列分式方程解决工程实际问题优质课教案整理

15.3.2分式方程的应用

第3课时

知识与技能

1.使学生进一步熟练地按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.

2.使学生能较熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.

过程与方法

通过学生列分式方程解决具体实际问题,培养学生数学应用意识,提高分析问题和解决实际问题的能力.

情感态度与价值观

在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻求解决问题的进取心,体会数学的应用价值.

【重点】

在不同的实际问题中审明题意设未知数,列分式方程,解决实际问题.

【难点】

在不同的实际问题中,设合适的未知数列方程.

【教师准备】

多媒体课件(1~6).

【学生准备】

复习列方程解应用题的相关知识.

导入一:

1.解分式方程的步骤:

(1)能化简的先化简;(2)方程两边同乘最简公分母,化分式方程为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.

2.列方程解应用题的步骤是什么?

(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.

3.由学生讨论,我们现在所学过的应用题有几种类型?

在学生讨论的基础上,教师归纳总结基本上有五种:

【课件1】

(1)行程问题:路程=速度×时间,而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

(2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法.

(3)工程问题:工作量=工作时间×工作效率.

(4)顺水、逆水问题:v顺水=v静水+v水;v逆水=v静水-v水.

(5)利润问题:售价-进价=利润率×进价.

有一些实际问题,我们可以通过列分式方程解决.

[设计意图]

复习列一元一次方程解决实际问题的步骤和常见应用题类型等知识,为本节课的学习做好准备.

导入二:

【课件2】

解下列方程.

(1)(2)

-

- -

+2=0;

=1.

解:(1)x=1.

(2)x=-.

[设计意图]

进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程,而怎样列分式方程解应用题是本节的核心问题,通过复习解题方法与步骤为本节学习做好准备.

例题讲解

[过渡语]

同学们,我们一起来看几个例子:

【课件3】

(教材例3)两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?

〔解析〕

甲队1个月完成总工程的,设乙队单独施工1个月能完成总工程的,那么甲队半个月完成总工程的

,乙队半个月完成总工程的

,两队半个月完成总工程的

.

解:设乙队单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1,根据工程的实际进度,得

方程两边乘6x,得2x+x+3=6x,

解得x=1.

检验:当x=1时,6x≠0.

所以原分式方程的解为x=1.

由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任务的,可知乙队的施工速度快.

引导学生在用式子表示上述的量之后,再根据“甲、乙两个工程队工程总量=总工作量”这一相等关系建立方程.

教师示范解答过程,强调必须检验这一过程.

【课件4】

某商店经销一种泰山旅游纪念品,4月份的营业额为2000元,为扩大销售量,5月份该商店对这种纪念品打9折销售,结果销售量比上个月增加20件,营业额比上个月增加700元,该种纪念品4月份的销售价格为多少?

【师生活动】

学生通过独立思考和小组讨论的形式,用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题,学生大胆尝试,形成解决问题的一些基本策略.教师根据学生交流情况介绍如何抓住关键词“增加”,得出“5月份的销售量比4月份的销售量增加20件”这一相等关系,设未知数建立方程.

〔解析〕

设该种纪念品4月份的销售价格为x元/件,则4月份的销售量为元/件,营业额为(2000+700)元,5月份的销售量为而可列出分式方程.

件,5

件,5

=1.

月份的售价为0.9x月份的销售量比4月份的销售量增加20件,从

解:(1)设该种纪念品4月份的销售价格为x元/件,根据题意得:

-20,解得

x=50.

经检验,x=50是所列方程的解,且符合题意.

答:该种纪念品4月份的销售价格是50元/件.

【课件5】

(教材例4)某次列车平均提速v km/h.用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少?

【师生活动】

学生讨论,教师引导.先指导学生读题,理清速度、路程和时间所对应的式子,再抓住“相同的时间”这一关键词,得出相等的数量关系:“提速前的路程÷提速前的速度=提速后的路程÷提速后的速度”,从而建立方程.

学生自己独立完成解答过程,教师再演示出解答过程.

教师帮助学生解决含有字母的计算问题,求出关于x的方程的解.教师提醒注意:表达问题时,用字母不仅可以表示未知数(量),也可以表示已知数(量).

〔解析〕

这里的字母v,s表示已知数据,设提速前列车的平均速度为x

km/h,那么提速前列车行驶s

km 所用时间为

h,提速后列车的平均速度为

km/h,提速后列车运行(s+50)km所用时间为

h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程.

解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km所用时间为 h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km 所用时间为根据行驶时间的等量关系,得

.

h.

方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).解得x=.

检验:由v,s都是正数,得x=时x(x+v)≠0.

所以原分式方程的解为x=.

答:提速前列车的平均速度为 km/h.

[知识拓展]

(1)在实际问题中,有时题目中包含多个相等数量关系,在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系.

(2)在检验过程中,不仅检验所得的根是否为原分式方程的根,还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义,如时间非负、人数为正整数等.

(3)在一些实际问题中,有时直接设问题所求的量为未知数可能比较麻烦,可以间接地设未知数.

【课件6】

列分式方程解应用题按下列步骤进行:

(1)审题了解已知量与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系;

(2)设未知数;

(3)找出能够表示题中全部(或大部分)含义的相等关系,列出分式方程;

(4)解这个分式方程;

(5)验根,检验所求根是不是增根及是否符合实际意义;

(6)写出答案.

1.(2014·龙岩中考)某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x米,下面所列方程正确的是

(

)

A.B. -=2

=2

-

-C.D. -=2

解析:先分别用代数式表示原计划和实际完成任务所用的时间,再根据“原计划所用时间-实际所用时间=2”列出方程.原计划施工所用的天数为A.

2.(2014·朝阳中考)某商店销售一种玩具,每件售价90元,可获利15%,求这种玩具的成本价.设这种玩具的成本价为每件x元,依题意列方程,正确的是

A. -

=15%

,实际施工所用的天数为,依题意可得-=2.故选

(

)

B.=15% C.90-x=15% D.x=90×15

解析:根据等量关系“利润÷成本价=15%”列方程即可.因为这种玩具每件的成本价为x元,所以这种玩具每件的利润为(90-x)元,可得方程 -

=15%.故选

A.

3.(2014·北京中考)小马自驾私家车从A地到B地,驾驶原来的燃油汽车所需油费108元,驾驶新购买的纯电动车所需电费27元.已知每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动车所需的电费多0.54元,求新购买的纯电动车每行驶1千米所需的电费.

解析:先寻找等量关系:驾驶原来的燃油汽车消耗108元的燃油费能够行驶的路程等于驾驶新购买的纯电动车耗费27元的电费能够行驶的路程.根据等量关系,设未知数、列方程解答即可.

解:设新购买的纯电动车每行驶1千米所需的电费为x元,则每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费为(x+0.54)元.

依题意列方程得解得x=0.18,

经检验,x=0.18是原方程的解且符合题意.

答:新购买的纯电动车每行驶1千米所需的电费为0.18元.

,

第3课时

列方程解应用题的步骤

常见应用题的几种类型

例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第154页习题15.3第3,6题.

【选做题】

教材第154页习题15.3第7,8题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.一项工程,甲单独做需m小时完成,若与乙合作20小时可以完成,则乙单独完成需要的时间是

A.

- (

)

小时

B.D. 小时

小时

C.

- 小时

2.某市从今年起调整居民用水价格,每立方米水费上涨20%,小方家去年12月份的水费是26元,而今年5月份的水费是50元.已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米,设去年水费为x元/立方米,则所列方程为

.

3.某乡镇改造农村电网,需重新架设4000 m长的电线,为了减少施工对用户用电造成的影响,施工时每天的工作效率比原计划提高,结果提前两天完成任务,则施工中每天架多少米电线?

【能力提升】

4.有一个三位数,个位上的数字比十位上的数字少1,百位上的数字比十位上的数字多1,这个三位数是各个数字和的48倍,求这个三位数.

5.某市为了缓解交通拥堵现象,决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路,为使工程能提前3个月完成,需要将原定的工作效率提高12%,则原计划完成这项工程需用多少个月?

【拓展探究】

6.铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又用11000元购进该品种的苹果,但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元,购进苹果的数量是试销时的2倍.

(1)试销时该品种的苹果的进货价是每千克多少元?

(2)如果超市将该品种的苹果每次都按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折(“七折”即定价的70%)售完,那么超市两次销售该品种苹果共赢利多少元?