习题训练教学设计及课堂实录

分类讨论求解等腰三角形相关的问题

教学目标：复习等腰三角形有关知识；

学会分类讨论等腰三角形中的有关问题；

培养学生分析问题、解决问题的能力，尤其培养学生数形结合、分类讨论的

数学思想.

重点: 分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题

难点:

分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题

教学方法:数形结合 分类讨论

教学过程：

（一）复习等腰三角形的性质和判定

（二）

例题讲解和练习

类型1

针对腰长和底边长进行分类

方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍．

针对练习

1．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(

A) A．5

B．6

C．7

D．8

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B)

1

A．7个

B．6个

C．5个

D．4个

3．若实数x，y满足|x－4|＋y－10＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为

24

．

类型2

针对顶角和底角进行分类

方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．

针对练习

4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？

解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；

②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°. 故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.

5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．

1解：设∠A，∠B，∠C是该等腰三角形的三个内角，且∠A＝∠B. 2设∠A＝x°，则∠B＝2x°. ①若∠B是顶角，则∠A，∠C是底角，于是有∠C＝∠A＝x°. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋2x＋x＝180. 解得x＝45，故∠A＝∠C＝45°，∠B＝90°；

②若∠B是底角，∵∠A≠∠B，

2

∴∠A是顶角，∠C＝∠B＝2x°. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180. 解得x＝36，故∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°. 综上所述，等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.

类型3

针对锐角、直角和钝角三角形进行分类

方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．

针对练习

6．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成50°的角，求底角的度数．

解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：

①如图1，垂直平分线DE与腰AC相交，且∠AED＝50°，则∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；

②如图2，垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交，且∠AED＝50°，则∠EAD＝40°，∠BAC＝140°，所以∠B＝∠C＝20°. 综上可知，等腰三角形的底角为70°或20°.

7．一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？

3

解：设∠A为顶角，则∠ABC、∠ACB为底角．

(1)若∠A为锐角，如图1，作BD⊥AC于点D，

根据题意有BD＝12AB，∠BDA＝90°，

∴∠A＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°；

(2)若∠A为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；(3)若∠A为钝角，有三种情况：

①如图2，作AD⊥BC于点D，

根据题意有AD＝12AB，∠ADB＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°；

②如图3，作BD⊥CA的延长线于点D，

根据题意有BD＝12BC，∠ADB＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°；

③如图4，作BD⊥CA的延长线于点D，

根据题意有BD＝12AB，∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝30°，∠ABC＝∠ACB＝15°. 综上所述，等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.

课堂小结：这节课有何收获？

分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题

课外作业：

1.

等腰三角形的两边长为4,7，则这个等腰三角形的周长为

2.

等腰三角形的一个角为70°则另外两角为

4

3.AC为等腰△ABD的腰BD上的高，且∠CAB＝60°.求这个三角形各内角的度数．

答案：1.

15或18

2.

70°、40°或55°、55°

3.解：①如图1，高AC在△ABD的内部，

因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，

所以∠B＝30°. 因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝75°；

②如图2，高AC在△ABD的外部，

因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，

所以∠ABC＝30°. 所以∠ABD＝150°. 因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝15°；

③如图3，高AC在△ABD的外部，

因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，

所以∠B＝30°. 因为DA＝DB，所以∠BAD＝∠B＝30°. 所以∠ADB＝120°.

综上所述，这个三角形各内角的度数分别为30°，75°，75°或150°，15°30°，30°.

15°或120°5 ，，