习题训练教案设计

14.2 乘法公式

1．平方差公式

(1)平方差公式的推导：

因为(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，

所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)语言叙述：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

(3)公式的特点：

①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式；

②公式的左边是两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积，公式的右边是这两个数(式)的平方差(先平方后作差)．

警误区

平方差公式的特征

利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了．

【例1】

利用平方差公式计算．

(1)(2a＋3b)(－2a＋3b)；(2)503×497. 分析：(1)可直接运用平方差公式进行计算．(2)题可经过适当变形，把503写成(500＋3),497写成(500－3)，就能利用公式来计算了．

解：(1)(2a＋3b)(－2a＋3b)＝(3b)2－(2a)2

＝9b2－4a2. (2)503×497＝(500＋3)(500－3)＝5002－32＝250 000－9＝249 991. 解技巧

平方差公式的理解和应用

要注意辨别因式中哪些相当于公式中的a(完全相同的部分)，哪些相当于公式中的b(符号不同的部分)．

2．完全平方公式

(1)两数和的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；

两数差的完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2. (2)语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．

(3)公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同．

析规律

完全平方公式的特征

完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．

【例2】

计算：

(1)(4m＋n)2；

1(2)(y－)2；

2(3)(－a－b)2；

1(4)(－2a＋b)2. 2解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2×4m·n＋n2＝(4m)2＋8mn＋n2＝16m2＋8mm＋n2；

111(2)(y－)2＝y2－2×y×＋()2

2221＝y2－y＋；

4(3)(－a－b)2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；

1(4)(－2a＋b)2

2

11＝(－2a)2＋2×(－2a)×(b)＋(b)2

221＝4a2－2ab＋b2. 43．添括号法则

法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

警误区

添括号法则的易错点

添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a－b＋c＝a－(b＋c)，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．

【例3】

填空：(1)(x－y＋z)(x＋y－z) ＝[x－(

)][x＋(

)]；

(2)(x＋y＋z)(x－y－z) ＝[x＋(

)][x－(

)]．

答案：(1)y－z

y－z

(2)y＋z

y＋z

4．平方差公式、完全平方公式的推导

从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式．

(1)“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式．

(2)“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式．

5．添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用

添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单．

【例4】

如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________．

解析：左上图的阴影部分的面积为a2－b2，因为右上图为梯形，梯形的高为(a－b)，所以阴影部分的面积为(2a＋2b)(a－b)÷2＝(a＋b)(a－b)．

22答案：(a＋b)(a－b)＝a－b

【例5】

利用乘法公式计算：(a＋b＋c)(a－b－c)．

分析：可将(a＋b＋c)用添括号变形为[a＋(b＋c)]，再把(a－b－c)变形为[a－(b＋c)]，然后先用平方差公式，再用完全平方公式计算即可．

解：(a＋b＋c)(a－b－c)＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a2－(b＋c)2＝a2－(b2＋2bc＋c2) ＝a2－b2－2bc－c2.

6．运用乘法公式解探索规律题

解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律．

这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用．

【例6】

观察下列各式的规律：

12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；

22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；

1)2.

32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；

…

写出第n行的式子，并证明你的结论．

解：第n行的式子为：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2

＝[n(n＋1)＋1]2.证明如下：

n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝n2＋(n2＋n)2＋n2＋2n＋1＝(n2＋n)2＋2(n2＋n)＋1＝(n2＋n＋