整式的乘除教学实录

《整式的乘除》教学设计

固始县草庙一中 孙士媛

教学分析

14.1（一）整式的乘法

14.1.1同底数幂的乘法

14.1.2幂的乘方

14.1.3积的乘方

14.1.4整式的乘法

1.单项式乘单项式

2.单项式乘多项式

3.多项式乘多项式

14.1（二）整式的除法

1.同底数幂相除

2.单项式除以单项式

3.多项式除以单项式

第1课时

同底数幂的乘法

教学分析

重点：掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算。

难点：对法则推导过程的理解及逆用法则。

关键：关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。

教学过程

一、复习活动

1．填空。

(1)2×2×2×2×2＝（ ），a·a·…·a＝( ) m个

1．下述题目，要求学生说出每一步变形的根据之后，再提问让学生直接说出2×2＝( )，3×3＝( )，由此可发现什么规律? (1)2×2＝( )×( )＝2(2)5×5＝( )×( )＝5(3)aa＝( )×( )＝a34343232( )( )( )3567，

，

。

mn2．如果把a×a中指数3和4分别换成字母m和n(m、n为正整数)，你能写出aa的结果吗?你写的是否正确? (让学生猜想，并验证。) 即a·a＝a(m、n为正整数) 这就是同底数幂的乘法法则。

让学生用文字语言表述法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

3．说明:同底数幂的乘法法则是初中数学中第一个关于幂的运算法则，应充分展示教学过程。

二、举例及应用。

1．例1、计算：

mnm＋n

（1）10×10 （2）a·a （3）a·a·a

第2课时

幂的乘方

教学分析

重点：掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算。

难点：对法则推导过程的理解及逆用法则。

关键：利用教材内容安排的特点，把幂的乘方的学习与同底数幂的乘法紧密联系起来。

教学过程

一、新授。

1．x表示什么意义? 2．如果把x换成a，那么(a)表示什么意义? 3．怎样把a·a·a·a＝a4．由此你会计算(a)吗? 5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空。

(1)(2)＝2×2＝2233533233( )4522222＋2＋2＋2443334335写成比较简单的形式? ；

( )(2)(3)＝( )×( )×( )＝334；

( )3n(3)(a)＝a×( )×( )×( )×( )＝a119。

6．用同样的方法计算：(a)； (a)； (b)(n为正整数)。

这几道题学生都不难做出，在处理这类问题时，关键是如何得出3＋3＋3＋3＝12，教师应多举几例。

教师应指出这样处理既麻烦，又容易出错。此时应让学生思考，有没有简捷的方法?引导学生认真思考，并得到：

(2)＝2323×2＝2； (3)＝3＝3； (a)＝a6232×3611911×9＝a (b)＝b993n3×n＝b

3n(现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?)怎样说明你的猜想是正确的? 即(a)＝a·(m、n是正整数)。

这就是幂的乘方法则。

你能用语言叙述这个法则吗? 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

二、举例及应用。

例2、下列计算过程是否正确? (1)x·x·x＋x·x·x＝x＋x＝x。

(2)(x)＋(x)＝x＋x＝x

(3)a·a·a＋a·a·a＝a＋a＝2a。

(4)(a)＋a·a＝a＋a＝2a。

说明：(1)要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公式用错。(2)进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系。

23336662532388842538152326354ll102lmnmn第3课时

积的乘方

教学分析

重点：探索积的乘方法则的形成过程。

难点：积的乘方公式的推导及公式的逆用。

关键：关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。

教学过程

3.探索，概括。

于是我们得到了积的乘方法则：(ab)＝ab(n是正整数)。

这就是说，积的乘方，等于各因数乘方的积。

教师应一步一步地引导学生，得出结论(因为指数是用字母表示的，就学生的思维状况来说是个难点)。然后让学生自己对照公式总结，自己叙述出法则。

4．引导学生剖析积的乘方法则。

问题：三个或三个以上因式的积的乘方，是不是也具有这一性质? (1)(abc)＝(ab)c＝abc。

nnnnnnnnn

即(abc)＝abc(n为正整数)。

三、举例及应用。

1．例3计算：

(1)(－2b)； (2)(2×a)； (3)(－a)； (4)(－3x)。

33234nnnn第4课时

单项式与单项式相乘

教学分析

重点：对单项式运算法则的理解和应用；

难点：尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律；

关键：正确认识单项式与单项式的系数、相同字母、不同字母三者在它们的乘积中的处理方法。

教学过程

一、复习活动

1．判断下列计算是否正确，如有错误加以改正。

(1)a·a＝a (2)a·a·a＝a； (3)(a)＝a； (4)(3ab)·a＝6ab。

2．计算：

(1)10×10×10＝( )； (2)(a＋b)·(a＋b)·(a＋b)＝( )； (3)(－2xy)＝( )。

二、导入新课。

我们刚才已经复习了幂的运算性质。从本节开始，我们学习整式的乘法。我们知道，整式包括什么?(包括单项式和多项式。)因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。这节课我2434232351025732922424

们就来学习最简单的一种：单项式与单项式相乘。

第5课时

单项式与多项式相乘

教学分析

重点：掌握单项式乘以多项式的法则。

难点：熟练地运用法则，准确地进行计算。

关键：单项式与多项式相乘时应用乘法分配律转化为单项式相乘。

教学过程

一、复习活动

1．单项式与单项式相乘的法则? 单项式乘以单项式就是系数与系数相乘，相同字母按同底数的幂相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

2．完成下列各题。

(1)2x·(－4xy)＝( )； (2)(－2x)·(－3xy)＝( )；

122352(3)(－ ab)·( ab)＝( )； (4)12(

－

＋ )＝( ) 23346二、引导观察，图形演示。

2351．在l2×(

－

＋ )中，你是怎样计算的?用什么样的方法较简单?(乘法分配律。) 346235235即12×(

－

＋ )＝12×

－12×

＋12×

。

3463462．我们知道代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，你会计算m(a＋b＋c)吗? (引导学生用乘法的分配律解决。) 3．你算出的结果能否用长方形的面积加以验证?(出示图。) 大长方形的面积有两种表示方法，一是长为a＋b＋c，宽为m，面积是m(a＋b＋c)；二是三个小长方形的面积和，即am＋bm＋cm。它们都是大长方形的面积，所以它们是相等的，即m(a＋b＋c)＝am＋bm＋cm。

4．在m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc中，“m”是单项式，“a＋b＋c”是多项式，这两者相乘，从中你能看出什么规律? (在教师的引导下，学生总结出法则，并用语言叙述。) 法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。

用式子表示为：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc

三、举例及应用。

1．例1计算：(－2a)·(3ab－5ab)。

解：(－2a)·(3ab－5ab) ＝(－2a)·3ab＋(－2a)·(－5ab) ＝－6ab＋l0ab。

(此题是为了熟悉法则，解题时要严格按法则，教师示范解题格式。) 212224．例3计算：－2a( ab＋b)－5a(ab－ab)。

23233222322322322(该题是含有两个单项式与多项式相乘的混合运算，对于后一个括号中的“－”的处理，要看成是单项式的符号。)

第6课时

多项式与多项式相乘

教学分析

重点：多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用；

难点：多项式乘以多项式的法则的正确应用；

关键：多项式的乘法应先转化为单项式乘多项式相乘进行运算，进一步再转化为单项式的乘法。

教学过程

一、复习活动

指名学生说出单项式与多项式相乘的法则。

(单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加。) 二、引导观察，图形演示。

1．式子p(a＋b)=pa＋pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式。如果p=m＋n，那么p(a＋b)就成了(m＋n)(a＋b)，这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题。(由此引出课题。) 你会计算这个式子吗?你是怎样计算的? (教师引导学生由繁化简，把m＋n看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即：[(m＋n)(a＋b)=(m＋n)a＋(m＋n)b=ma＋mb＋na＋nb。] 2．你能用图形验证你算出的式子吗? 某地区在退耕还林期间，有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米。请你表示这块林区现在的面积。

问题：(1)如何表示扩大后的林区的面积? (2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢? (学生分组讨论，相互交流得出答案。) 学生得到了两种不同的表示方法,一个是(m＋n)(a＋n)米；另一个是(ma＋mb＋na＋nb)米.以上的两个结果都是正确的。

3．观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到?如果能得到，又是怎样相乘得到的?(教师示范。) 你能用语言叙述这个式子吗? 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：(m＋n)(a＋b)=ma＋mb＋na＋nb。

22第7课时

同底数幂的除法

教学分析

重点：准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算。

难点：理解同底数幂的除法的运算算理。

关键：根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则。

教学过程

一、复习活动

（1）叙述同底数幂的乘法性质．

（2）计算：①102103 ②2233 ③a2a3

amanamn．（m，n都是正整数）

二．导向深入，揭示规律

我们通过同底数幂相乘的运算法则可知，x那么，根据除法是乘法的逆运算可得x也就是x552x3x5

x3x2

x3x53x2

2同样，a那么am53532a3a5，aaaa

an，当m，n都是正整数时，如何计算呢？（板书）

你能说一说同底数幂相除的运算法则吗？

学生总结，教师归纳：同底数幂相除的运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减

三．尝试反馈，理解新知

例1计算：（1）x例2计算：（1）8x2 （2）(a)4(a)

ab5ab2 （2）yn2y2

第8课时

单项式除以单项式

教学分析

重点：掌握整式除法运算法则，并学会简单的整式除法运算。

难点：理解和体会单项式除以单项式的法则。

关键：通过整式乘法，类比数的运算，迁移到整式除法运算。

教学过程

一、复习活动

（l）叙述同底数幂的除法性质．

（2）计算：（1）a10a3

（2）y7y6

（3）105105

（4）y3y3

m学生活动：学生回答上述问题．（aanamn，m，n都是正整数，且m＞n）

通过复习引起学生回忆，且巩固同底数幂的除法性质．同时为本节的学习打下基础，注意要指出零指数幂的意义．

二．指出问题，引出新知

问题

地球的质量约为5.98×1024千克，木星的质量约为1.9×1027千克.问木星的质量约是地球的多少倍？（结果保留三个有效数字）

分析

本题只需做一个除法运算：（1.9×1027）÷（5.98×1024），我们可以先将1.9除以5.98，再将1027除以1024，最后将商相乘.

解

（1.9×1027）÷（5.98×1024）＝（1.9÷5.98）×1027-24≈0.318×103＝318. 答：木星的重量约是地球的318倍. ①

8a32a ②

6x3y3xy ③ 12a3b2x33ab2 你能根据以上所学说一说单项式除以单项式的运算法则吗？

学生总结，教师归纳：单项式除以单项式法则：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

三．范例学习

例1 计算（1）24a评析：注意b课堂演练：

计算：（1）28x423b23ab2 （2）－21a2b3c3ab

（3）6xy23xy

2b2=b0=1，字母c只在被除式中出现，结果它仍保留在商中. y24x3y （2）15a5b3c15a4bc2

第9课时

多项式除以单项式

教学分析

重点：掌握多项式除以单项式的运算法则及简单运算。

难点：理解和体会多项式除以单项式的法则。

关键：类比数的除法，除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数，也可利用逆运算进行考虑。

教学过程

一、课堂小测

1、2rs4rs 2、－13xy2223431x4y522

3、2ab22ab4a2b2ab 4、6ab2÷2ab－4a2b÷2ab

二．讨论

1.问题提出

计算下列各式，谈谈你是怎么计算

（1）（am＋bm）÷m （2）a2aba （3）4x2y2xy22xy

2.你能根据1说一说多项式除以单项式的运算法则吗？

学生总结，教师归纳：多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

三、范例学习

例3 计算

（1）9x415x26x3x （2）28a3b2ca2b314a2b27a2b

四、课堂演练

计算：（1）(12a（2）6a23a)÷3a 21x4y335x3y27x2y27x2y3

（3）[

xy2y（2x＋y）－8x]÷2x