5 数学广角——鸽巢问题教学设计(第一课时)

《鸽巢原理》教学设计 鲍竹筠

一、教学内容：

《义务教育课程标准实验教科书 数学》（人教版）六年级下册第68—70页。

二、设计理念

本课充分利用学生的生活经验，为学生自主探索提供时间和空间，引导学生通过观察、实验、推理和交流等活动，经历探究“鸽巢原理”的过程，学会用一般性的数学方法思考问题，培养学生的数学思维能力，发展学生解决问题的能力。

三、教学目标

1．经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。

2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

3．培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

4．通过“鸽巢原理”的灵活应用感受数学的魅力。提高学生解决数学问题的能力和兴趣。

四、教学重点

经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。

五、教学难点

理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

六、教学准备

多媒体课件

七、教学过程：

（一）创设情境，导入新知

1．老师组织学生做“抢凳子的游戏”。

请4位同学上来，摆开3张凳子。

老师宣布游戏规则：4位同学围着凳子转圈，老师喊“停”的时候，四个人每个人都必须坐在凳子上。

教师背对着游戏的学生，宣布游戏开始，然后叫“停”！

师：都坐下了吗？老师不用看，也知道肯定有一张凳子上至少坐着2位同学。老师说得对吗？

2．老师请7位同学进行游戏。

宣布游戏规则：每位同学在手心写上自然数1—4中任意一个数字。

都写好了吗？请大家捏紧拳头，老师不用看，也知道肯定有一个数字至少有2位同学写了。信不信？怎么来验证老师说得对不对？

师：刚才两个游戏为什么我能做出准确的判断呢？道理是什么？

这其中蕴含着一个有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这个原理。下面我们开始上课，可以吗？

【设计意图：学生在生活中已积累了有关这类问题的感性经验，教学从学生熟悉和喜爱的游戏引入，可以激活学生的生活经验，让学生利用已有的经验初步感知抽象的“鸽巢原理”，将数学学习与现实生活紧密联系，提高学生的学习兴趣。】

（二）自主操作，探究新知

1．观察猜测

多媒体出示例1：4只鸽子3个鸽笼

师：4个人坐3张凳子，不管怎么坐，总有一张凳子至少坐两个同学。4个苹果放进3只抽屉中呢？

【学情预设：学生可能会说，不管怎么放，总有一只抽屉中至少放进2个苹果。】

师：“总有”是什么意思？

生：一定有

师：“至少”什么意思？

生：不少于也可能是多于

师：就是不能少于2个鸽子。（通过操作让学生充分体验感受）

师：真的是这样吗？为什么会这样呢？你能给大家解释这一现象

吗？

2．自主思考

（1）独立思考：怎样解释这一现象？把自己的方法用你的方式表示出来。

（2）把你的作品在小组内进行交流。

【设计意图：先让学生观察、猜想，然后自己想办法“证明”自己的猜想。这样设计，给学生自主思考的时间和空间。在独立思考的基础上，再小组合作，把动脑思考与动手操作有机结合，把独立思考与小组合作有机结合。有利于提高探索活动的实效性。】

教师巡视，参与学生的操作和讨论，找出有代表性的几种“证明”方法。

3．交流讨论

师：差不多了吧？能解释为什么把4个鸽子放入3个鸽笼，会出现总有一个抽屉中至少放2个鸽子这一现象了吗？

【学情预设】：

第一种：枚举法

请学生观察不同的放法，能发现什么？

引导学生发现：每一种摆放情况，都一定有一个鸽笼中至少放2个鸽子。也就是说不管怎么放，总有一个鸽笼中至少放2个鸽子。

第二种：假设法。

还有没有用不同的方法来验证把4个鸽子放入3个鸽笼，总有一个抽屉中至少放2个鸽子这一现象吗？

引导学生在交流中明确：可以假设先在每个鸽笼中放1个鸽子，3个鸽笼里就放了3个鸽子。还剩下1个鸽子，放入任意一个鸽笼，那么这个抽屉中就有2个鸽子了。

也就是先平均分，每个抽屉中放1个鸽子，余下1个鸽子，不管放在哪个鸽笼里，一定会出现总有一个鸽笼里至少有2个鸽子。能不能用算式来表示？

【设计意图：尊重学生个性的思考，尊重学生的差异，给学生充分的展示交流的空间，教师针对学生的不同情况，作出不同的指导，充分发挥教师作为课堂教学的组织者、引导者的作用。】

4．比较优化。

请学生继续思考：

如果把5个鸽子放入4个鸽笼，结果是否一样呢？怎样解释这一现象？还用画吗？

如果把6个鸽子放入5个鸽笼里呢？

请学生继续思考：

把7个鸽子放入6个鸽笼呢？

把100个鸽子放入99个鸽笼呢？

你发现了什么？

引导学生发现：只要放的鸽子数比鸽笼的数量多1，不论怎么放，总有一个鸽笼里至少放进2鸽子。

请学生继续思考：

5个鸽子放入3只鸽笼，会怎样？

5个鸽子放入2只鸽笼呢？

7个鸽子放入2只鸽笼呢？

15个鸽子放入4只鸽笼呢？

你发现了什么？

引导学生发现：不论怎么放，用鸽子的数目除以鸽笼数，再用所得的商加1，就会发现“不管怎么飞，总有一个鸽笼里至少有商+1只鸽子”了。

师：同学们的这一发现，称为“抽屉原理”，“

抽屉原理”又称“鸽巢原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。

【设计意图：在学生自主探索的基础上，教师进一步比较优化，让学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。在有趣的类推活动中，引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理，当物体个数大于抽屉个数时，一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。这样的教学过程，从方法层面和知识层面上对学生进行了提升，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。】 （三）灵活应用，解决问题

1．（1）课件出示：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放3本书。为什么？

（2）学生独立思考，自主探究。

（3）交流，说理。

2、实验小学六（1）班第一组共有13名学生，一定至少有2名学生的生日在同一个月。

（1）学生理解题意，明白一年有12个月，共有13名学生。

（2）学生独立思考。

（3）交流。

【学情预设：这个问题相对来说比较抽象，可以利用多媒体计算机直观出示十二个月的月历，引导学生将十二个月作为“抽屉”，把13个人作为“待分的人”，化抽象为直观，帮助学生思考说理。】

3、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有2张扑克是同花色的。试一试，并说明理由。

（1）帮助学生理解题意：剩下的52张扑克有4种花色。

（2）学生思考，可以动手试一试。

（3）交流。

【学情预设：学生难以找到这个问题与“鸽巢原理”之间的联系。教师可在多媒体计算机上直观出示4个方格，分别显示桃、杏、梅、方四种扑克牌花色，让学生借助直观图形进行说理。也可以拿出扑克牌，借助实物进行操作验证。】

（四）

布置作业

课本71页练习十三第1、2、3题

板书设计：

数学广角——鸽巢原理

鸽子数 鸽笼数 总有一个笼子里至少有（

）只鸽子

4 3 2 5 4 2 6 ÷ 5 = 1……1 2 5 ÷ 3 = 1……2 2 5 ÷ 2 = 2……1 3 7 ÷ 3 = 2……1 3 15 ÷ 4 = 3……3 4 鸽子数÷鸽笼数=商……余数 至少数=商+1