多边形的外角和精品学案

11．2

多边形的内角和与外角和

教学目标

1．使学生了解多边形外角概念．

2．使学生通过不同方法探索多边形的外角和公式，并会利用它进行有关计算．

重点难点

重点

多边形的外角和定理．

难点

多边形的外角和定理的推导．

教学过程

一、复习旧知，导入新课

1．什么叫三角形？

2．三角形的内角和是多少？

3．什么叫三角形的外角？什么叫外角和？三角形的外角和是多少？

二、合作交流，探究新知

1．多边形的概念．

三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)．我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形．

你能说出什么叫四边形、五边形吗？

如图①，它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD.(按顺时针或逆时针方向书写)

图①

图②

图②是由不在同一直线上的5条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE. 一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形．

与三角形类似，如图，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角．一个n边形有n个内角，有2n个外角．

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等．连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图①，线段AC是四边形ABCD的对角线，如图②，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图③中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线．

图①

图②

图③

问：(1)四边形有几条对角线？(两条AC、BD) (2)五边形有几条对角线？

以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段．所以只有5条．

(3)六边形有几条对角线？n边形呢？

从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n－3)条(除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点就有n(n－3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与n（n－3）BA，所以n边形一共有条对角线．

2大家可以加以验证：当n＝3时，没有对角线，当n＝4时，有2条；当n＝5时，有5条：当n＝6时，有9条……

2．多边形的内角和公式．

三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢？让我们先从四边形，五边形，六边形……开始．

从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角形内角和的和．

让学生填写教材P85的表9.2.1，由此，你可以得到n边形的内角和公式吗？

由n边形的内角和＝(n－2)·180°，知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n. 例1：一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数．

多边形的内角和等于(n－2)·180°，还可以用教材P86的图9.2.5来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形？这几个三角形的各内角与这个多边形的各内角之间有什么关系？请你试一试．

每一个三角形都有一条边是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以P为顶点的周角所得的差就是“n边形的内角和”．因此，n边形的内角和为：

n·180°－360°＝n·180°－2·180°＝(n－2)·180°. 3．多边形的外角和．

什么叫多边形的外角和？

与三角形的外角和一样，与多边形的每个内角相邻的外角有两个，这两个角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和，如教材P86图9.2.6中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是四边形的外角和．

多边形的外角和是否也可以用公式表示呢？下面我们也来探讨．

因为n边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可先求出多边形的内角与外角的总和，再减去内角和，就可得到外角和．

让学生教辅中的表格

n边形的内角与外角的总和为n·180°，n边形的内角和为(n－2)·180°. 那么n边形的外角和为n·180－(n－2)·180°＝n·180°－n·180°＋360°＝360°. 这就是说多边形的外角和与边数无关，都等于360°. 例2：一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数．

分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360°，因此只要求出每个外角度数，就可知是几边形了．

点拨：多边形的外角和等于360°，与边数无关，故常把多边形内角的问题转化为外角和来处理．

三、运用新知，深化理解

例1

已知一个多边形各个内角都是150°，求这个多边形的边数．

【分析】可以通过多边形的内角和与外角和两种不同的思路求解．

【解答】方法一：设此多边形的边数为n，则：(n－2)·180°＝150°·n，解得：n＝12. 方法二：设此多边形的边数为n，则：(180°－150°)·n＝360°，解得：n＝12. 例2

已知四边形的四个外角的度数之比为1∶2∶3∶4.求各个外角的度数．

【解答】设四边形的最小外角为x°，则其他三个角分别为2x°，3x°，4x°，根据外角和定理得x＋2x＋3x＋4x＝360°，所以x＝36°，2x＝72°，3x＝108°，4x＝144°. 例3

如图，求∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．

【分析】要求不规则图形的各个角的度数和，就是想办法在不规则图形中找到规则图形，然后把不规则图形的角通过已学的相关知识(本例中三角形外角的性质)转移到规则的图形中去，即把所求的六个角的和转移到四边形BEFG中去．

【解答】在四边形BEFG中，

∵∠EBG＝∠C＋∠D，∠BGF＝∠A＋∠ABC，

∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠BGF＋∠EBG＋∠E＋∠F＝360°. 四、课堂练习，巩固提高

《·零障碍》相关作业．

五、反思小结，梳理新知

本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n－2)·180°.这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握．由于多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理．

六、布置作业

《·零障碍》相关作业．