大家做一个有心人，用我们学的最短路径问题能顺利的解决生活的中考中遇到的问题。最后教师和同学们分享一句话：人生没有最短路径可走，

只能踏实走好每一步。祝！同学生们中考成功！

（七）拓广探索

如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（

）

A.2 B.4 C.22 D.42

（八）课后作业

作业布置：

1.

如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 .

2.

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC

上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。

设计意图：通过作业及时了解学生学习效果，调整教学安排。使学生通过独立思考，学会反思，自我评价学习效果。

（九）教学板书：

最短路径问题（训练课）

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能够利用垂线段最短原理确定最短路径

能够利用“两点之间、线段最短”原理确定最短路径

熟练构建“对称模型”确定最短路径

步骤：

1.抽象模型

2.作或者找对称点

3.连线段定交点

4.求线段长度

教学设计评价：

本节课通过“以往的数学试题—用生活中的数学建模—应用实践—跟踪训练—直击中考—小结升华”的思想，让每个学生都有所得；用已有的知识理论抽象出这节课“最短距离”中的数学模，让学生充分感受知识的产生和发展过程，让学生始终处于积极思维状态之中。

1、通从三道试题引入活动，引出最短路径问题，用让学生亲自发现数学学习过程中的不足之处，激发学生的学习欲望，引发自行学习的内在动机。

2、重视“探究模型”的形成过程。我通过用生活中的数学建模，从具体实例开始，有具体实例的支持做为本课的出发点，又通过学生的讨论、总结、归纳等一系列活动，从而抽象出“最短距离”的模型。这样即加强数学背景，体现“最短距离模型”的思想，又加强模型的形成过程。在学生头脑中形成丰富的模型例证，通过引导接近数学模型。

3、遵循学生的认知规律。通过学生的讨论、探究、归纳，人为得出模型，到不同图形中模型的应用方法，让学生在辨别模型在不同图形中出现时，巩固模型。与前面的学段基础衔接，将垂线段最短、两点之

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间线短段、两边之和大于第三边、及轴对称四个学段的相关知识连成一个相互联系、螺旋上升的整体。结合相关题型的练习与中考问题紧密结合，选择典型的、学生想学会的题完成本课任务。本节课使学生借助特殊三角形、特殊四边形、圆、抛物线等这些基本图形的轴对称性，运用对称变换等方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。

4、体现数学育人的思想。在这节课教学中让学生“悟”出最短路径问题建模的方法，“悟”出找最短路径问题理论依据。①让学生在具体情景中体会最短路径问题建模的方法，在直击中考中体会“以不变应万变”的建模方法，让学生悟出其中的方法。②教师举例子调动学生的建模的经验，让学生“悟”出到不同图形中模型的应用方法。③让学生在小结反思中悟出数学与生活的意义。引导学生不断思考、感悟人生。

本节课在探索最短路径的过程中，体会轴对称、平移的作用，感悟转化思想,感受“最短路径”在生活中的作用．体会数学的应用价值。以后学生再见到类似问题时，就不会感到陌生。谢谢大家，这是我对本节课的几点认识

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