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人教版八年级数学上学期期末复习整式的乘法与因式分解导学案

一、复习（知识体系）

二、考点精讲

考点一：幂的运算性质

例1

下列各式计算正确的是（

）

A．（a2）4=（a4）2

C．（-c）8÷（-c）6=-c2

B．2x3•5x2=10x6

D．（ab3）2=ab6

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例2已知10x=m，10y=n，则102x+3y等于（

）

A．2m+3n 【答案】D 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，幂的乘方，底数不变指数相乘的性质的逆用，计算后直接选取答案．

【解答】解：102x+3y=102x•103y=（10x）2•（10y）3=m2n3．

故选D．

例3 若m=2125，n=375，则m、n的大小关系正确的是（

）

A．m＞n C．m=n 【答案】A 【分析】把m=2125化成=3225，n=375化成2725，根据32＞27即可得出答案．

【解答】解：∵m=2125=（25）25=3225，n=375=（33）25=2725，

∴m＞n，

故选A．

【方法指导】关键是把m n的值变形得出m=3225，n=2725．

例4 计算：(3)【答案】9 【解析】

2013B．m2+n2

C．6mn D．m2n3

B．m＜n D．大小关系无法确定

1()20

11

31原式=(3)2(3)2011()201131(3)23()3(3)29考点二：整式的运算

例5

先化简，再求值3a（2a2-4a+3）-2a2（3a+4），其中a=-2 【答案】-98 2011

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【解析】3a（2a2-4a+3）-2a2（3a+4）

=6a3-12a2+9a-6a3-8a2

=-20a2+9a，

当a=-2时，原式=-20×4-9×2=-98．

【方法指导】整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．

例6

已知（x2+mx+n）（x2-3x+2）中，不含x3项和x项，求m，n的值．

【答案】3，2 【解析】原式=x4-3x3+2x2+mx3-3mx2+2mx+nx2-3nx+2n =x4-（3-m）x3+（2-3m+n）x2+（2m-3n）x+2n 由题意得，3-m=0，2m-3n=0，

解得m=3，n=2．

【知识识记】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．

例7

求不等式（2x+3）（x-4）-（x+2）（x-3）≥x2-8的最大整数解

【答案】0 【解析】去括号得，2x2-5x-12-x2+x+6≥x2-8，

移项、合并同类项得，-4x≥-2，

系数化为1得，x≤1

2则不等式的最大整数解是0．

考点三：乘法公式的运用

例8

（2016·怀化）下列计算正确的是（

）

A．（x+y）2=x2+y2

C．（x+1）（x-1）=x2-1 【答案】C B．（x-y）2=x2-2xy-y2

D．（x-1）2=x2-1 21世纪教育网 www.21cnjy.com

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【解析】A.（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；

B.（x-y）2=x2-2xy+y2，故此选项错误；

C.（x+1）（x-1）=x2-1，正确；

D.（x-1）2=x2-2x+1，故此选项错误；

故选：C．

例9

已知a+b=5，ab=6．求下列各式的值：

（1）a2+b2

（2）（a-b）2．

【答案】（1）13;（2）1 【解析】（1）a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×6=25-12=13．

（2）（a-b）2=（a+b）2-4ab=52-4×6=25-24=1．

【方法指导】进行公式的变形：a2+b2=（a+b）2-2ab，（a-b）2=（a+b）2-4ab 例10

（2016春•诸城市期末）已知x、y互为相反数，且（x+3）2-（y+3）2=6，求x、y的值．

【答案】x=11，y=－

22【解析】解：∵x、y互为相反数，

∴y=－x，

∴（x+3）2－（y+3）2，

=（x+3）2－（－x+3）2，

=x2+6x+9-x2+6x-9，

=6，

即12x=6，

解得x=1

21

2∴y=－x=－故答案为：x、y的值分别是

考点四：因式分解

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例11

（1）(本溪市) 分解因式：xy2-9x=

．

（2）(锦州市) 分解因式：a2b-2ab2+b3=____________________. 【答案】

【解析】（1）xy2-9=x (y 2-9)= x（y+3）（y-3）．

（2）a2b-2ab2+b3= b(a2-2ab +b2) =b(a-b)2．

【方法指导】因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止

例12

多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（

）

A．a（x﹣6）（x+2）

B．a（x﹣3）（x+4）

C．a（x2﹣4x﹣12）

D．a（x+6）（x﹣2）

【答案】A．

【解析】ax2﹣4ax﹣12a =a（x2﹣4x﹣12）

=a（x﹣6）（x+2）．

故选A 【方法指导】十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.

三、知识精练

（一）选择题

1.已知2×2x=212，则x的值为（

）

A．5

B．10

C．11

D．12 【答案】C．

【解析】∵2×2x=212，

∴x+1=12，

解得x=11．

故选C．

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2.计算：（-2a）2•（-3a）3的结果是（

）

A．-108a5

B．-108a6

C．108a5

D．108a6

【答案】A．

【解析】（-2a）2•（-3a）3

=（4a2）•（-27a3）

=-108a5．

故选A．

3.化简x（2x-1）-x2（2-x）的结果是（

）

A．-x3-x

B．x3-x

C．-x2-1

D．x3-1 【答案】B．

【解析】原式=2x2-x-2x2+x3=x3-x，

故选B．

4.已知ab2=-2，则-ab（a2b5-ab3+b）=（

）

A．4

B．2

C．0

D．14 【答案】D．

【解析】-ab（a2b5-ab3+b）=-a3b6+a2b4-ab2=-（ab2）3+（ab2）2-ab2，

当ab2=-2时，原式=-（-2）3+（-2）2-（-2）=8+4+2=14 故选D 5. 数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：-3x2（2x-[]+1）=-6x3+3x2y-3x2，那么空格中的一项是（

）

A．-y

B．y

C．-xy

D．xy 【答案】B. 【解析】-3x2（2x-y+1）=-6x3+3x2y-3x2，

故选B. 6. 下列计算：①（x+3）（x-3）=x+（-3）；②（a-b）=a-b；③（-x-y）=x+2xy+y；④（2x-y）（y-2x）=4x-y．其中错误的个数有（

）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

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【答案】B 【解析】①（x+3）（x-3）=x-9，错误；

②（a-b）=a-2ab+b，错误；

③（-x-y）=x+2xy+y，正确；

④（2x-y）（y-2x）=-4x+4xy-y，错误，

则错误的个数是3个，

故选B 7. 计算（a-b）（a+b）（a+b）（a-b）的结果是（

）

A．a+2ab+b

B．a-2ab+b

C．a+b

【答案】B．

【解析】（a-b）（a+b）（a+b）（a-b），

=（a-b）（a+b）（a-b），

=（a-b），

=a-2ab+b．

故选B．

8.若（x+3y）=（x-3y）+M，则M为（

）

A．6xy

B．12xy

C．-6xy

D．-12xy 【答案】B．

【解析】根据题意，M=（x+3y）-（x-3y）

=（x+3y+x-3y）（x+3y-x+3y）

=2x•6y

=12xy，

故选B．

9.将多项式（x-1）+6（1-x）+9因式分解，正确的是（

）

A．（x-2）

B．（x-2）

C．（x-4）

D．（x+2）（x-2）

【答案】D. 【解析】原式=（x-1）-6（x-1）+3

=（x-4）

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D．a-b

88

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=（x+2）（x-2），

故选D. （二）填空题

1.若am=2，an=5，则am+n等于

．

【答案】10. 【解析】∵am=2，an=5，

∴am+n=aman=2×5=10．

2.a3•（-a）5•（-3a）2•（-7ab3）=

．

【答案】63a11b3．

【解析】原式=a3•（-a5）•9a2•（-7ab3）=63a11b3．

3.若-5x3•（x2+ax+5）的结果中不含x4项，则a=

．

【答案】0．

【解析】-5x3•（x2+ax+5）=-5x5-5ax4-25x3，

∵-5x3•（x2+ax+5）的结果中不含x4项，

∴-5a=0，

∴a=0．

4.若A是单项式，且A（4x2y3+3xy2）=-12x3y5-9x2y4，则A2=

．

【答案】9x2y4

【解析】由题意得：-12x3y5-9x2y4=-3xy2（4x2y3+3xy2），

∴A=-3xy2，

则A2=9x2y4．

5.观察下列各式：1×3=2-1，3×5=4-1，5×7=6-1，…请你把发现的规律用含n（n为正整数）的等式表示为

．

【答案】（2n-1）（2n+1）=（2n）-1．

【解析】根据题意可得：

规律为（2n-1）（2n+1）=（2n）-1. 6. 若x-16x+m是一个完全平方式，那么m的值是

；若x+mx+16是一个完全平方式，那么m的值是

．

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【答案】64；±8. 【解析】若x-16x+m是一个完全平方式，那么m的值是64；若x+mx+16是一个完全平方式，那么m的值±8. 7. 已知m＞0，如果x+2（m-1）x+16是一个完全平方式，那么m的值为

．

【答案】5．

【解析】∵m＞0，如果x+2（m-1）x+16是一个完全平方式，

∴m-1=4，即m=5．

8. 如果x+2（k-3）x+16是一个完全平方式，那么k=

．

【答案】7或-1 【解析】∵x+2（k-3）x+16是一个完全平方式，

∴2（k-3）=±8，

解得：k=7或-1．

9.分解因式：x-（x-3）=

．

【答案】3（2x-3）. 【解析】原式=（x+x-3）（x-x+3）

=3（2x-3）.

10.因式分解：（x2+4）2-16x2=

．

【答案】（x+2）2（x-2）2．

【解析】（x2+4）2-16x2

=（x2+4-4x）（x2+4+4x）

=（x+2）2（x-2）2．

11.若多项式x2-6x-b可化为（x+a）2-1，则b的值是

．

【答案】-8. 【解析】∵x2-6x-b=（x-3）2-9-b=（x+a）2-1，

∴a=-3，-9-b=-1，

解得：a=-3，b=-8．

（三）解答题

1 .已知x=2，y=3，求（xy）的值．

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2.计算：5m3n•（-3n）2+（6mn）2•（-mn）-mn3•（-4m）2．

【答案】-7m3n3．

【解析】5m3n•（-3n）2+（6mn）2•（-mn）-mn3•（-4m）2

=5m3n•9n2+36m2n2•（-mn）-mn3•16m2

=45m3n3-36m3n3-16m3n3

=-7m3n3．

3.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”．如：3=2-1，7=4-3，8=3-1，因此3，7，8都是“智慧数”．

（1）18

“智慧数”，2017

“智慧数”（填“是”或“不是”）；

（2）除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？说明理由．

【答案】（1）不是，是；（2）正奇数一定是“智慧数”．

【解析】（1）18不是“智慧数”；2017是“智慧数”；

（2）除1外的所有正奇数一定是“智慧数”，理由为：

设这个奇数为2n+1（n为正整数），

可得2n+1=（n+1）-n，

则除1外，所有正奇数一定是“智慧数”．

4.已知关于x的多项式4x+3（m-3）x+9是完全平方式．

（1）求m的值；

（2）当m取负值时，m的值是关于x的方程ax-3=2x的解，求此时代数式a【答案】（1）m=7或m=-1．（2）-1. 【解析】（1）∵4x+3（m-3）x+9是完全平方式，

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22013222222222的值．

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∴3（m-3）x=±2×2x•3，

∴m=7或m=-1．

（2）将x=-1代入方程得：-a-3=-2．

解得：a=-1．

a2013=（-1）2013=-1．

5. 求代数式a2+b2-6a-8b+30的最小值.

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