习题训练主要内容及教案内容

13.1.2《线段的垂直平分线习题训练》教学设计

刘三梅

教学任务分析

数学核心素养教学目标

重点

重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。

1．

经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理。

2．

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

3. 能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲，在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

难点

难点是两者的应用上的区别及各自的作用。

教学过程分析与设计意图

第一环节：复习导入；

第二环节：探究新课；

第三环节：例题实战；

第四环节：生活中的数学；

第五环节：归纳小结；

第六环节：检测、课后作业

问题与情景

一导入

评价课前洋葱预习情况。

师生行为

教师评价预习情况

引入新课

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．

体验解决问题策略的多样性，发展实践能力

培养总结归纳的能力

了解学生掌握的情况。

设计意图

复习为新课做铺垫

2、回顾旧知

某区政府为了方便居民的生活，计划在三条公路AB、BC、AC之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三条公路的距离相等？

教师提问，学生小组讨论回答。

3、问题导入

某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？

师出示题目，学生思考，分组讨论。

师巡视，关注学生能否将实际问题转化成数学问题解决，并适当进行点拨。

二探究新课

探究一

线段的垂直平分线的性质

1、量一量：直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．

将实际问题转化成数学问题，体会数学知识在现实生活的运用。

经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．

对性质与判定的直接应用，进一步发展学生的推理证明意识和能

2、猜想：

点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．

到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上吗?

3、验证结论：已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．

求证：PA =PB．

知识点1：性质定理：线段垂直平分线上的点与先让学生量一下并猜想P1A与P1B的数量关系，再量一下并猜想P2A与P2B及P3A与P3B的数量关系.

总结归纳发现的规律，分组讨论完成，但讨论时间不宜过长，如果学生不能准确的归纳，教师可以适当提示.

教师把学生总结出来的结论进一步完善，用多媒体展示线段垂直平分线的性质1. 在此基础上把这一命题转化成几何上的证明题(这一步老师亲自完成，学生完成有困难) 老师巡视并找1个学生的证明过程用多媒体展示给学生，并根据证明过程全体师生进行分析指正. 指正证明过程后，全体学生针对自己的证明过程查找不足，以后改正.

这条线段两个端点的距离相等。

观看性质小视频

A已知：PA=PB证明：作PC⊥AB,垂足为C∴∠ACP=∠BCP=90

在Rt△ACP和Rt△BCP中

5、符号语言：

∵点P在线段AB的垂直平分线上

∴

PA =PB 典例精析

例1

如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(

) 求证：点P在线段AB的垂直平分线上

l

PAPBPCPCC

B∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL)∴AC=BC∴点P在线段AB的垂直平分线上P

练一练

1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（

）

A.

6

B.

5

C.

4

D. 3 例2

已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.

师出示题目，学生思考，回答。

3）老师根据情况适当点拨，师生共同分析，教师板演过程。

师出示题目，学生思考，分组讨论。

师巡视，关注学生能否将实际问题转化成数学问题解决，并适当

结论：

三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？

探究二：线段垂直平分线的判定

1、反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？

已知：如图，PA =PB．

求证：点P 在线段AB 的垂直平

分线上．

进行点拨。

用展台展示学生的作业，师及时评价。

线段垂直平分线的判定

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

2、符号语言：

∵

PA =PB，

∴

点P 在AB 的垂直平分线上

3、作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.

典例精析

如图，AB=AC，MB=MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？

观察、猜想、归纳并验证是数学学习的一种重要方法，通过这一活动可以提高学生观察、猜想及归纳的能力.

线段垂直平分线的性质转化成几何证明过程是个难点，并不需要学生掌握，所以这一过程由老师完成.老师巡视完后可以用多媒体展示多少有点问题的证明过程，在分析的过程中

练一练

已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线.

探究三：作线段的垂直平分线

1、作法

怎样作线段AB 的垂直平分线呢？

（1）分别以点A，B 为圆心，以大于

AB的长为半径

作弧，两弧相交于C，D 两点；

（2）作直线CD．

CD 就是所求作的直线．

2、观看小视频

三例题实战

1.如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线

交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于____．

2.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的

让学生学会严密的证明方法.

这是本节的难点，“P点在线段AB的垂直平分线上”太抽象，既看不到又不好解决“在”的问题.所以老师引导学生探究解决.最后由老师直接

是（

）

A．AB垂直平分CD；

B ．CD垂直平分AB ；

C．AB与CD互相垂直平分；

D．CD平分∠

ACB ．

师提问：今天学习了线段的垂直平分线的性质、判定及它的集合定义，你能由此联想到

五归纳小结

前面学过的什么知识与此类似吗？

学生回答。

力

了解学生掌握的情况。

培养总结归纳的能

1.这节课你学到了哪些知识？

2.你觉得这些知识在具体的题目中如何运用？

3.你还有哪些困惑？

六检测、课后作业

红对勾习题

七板书设计

【板书/PPT】

三角形的外心

任意一个三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。

外心到三角形各个顶点的距离相等。

教学反思

本节课的教学目的是:理解和掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用定理进行证明或计算;知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合;通过动手操作、猜想，证明、应用的过程，渗透集合的观点和用交轨法确定某一个点的位置的思想方法;通过参与课堂活动，知道数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务，提高学习数学的兴趣。

首先设置情景引入新课，普陀区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等? 然后通过实践探究、猜想得到命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。”再证明这个命题的正确性。得到线段垂直平分线的性质定理。接着由学生说出其逆定理，培养学生逆向思维及数学语言表达的能力。本节课较重视与生活实践相联系。将实际问题数学化,揭发学生学习数学的兴趣。使学生感受到数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务。