方程的应用板书设计及意图

一元一次方程求解数轴上动点问题

教学设计

设计者：花都区秀全外国语学校

肖妍

一、课题名称

一元一次方程求解数轴上动点问题

二、教材分析

（一）内容

本节课用时一课时. 本节课的内容为用一元一次方程求解数轴上动点问题，通过具体情景大巴行驶的行程问题，抽象为在数轴上的动点问题.通过小题导入强化两点间距离即“大-小”或数轴上“右-左”，用含未知数的式子来表示各线段长度，提炼题目中的等量关系，代入求解方程即可求解数轴上动点问题.专题以练习为载体，以“一点动”变式到“两点一起动”也即“线动”，最后拓展提升到“两点以不同的速度动”.用一元一次方程求解数轴上动点问题，体会化动为静的过程，蕴含了数形结合的数学思想、分类讨论的数学方法与方程思想. （二）地位与作用

用一元一次方程求解数轴上动点问题是一元一次方程的应用的延伸和变式。它不仅回顾并复习了如何求数轴上两点间的距离，又引入了动点——当点在移动时线段长如何表示，其中渗透了分类讨论和数形结合的思想方法；同时，它又培养了学生利用一元一次方程求解的思想，用含未知数的式子表示等量关系中的线段长，代入求解，渗透了方程思想. 用一元一次方程求解数轴上动点问题是一元一次方程的抽象应用，是代数与几何相结合的专题，其中渗透了初中数学最重要的数学思想方法——方程思想、数形结合思想与分类讨论思想. 三、学情分析

（一）认知基础

学生已经掌握了一元一次方程的求解.虽然学生已经具备求数轴上两个确定的点之间的距离，但是对求动点与定点之间的距离的能力尚待提高，以及学生数

1

形结合思想解题即代数联系几何方面尚有欠缺，分类讨论意识不强，思维逻辑不够严谨，想当然的问题较突出. （二）情感基础

初一是初中关键的一年.学生刚从小学升上来，尚未完全适应初一的学习模式，仍然保留小学的解题方式——算术法以及小学的思维模式.虽然初一的内容较简单，但是要注意锻炼学生的理科思维和严谨的逻辑，注意渗透数学思想方法，为今后初二初三的学习作好铺垫. 此外这节课是以分类讨论、观察分析、数形结合为主，用画图的方式直观地展示动点的不同位置较为形象，关键在于用含未知数的式子表示从题目中提炼出的等量关系，余下步骤就是学生较为熟悉的解一元一次方程. 四、教学目标

1.知道数轴上两点间距离或线段长的表示方式；

2.会根据动点的不同位置进行分类讨论；

3.会画出动点在不同位置的数轴辅助分析，用含未知数的式子表示线段长；

4.根据等量关系建立方程求解. 五、教学重点、难点、关键

（一）教学重点

1.理解并掌握两点间线段长的表示方式，即“大-小”或数轴上“右-左”；

2.对数轴上动点不同情况进行分类讨论；

3.利用数形结合的思想方法，画图辅助用含未知数的式子表示线段长.

（二）教学难点

1.因动点位置不同而产生的分类讨论；

2.利用数形结合的思想方法，画图辅助用含未知数的式子表示线段长.

（三）教学关键

采用有难度梯度的动点问题,从一点动拓展到线段动,从线段动拓展到两点不同速动.

1.

情境引入，从实际问题抽象为数轴上动点问题，导入专题内容；

2.

复习回顾，作好用一元一次方程求解数轴上动点问题的知识准备，回顾

2

根据所给的两种条件求解数轴上两点距离以及数轴上动点的方法；

3.

通过例题的讲解，提炼用一元一次方程求解数轴上动点问题的步骤：先提炼等量关系，用含有未知数的式子表示各个线段的长，代入求解方程.在讲解过程中渗透并强化数形结合与分类讨论的数学思想；

4.

通过变式，从一点动变式到线段动，从线段动到两点不同速动，充分体会动点在不同位置会产生不同情况，对不同位置进行分类讨论，充分体会数形结合与分类讨论的数学思想方法. 六、教学方法与手段

（一）教学方法

讲授法

（二）教学手段

板书、ppt、投影

七、教学设计思想

用一元一次方程求解数轴上动点问题的专题源于教材，由易到难，由简单到繁杂，逐层深入，循序渐进，由一点动到线段动，拓展提升到两点不同速运动，结合了学生学习过的求解一元一次方程及其应用与在第一章学习的数轴，渗透了数形结合、分类讨论、方程思想等数学思想方法，为今后初二初三的数学学习作好铺垫工作.

3

八、教学过程（包括教学环节的名称、时间、教学内容及师生活动）

教学环节

师生活动

情境导入1 元旦假期，肖老师带领2班的同学们坐大巴外出游玩，从学校出发到目的地全程100 km.大巴平均行驶速度为80km每小时.走了一段时间以后，司机提醒大家还有1/3的路程就到目的地了. 请问，大巴已经走了多少小时？

师：该问题可以抽象成为数轴上的动点问题。

师：为了用一元一次方程解决这个问题，我们需要一些知识的准备——如何表示两点间距离或两点间线段长？

导入2（前置作业）

设计意图

用生活情境引入数轴上动点问题，用简单的练习为用解

方程的思想求（1）PA与PB表示什么意思？

情境导入

解数轴上动点（2）假设点P代表数2，则PA=，PB=；

问题做知识准（3）假设点P位于点A与点B之间，点P表示数x，则备，强化两点PA=，PB=；

间距离就是（4）假设P从A点向右以每秒行进2个单位长度的速度移“大-小”或数动，行进了t秒以后，位置如下图

轴上“右-左”.

（数轴，p点在A B之间）

则PA=，PB=，点P所在表示的数为

（5）假设P从B点向左以每秒行进2个单位长度的速度移动，行进了t秒以后，位置如下图

（数轴，p点在A、B之间）

则PA=，PB=，点P所在表示的数为；

（6）两点间线段长=两点的距离=-（或数轴上-）. 例题

从最简单的例

已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1,3，点P为数轴上题1（1）的单一个动点，其对应的数为x. 个动点问题中（1）若点P到点A与到点B的距离相等，请问P点可能有提炼出方法，几种位置可能？（画图），求点P对应的数.（教师示范）

从例题1（2）例题讲解

思路：由于点P到点A与到点B的距离相等，则点P一定位中渗透分类讨于点A与点B之间，如下图：

论和数形结合

的思想，并规

范分类讨论的①提炼等量关系：PA=PB 解题思路，步②用含有未知数的式子表示各线段长：

骤和格式.

4

PA=x-（-1）=x+1 PB=3-x ③代入方程求解

x+1=3-x 解得x=1 （2）数轴上是否存在点P，使点P到点A的距离与到点B的距离之和为5？若存在，请问P点可能有几种位置可能（画图）？求出x的值；若不存在，请说明理由.（请同学写）

思路： ①提炼等量关系：PA+PB=5；

②用含有未知数的式子表示各线段长；

③代入等式，求解方程。

然而点P的位置可能有多种情况，因此有多种可能性：

解：

可能性1：

当x＜-1时

PA=-1-x PB=3-x

代入方程求解

-1-x+3-x=5 解得x=-

，-

＜-1；

可能性2：

当-1

x

3时，

PA=x-（-1）

PB=3-x 代入方程求解

x-（-1）+3-x =5 因等号左边等于4，右边等于5，故方程无解；

可能性3：

当x＞3时

PA= x-（-1）

PB=x-3

代入方程求解

x-（-1）+ x-3=5

5

解得x=

，

＞3.

综上所述，x=-

或x=

. p.s |x-（-1）|+|x-3|=5的求解过程. 用一元一次方程求解数轴上动点问题

①提炼等量关系，转化成数学语言，即线段间的数量关系；

方法点拨

②画图辅助，用

含有未知数的式子表示等量关系中线段长，其中蕴含的数学思想方法有分类讨论、数形结合、方程思想；

③代入等量关系中，求解方程（检验结果）. （3）点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度向右移动，点A同时出发，以每秒5个单位长度的速度向右移动，请问移动后多久满足点P到点A的距离等于点P到点B的距离？

思路：设移动t秒后满足PA=PB ①提炼等量关系：PA=PB；

②用含有未知数的式子表示各线段长：

由于点P与点A同时同速同向出发，因此PA=AO=1；

③代入等式，求解方程。

方法一：

解：设移动t秒. 可能性1：

当点P在点B左边时，即5t

3时

变式导练

PB=3-5t PA=1 代入方程求解

3-5t=1 解得t=

≤3；

可能性2：

当点P在点B右边时，即5t＞3时

PB=5t-3 PA=1 代入方程求解

5t-3=1

提炼用一元一次方程求解动点问题的方法，强化分类讨论、数形结合、方程思想等.

从例题里变式到简单的两点同速动问题，即线段动问题，巩固了前面例题的方程思想及分类讨论的思想，并为后面拓展提升作铺垫.

6

解得t=

＞3；

综上所述，t=

或t=

. 方法二：

解：设点p表示的数为x. 可能性1：

当点P在点B左边时，即x

3时

PB=3-x PA=1 代入方程求解

3-x=1 解得x=2

；

可能性2：

当点P在点B右边时，即x＞3时

PB=x-3 PA=1 代入方程求解

x-3=1 解得x=4

；

综上所述，t=

或t=

. 变式中的线段动只考虑一条线段的不同表已知初始位置AP=AB=5，DP=1，点D和点P在数轴上向示，拓展提升右以每分钟2米的速度移动，移动t分钟以后，点D到点A中的有两条线的距离等于点P到点B的距离. 段在不同动点请问，点D和点P移动了多少分钟？

拓展提升

位置上有不同

的表示，也提思考：假设点P速度和方向不变，点D以每分钟1米的速度升了变式导练向右移动，请问移动多少分钟才满足条件？

的难度.最后

再从线段动提升难度到两点不同速动，只

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做思维的锻炼，不作硬性要求.

总结和整理的过程中体会数形结合、分类讨论、方程思想等数学思想方法. 课后作业

消化例题与变式，整理解题思路并总结本节课知识内容.

九、板书设计

例题1 例题2 PA=PB ①提炼等量关系可能性1

PB=3-x ②用含有未知数的式子表示各线段长可能性2

解得x=1可能性3

一元一次方程求解数轴上动点问题

PA=x-（-1）=x+1

x+1=3-x ③代入等式，求解方程

十、反思（经实施后发现原设计存在的问题，查找原因，提出修改意见）

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