整数指数幂优秀教学设计

15.2

分式的运算(第6课时)

一、内容和内容解析

1．内容

负整数指数幂的意义，整数指数幂的性质。

2．内容解析

负整数指数幂的意义是通过同底数幂的除法法则和分式的约分得出的，从而将正整数指数幂的运算性质推广到全体整数．而推导过程采用的方法是从特殊情形入手，归纳概括出一般性结论，这一过程蕴含着从“特殊到一般”的数学方法．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是幂的性质(指数为全体整数)。

二、目标和目标解析

1．目标

(1)了解负整数指数幂的意义；

(2)了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算。

2．目标解析

达成目标(1)的标志是：学生能够叙述负整数指数幂的意义an＝-1an(a≠0，n是正整数)，并会运用它进行计算．

达成目标(2)的标志是：学生能用文字语言和符号语言叙述整数指数幂的性质,并会运用它们进行计算．

三、教学问题诊断分析

在本节之前，学生已经学习过正整数指数幂和零指数幂，并且学习了正整数指数幂的5条运算性质，这些性质能否推广到全体整数指数幂？尤其是对于同底数幂的除法，要求被除式的指数要大于除式的指数，学生心存疑惑．教学中可向学生说明，为了解决这一疑惑，需引入负整数指数幂．为了让学生更好地理解负整数指数幂的合理性，教学中从约分和同底数幂的除法两方面说明定义负整数指数幂的背景，进而发现以前曾规定“am÷an＝amn，其中－m＞n”，若能适合于m＜n的情形，就要定义an＝-1an(a≠0，n是正整数)，这是一种规定，这样可以扩大原有的指数运算法则的适用范围．

学生第一次接触负整数指数幂的运算，虽已有正整数指数幂的性质做基础，并能够迁移正整数指数幂的性质进行负整数指数幂的运算，但有时忘了把最终计算结果化成正整数指数

1

幂．教学中可通过安排相应的练习让学生意识到有关幂的运算最终结果要化成正整数指数幂．

基于以上分析，确定本节课的难点是负整数指数幂的意义的合理性和整数指数幂的性质应用．

四、教学过程设计

1回顾知识，引出思考

问题1

你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？

追问：

将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？

师生活动：教师设疑，学生回忆，引出本节课的课题.教师板书课题：15.2.3整数指数幂．

设计意图：通过提问，引发学生的思考，让学生感受到将非负指数幂的概念推广到整数指数幂的必要性。

2．合作探究，归纳新知

问题2

am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？

(1)根据分式的约分，当a≠0时，如何计算a3÷a5？

(2)如果把正整数指数幂的运算性质am÷an＝amn(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的条－件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，如何计算？

师生活动：由教师提出问题，学生独立思考后，小组讨论，教师巡视并及时点拨，并请一名学生交流自己的做法，激发学生探究新知的欲望．教师板书两种解法的过程(或结果)，师生共同分析，通过比较两个结果发现：如果规定a2＝-1a2(a≠0)，就能使am÷an＝am－n这条性质也适用于a3÷a5这样的情形。．

设计意图：通过小组合作，师生共同探究，由旧知直接引出新知，让学生体会知识之间的联系及延伸，便于理解负整数指数幂意义的合理性，同时也可以更简便地表示分式．

追问:你能用符号表示你发现的规律吗？

师生活动：学生观察并独立思考，获得结论。最后用符号概括出所发现的规律：数学中规定：当n是正整数时，an＝-1an(a≠0)这就是说，an(a≠0)是an的倒数．

-设计意图：让学生通过观察，比较，抽象，从特殊到一般地归纳出整数指数幂的运算性质。

问题3

引入负整数指数和0指数后，am·an＝amn(m，n是正整数)这条性质能否推广－

2

到m，n是任意整数的情形？

师生活动：教师提出问题，引发学生思考．教师可以适当引导学生从特殊情形入手进行研究，例如：a3·a5＝a3－＋(－5)；a3·a5＝a－－－3＋(－5)；a0·a5＝a0－＋(－5)．

然后再用其他整数指数验证这个规律是否仍然成立．

设计意图：通过推导，确认规律的正确性，从而归纳出aa＝a任意整数的情形仍然适用．

3．巩固新知，强调步骤

例

计算：

mnm+n 这条性质对于m，n是b3－25

（1）

a÷a(2)2（3）（2×10-6)×（3.14×107）

a (4)[（x+y）3 ·（x-y）2]2·（x+y）-6 －2师生活动：师生共同分析，教师板书（1）（4），（2）（3）由学生板书。并步步说清算理和根据，要及时强调出现的问题。强调结果要转化成分式的形式。

设计意图：这道例题是直接运用幂的运算性质进行计算，让学生经历应用性质进行计算的全过程．

练习1 口答。

（1）（a-3）4

（2）（a4）-3

（3）（a-4）-3

（4）（a0）-2

（5）（a0）2

（6）（ab）-2 练习2 若m，n为正整数，则下列各式错误的是（

）

an n-n)=ab

b1C. (a-m) -n＝am n

D. am-n ＝

amnA. am÷an＝am ·a-n

B. (师生活动：学生回答，并相互补充，找出混淆点。

设计意图：让学生通过辨析，加深对新知的理解和运用。

练习3 （1）( a1b2)3；

（2）a2b2·( a2b2)－－－－3

；（3）（3×10）-2

÷（10-2）3

师生活动：让学生独立解答，并展示学生的板书，学生互相评价。

设计意图：巩固新知，强调步骤

4．归纳小结，形成体系

3

（1）教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，由学生回答。

a教师总结：由于负整指数幂的出现，使am÷an＝am ·

a-n ＝am-n

,

＝

(ab-1)nb＝abnnn，于是整数指数幂的5条运算性质，可以合并为三条：

(1)aman＝am+n

(m，n是整数)；

(2)(am)n＝amn

(m，n是整数)；

(3)(ab)n＝anbn (n是整数)．

设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两方面总结。进一步体会从特殊到一般的方法的作用及转化的数学思想. 5．布置作业

必做题：教科书P147——7，9 选做题

计算化简（a-2b3）-2·a-5·b

(a3)2a-4b2 五、目标检测设计

1．计算

21-2-3

x-3

(ab)3(ab)2 -1-2 (1）(-)(2)(-3a)(3）(-)×2（4）[]3y(ab)2(ab)45设计意图：考察学生对负整指数幂的性质的理解和应用。涉及符号问题和底数为多项式的问题。

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