多边形的外角和优秀教案

一．本节教学内容解析

1.

内容：

本节是人教版八年级上11.3多边形及其内角和的第三课时。

2.

内容解析：

多边形以三角形为基础，多边形的边，内角，外角，内角和，外角和等相关概念都可以与三角形类比，而多边形有很多种途径可以分成几个三角形，因此，多边形的问题常常可以转化为三角形的问题来解决。

多边形内角和与外角和是多边形相关知识的基础，是初中数学课程的重要

内容，现在在实际教学中，很多教师比较重视多边形内角和公式的探索程．其

实，多边形的外角和更具一般性。多边形外角和为常数360°，不随边数的变

化而变化，这就是说这个性质反映了这一类多边形的共性，深刻揭示了多边形

封闭性的本质特征。因此探究多边形的外角和不仅利于培养学生发现问题，解

决问题的能力，更利于学生掌握数学的本质，发展合情推理与演绎推理能力。

多边形的外角和的探究区别于内角和的探究，我们并不是借助分割成三角形，因为外角和如果类似内角和探究一样，存在的问题是分割过程中多边形的外角与三角形的内外角关系不是很明确，以及没有一般性。所以本节课通过几个简单的实验，让学生在操作，实验的过程中发现、归纳、总结多边形外角和的不变性规律，这样更有利于认识多边形的本质性质。本设计基于测量、剪拼、走路三操作，猜想、验证、说理三过程，试图从数、形直观感知，提出猜想，到抽象概括，理性说理等角度出发，采用数学实验的方式设计

“探索多边形外角和”的教学，提高学生科学探究的能力．

基于以上分析，本节课的教学重点：多边形外角和的探究和证明过程。

二．目标

1. 探索并证明多边形的外角和是360°，体会猜想，归纳，合情推理，演绎证明等完整的数学定理发现过程。

2.运用多边形的外角和解决问题。

三．教学问题诊断分析

由具体的特殊的多边形的外角和到n边形外角和是固定值的获得，是由具体到抽象以及逻辑推理的过程，学生的困难不在于猜想到是360°，而在于如何去理解外角和是固定值360°，与边数无关，建立外角和与圆周角的关系，通过平移，旋转等图形变换手段，几何验证这一猜想，最后联系内角和定理，严格几何推理证明，学生把握这一过程可能会有一定难度。教学的关键是：11.3 多边形的外角和

（1）通过积累一定的实验操作经验，猜想出结论；（2）引导学生注意与边数无关，联想360°是特殊的角；（3）引导学生外角顶点不在同一个顶点处，如何去得到360°的周角；（4）引导学生联想内角和，严格几何推理证明。

本节课的教学难点是：获得360°是周角，将外角通过图形变换得到周角的思路，联想内角和，严格证明外角和是固定值。

三．教学过程设计

1.

多边形的外角

环节１

回顾三角形的外角

展示如图的三角形，让学生指出哪些角是△ABC的内角，哪些角是外角？同一顶点处的外角大小有何关系？

环节2 多边形的外角

问题1：多边形也类似三角形有内角，那么多边形有外角吗？

设计意图：这两个环节通过复习前段学习内容———三角形内角、多边形内角中出现的“内角”概念很自然的引

入问题：多边形既然有内角是否也有“外角”，进而

提出什么是外角呢？

由此可以给出外角的定义。

问题2：.n边形有几个外角，每个顶点处有几个外角，这些外角大小如何？你认为多边形的外角和如何定义？

设计意图：该问题的提出是类比三角形的外角，研究外角和时多边形每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫做外角和。

问题3：你能画出如下图的四边形，五边形以及六边形的外角吗？你发现多边形的外角个数与边数有什么关系？

设计意图:通过画多边形的外角，加深学生对多边形外角的认识，正确认识多边形的外角和；后一个问题的提出让学生对多边形的外角有进一步的了解。

问题4：你能画出有四个外角都是直角的五边形吗？

设计意图：这个问题的提出，可以激发了学生对多边形外角和的探究的热情。通过小组合作的形式，激发学生的求知欲。

2.探索多边形外角和

环节1:通过度量，剪拼提出猜想

问题1：你们有哪些方法得到求出三角形，四边形的外角和？

设计意图：充分体现学生的主体性，让学生自己去解决这个问题。很多学生会想到度量。

问题2:如果你们小组是用度量的方法，你能填写下表吗？

多边形

∠１

∠２

∠３

∠４

外角和

设计意图：此环节的设计基于学生认知的规律，从简单到复杂，从具体到抽象，先从三角形，四边形这些常见图形入手。

问题3：通过测量与计算，你们有什么发现？你可以再试试五边形满足吗？

设计意图：通过学生的操作，可以发现外角和似乎是个固定值360°，这个时候不少学生会再验证一下五边形

是不是也满足。

问题4：你认为我们现在是不是就可以断定多边形的外角和就是360°？

设计意图：让学生认识到测量是有误差的，所以我们的结论只是个猜想，从而激起学生寻求更准确的途径验证猜想的正确性．

附：

这里部分小组可能不是从度量的角度去提出猜想，二是借助剪拼来提出猜想。

问题1：如图，三角形三个外角的纸片剪下来，将它们拼在一起，你有什么发现？

问题2：如果将

四边形、五边形的纸片剪下来，进行上述同样的操作，你有什么发现？

设计意图：提出猜想的过程因人而异，大家的方法可能不尽相同，测量有误差，学生们从几何角度去探索发现，用具体的图形剪拼去揭示抽象的数学猜想，验证猜想，同时，剪拼活动为下一步更严格的说理论证做下铺垫。

问题3:你认为通过图形剪拼是否可以断定多边形的外角和是360°？

设计意图：拼图过程中可能会存在一些误差，如裁剪时的误差，拼接时有缝隙，重叠等，而且随着多边形的边数的增加，这种操作的局限性就凸显出来了。这个问题的提出让学生更积极的参与和寻求合理的方法去验证结论。

环节2：通过走路，转笔等体验，图形变换等验证结论

问题1：在提出猜想时有部分同学用到剪拼，大家最后拼出360°是个什么角？

设计意图：让学生回顾猜想活动，以及积累的直观感受，认识到360°是个圆周角。为下一步说理作铺垫。

问题2：请同学们利用教室里的地板砖，我们实际走路，你有何发现？

注：从地板砖的某个顶点出发，沿着地板砖的边走过各顶点，再回到出发点，并且转向出发时的方向。在行驶过程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角。所以多边形的外角和是360°。

问题3：很多同学都有转笔的习惯，你能用转笔来感受一下多边形的外角和是360°。请同学们在纸上任意画一个多边形，然后利用手中的笔来再感受一下。

让笔一头固定在多边形内一点Ｐ，将铅笔绕点

Ｐ

按逆时针方向旋转，旋转的角度依次为∠1，∠2，∠3，…，∠n，你有什么发现？

设计意图：将数学学习与借助地板砖走路，以及转笔联系起来，既可以调动学生学习的积

极性，感受数学的趣味性，同时利用生活实际中可以感受到的知识去理解抽象的概念等，

增强学的形式，又让学生感受到生活处处是数学。我们只要善于发现，就可以挖掘出很多知识。

环节3：通过严格的几何推理证明结论

问题1：你还有更严谨的几何推理证明该结论吗？

设计意图：验证猜想是科学精神、思想以及方法不可或缺的关键程序，但是经过理论证明而得出的结论才是可信的．

问题2：你能否将外角和的问题转化为内角和的问题吗？

设计意图:前面的活动中，学生通过度量、拼图提出猜想，又通过走路，以及图的全等变换说理等过程，“多边形的外角和等于360°”这条定理的直观背景和抽象过程都深有体会．丰富的直觉归纳是这个定理的魅力，但是任何一个缺少严格证明的定理都无法让人信服。严格的几何证明让学生体会到逻辑演绎的巨大魅力。转化思想是数学中常用的思路，让学生联系到内角和，这样就可以通过严格的几何证明，让这个定理的牢固位置功不可破。

问题3:你能写出严格的几何推理论证过程吗？

设计意图：让学生进一步体会几何推理论证的严谨性，体会数学中的常用的转化思想，能够辩证的看多边形的外角和内角的关系。

问题4:你认为多边形外角和是固定值360°，不随边数变化，与多边形内角和截然不同，你能比较一下吗？

设计意图:多边形的内角和反映的是多边形的个性，而外角和反映的是多边形的共性，即都是封闭图形。通过这一问题，加深学生对事物本质的认识，共性与个性并存是研究事物的两个重要方面。

问题5:你能解决课程开始的那个问题吗？（你能画出有四个外角都是直角的五边形吗？）

设计意图：让学生利用本节课的知识去解决作图问题，加深对定理的认识。

4.巩固多边形的外角和

例1．（1）正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为______ ．

（2）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ ______°.

设计意图：本题利用多边形的外角和是固定值，解决一些简单的计算问题。

例2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是(

) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形

设计意图：外角和与内角和的综合应用，进一步巩固多边形外角和的知识。

练习：

1．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 ________米．

2.在一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角(

) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

通过度量、拼图、转笔，说理等过程，“多边形的外角和等于360°”这条定理的直观背景和抽象过程暴露无遗．探索多边形外角和过程中蕴含着丰富的直觉归纳，证明求解中充盈着合情推理与逻辑演绎，引导学生总结其中蕴含的数学思想方法．