习题训练主要内容及教案内容

课堂教学设计

——等腰三角形的性质

大同十中

邢

瑜

课堂教学设计

——等腰三角形的性质

大同十中 邢瑜

一、教学目标：

1、知识与技能：（1）理解掌握等腰三角形的性质。

（2）运用等腰三角形的性质进行证明和计算。

（3）观察等腰三角形的对称性，发展形象思维。

2、过程与方法：（1）通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，发展学生推理能力。

（2）通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决

问题的能力。

3、情感态度与价值观：引导学生对图形的观察、发现、激发学生的好奇心和求知欲，并在运

用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验建立学习的信心。

二、教材分析：

1、教学重点：等腰三角形的性质及应用。

2、教学难点：等腰三角形的性质的理解及应用

三、教学策略：活动——探究——归纳——应用。

四、教学准备：师：幻灯片、硬纸、剪刀。

生：硬纸、剪刀。

五、教学过程：

（一）激趣导入

[活动1]如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到

△ABC有什么特点？

B

D A

C

[师]：把一个长方形的纸对折，动手跟我一起做，并用剪刀剪开，得到一个三角形△ABC，上述过程中，△ABC有什么特点？

[生甲]：折叠重合，此三角形是轴对称图形。

[生乙]：剪刀剪过的两条边是相等的。

（二）讲授新课

[师]：本节课就来认识一种成轴对称图形的三角形——等腰三角形，我们现在分组动手做一个等腰三角形。

A [学生组1]我们利用尺规作图的方法做出顶角

一个等腰三角形。

[学生组2]我们利用刻度尺做出等腰三角

形。

腰

腰

[学生组3]我们利用轴对称的性质作图。

[师]非常好，同学们结合了以前的知识，

利用不同的方法，做出了等腰三角形。

底角

B C 底

出示概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底。

两腰所夹的角叫顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

A [师]同学们在自己的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角以及底角。

练习：如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形。

D

答案：△ABC和△ADC B C

[活动2] [师]:①在剪纸过程中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗? ②把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其中重合的线段和角,填写表格:

幻

重合的线段

重合的角

灯

片

[生甲]:等腰三角形是轴对称图形。

[生乙]：我把自己做的等腰三角形折叠后发现等腰三角形的两个底角相等。

[师]：很好，生乙把等腰三角形的第1个性质找了出来。

板书：性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

A [师]：性质1的题设和结论分别是什么？

[生甲]：题设：三角形是等腰三角形。

[生乙]：结论：底角相等。

[师]：用数学符号如何表达题设和结论？

B C ∵AB=AC（己知）

∴∠B=∠C（等边对等角）

[师]：由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质，同学们现在就动手来写出这些证明过程。

[生甲]： 如图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD。

A 在△ABD和△ACD中

AB=AC AD=AD BD=CD ∴△ABD≌△ACD（SSS）

B C D ∴∠B=∠C

[生乙]：

如图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD。A ABD和△ACD中

幻在△

AB=AC 灯 ∠BAD=∠CAD AD=AD 片

B D C

∴△ABD≌△ACD（SAS）

∴∠B=∠C [生丙]： A

如图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的高AD。

Rt△ABD和Rt△ACD中

幻在 AB=AC

灯 AD=AD ∴△ABD≌△ACD（HL）

C B 片

∴∠B=∠C D [师]：非常好，思考充分，思路清楚、请坐。

[师]：从理论上证明了性质1，现在我们来运用性质1来做题。

例：如下图，在下列等腰三角形中，AB=AC分别求出它们的底角度数。

A A

36°

120°

C C B B

解：在△ABC中，∵AB=AC

解：在△ABC中，∵AB=AC

∴∠B=∠C ∴∠B=∠C

180°-∠A 180°-∠A

∴∠B=∠C= =72°

∴∠B=∠C= =30°

2 2

课堂练习：计算：（1）在△ABC中，AB=AC，若∠A=40°，则∠B=___________。

（2）在△ABC中，AB=AC，若∠B=50°，则∠A=___________。

（3）在等腰三角形中，若有一个角是70°，则其他两个角是多少度？

（4）在等腰三角形中，若有一个角是110°，则其他两个角是多少度？

[注]：4道练习题，从简单到难，须老师逐一引导，逐步解决问题。

[活动3] [师]：在折叠过程中，除了两底角重合外，你还发现了什么？

[生甲]：我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线。

[生乙]：我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分就互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴。

[生丙]：老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴。

[师]：你们说的是同一条直线吗？大家动手折叠观察。

[生齐声]：它们是同一条直线。

[师]：很好，我们来归纳等腰三角形的性质2。

板书：性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边中线，底边上的高互相重合，（通常称做“三线合一”

）。

[师]：我们来分析这一定理，等腰三角形是大前提，如果做出顶角平分线，那么可以得到此线也是底边中线，底边上的高，则大家一起来填表格：

A

AB=AC AB=AC AB=AC

条件

BD=CD AD⊥BC ∠BAD=∠CAD

BD=CD ∠BAD=∠CAD ∠BAD=∠CAD

结论

BD=CD AD⊥BC

AD⊥BC

B D C

教师先领着填一组空，然后请同学上来填空。

[师]：受性质1的启发，你能证明性质2吗？我现在用一种方法来证明性质2。

如图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的平分线AD，得到∠BAD=∠DAC。

在△ABD和△ACD中

A AB=AC ∠BAD=∠DAC AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SAS）

∴BD=DC 即AD为底边的中线

C B

D 1 ∴∠ADB=ADC=—∠BDC=90° 即AD为底边的高

2 即等腰三角形顶角平分线，底边中线，底边高互相重合。

[师]：现在请左半个班的同学用第二种方法证明性质2。

请右半个班的同学用第三种方法证明性质2。

[师]：同学们都做得很好，我们再来研究一下性质2如何运用。

A 例：如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，

且顶角∠BAC=100°，∠B、∠C、∠BAD、∠CAD各是多少度？

解：在△ABC中，∵AB=AC，且∠BAC=100°

180°-∠BAC 180°-100°

∴∠B=∠C= = =40°

B 2 2 D

又∵AD⊥BC 1 1 ∴∠BAD=∠CAD=—∠BAC=—×100°=50°

2 2

练习：如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，

AD=AE，那么BD=CE吗？说明理由。

证明：BD=CE 作AF⊥BC A ∵AB=AC

∴BF=FC

又∵AD=AE

∴DF=ED

∴BF-DF=CE-EF B D F E C 即BD=CE （三）课时小结：

1、知识上：

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用，等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高，

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们。

2、技能提高上：

①等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，为我们证明线段相等，以及角相等提供了新的方法。

②在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线，底边上的C

高，底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线一”但添加辅助线时，有时作哪能条线都可以，有时不同的做法结果不同，需要具体问题具体分析（针对性质2的练习题）

③等腰三角形性质都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定式，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决。

（四）课后思考以及作业：

（另附作业设计）

（五）板书设计：

等腰三角形

一、定义：

例1：

证明：

二、性质：

<2>…………………………

例2：

<1>…………………………

符号表示：

条符号表示：

件

证明：

小结：

结论

六、教学反馈：

由于运用了新课程教学方法和理念，知识从不同方向得到渗透，基本完成了课前制定的教学目标和教学要求，为进一步的深入理解打下了基础。

学生作业设计

----等腰三角形的性质

设计说明：在学完本节课的内容后，要求学生理解掌握等腰三角形的性质，并能运用等腰三角形的性质进行证明和计算。作业的设计就要表现出对知识和技能的再次训练与巩固。

作业内容：

一、填空题：（有关角度的计算）

（1）在△ABC中,AB=AC,A600,则一腰上的高CD与底边BC的夹角为_______. （2）等腰三角形的顶角与一个底角的和是1000,则顶角的度数是_______. （3）等腰三角形的一个外角为80°,则其底角是多少度 .

（这三题的设计意图是：本题针对课堂教学中的例一，学完后再巩固知识。让学生在初步掌握了等腰三角形的性质后，能结合七年级所学过的三角形内角和定理，来解决在等腰三角形中度数的问题。）

二、选择题：（有关边的计算）

（1）下列说法中不正确的是( ) A.等腰三角形的底角一定是锐角; B.等腰三角形至少有两条边相等

C.等腰三角形的两个底角相等

D.等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合. （本题的意图在于考察学生对于基本概念的掌握）

（2）.等腰三角形的一边长是4cm,另一边长为8 cm,则这个等腰三角形的周长是( ) A.16cm B.20cm C.16cm或20cm D.以上都不对

（本题的设计意图：首先要求学生能按照两种情况考虑，其次考虑两种情况是不是都能符合题意。本题是一道易错题，应多讲多练。）

（3）.已知△ABC中,AB=AC,周长为34cm,ADBC于点D,△ABD的周长为28cm,那么AD的长为( ) A.6 cm B.8cm C.11cm D.20cm （本题的设计意图是：对“三线合一”的练习）

三、解答题：

1、如图是一个农村中常用的测水平（或铅垂）的工具，已知AB=AC，在BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使A恰好在中垂线上，这 D 时BC处于水平位置，你知道这是为什么吗

？ C

B

A

（本题的设计意图是：本题是针对课堂教学中的例二，引导学生在实际生活中去寻找和体会数学的应用。）

2.已知，如下图，在△ABC中，D是AB边上的一点，AD＝DC，∠B＝35°，∠ACD＝43°．

求：∠BCD的度数． （本道题的设计意图是：让学生提高读图能力，具体问题具体分析）

3如图，已知 AB=AC，BD=DC，AD，BC相交于Ｏ点。求证：AD⊥BC

（本题的设计意图：考察学生能否灵活运用“三线合一”来解决问题）

分析：因 AB＝AC，要证AD⊥BC，只需证明∠1=∠2，要∠1=∠2，只需证明△ABD≌△ACD就行了。

证明：

在△ABD和△ACD中

AB=AC（已知） BD=DC（已知） AD＝AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠1=∠2

∴AO⊥BC

即AD⊥BC，（等腰三角形“三线合一”的性质）

说明：本题的证法较多，用等腰三角形“三线合一”性质是比较简单的一种。

反馈：学生在作业中，这道题的问题比较突出，学生对于运用“三线合一”的能力比较差。

4如图所示，原本是一个等腰三角形△ABC，其中，AB=AC，现在破损得只剩下一条完整的边BC和一个角∠B，你能帮助恢复原样吗？

M A E

A在哪里？

E

B C

答案：（1）作BC的垂直平分线MN。

（2）延长交MN于点A，连接AC。

C B N 则△ABC为原等腰三角形。

（本题的设计意图是：提高学生的学习兴趣，在学生的思考中引导学生解决问题。）

5．根据条件,找出下列各图形中的等腰三角形. (1)如图AD平分∠BAC,DE∥AC则△ 是等腰三角形: (2) 如图AD平分∠BAC, CE∥AB则△ 是等腰三角形: (3) 如图AD平分∠BAC, CE∥AD则△ 是等腰三角形:

(4) 如图AD平分∠BAC, EF∥AD交AB与点G则△ 是等腰三角形: (5) 如图AD平分∠BAC, BF∥AD则△ 是等腰三角形: Ｅ

Ａ

Ａ

Ａ

Ｅ

Ｃ

Ｃ

Ｂ

Ｂ

Ｄ

Ｄ

Ｃ

Ｂ

Ｄ

（2）题

（1）题

（3）题

Ｅ

Ｆ

Ｅ

Ｅ

Ａ

Ａ

Ｇ

Ｂ

Ｃ

Ｂ

5．等腰三角形中一个角Ｄ

F Ｄ

Ｃ

（5）题

（4）题

（本题设计意图是：让学生熟悉各种图形，在每种图形中都能找到等腰三角形.为下一节课等腰三角形的判定打下识图的基础。）

四、选做题

1、如图,△ABC中,AB=AC,AD=DE,BAD200,EDC100,则DAE的度数为多少？

A

E

C

B D

（选做题是给学有余力的同学设计的，开发学习思路）

批后反思：1.填空题（2）错得较多，原因是不会用方程的思想来解决几何问题。在今后的教学过程中药多注意数形结合思想的渗透。

2.选择题（3）错得比较多，“三线合一”运用的不好。

3.解答题（5）做的不好。在备课时，认为这题比较简单。批完作业后发现效果不好，学生的识图能力很差，应该再拿出一点时间具体讲解。反思自己，应该把这道题在课堂上作为例题先讲几个小题，再做作业，效果会好一些。在以后的教学过程中，要多加注意。